Integrale e centro di massa
Salve, quale tipo di integrale interviene nella definizione del centro di massa?
Grazie mille.
Grazie mille.
Risposte
Certo che va bene axpgn! Ma il mio dubbio non riguarda questo.
Ci siamo sul fatto che la sommatoria che ho riportato è una funzione di N, e dunque la scrittura con il limite ha senso? E sul fatto che quella sommatoria non è l espressione analitica di tale funzione? premesso questo, il problema è scrivere quel limite in termini di integrale utilizzando la definizione di integrale.
Ci siamo sul fatto che la sommatoria che ho riportato è una funzione di N, e dunque la scrittura con il limite ha senso? E sul fatto che quella sommatoria non è l espressione analitica di tale funzione? premesso questo, il problema è scrivere quel limite in termini di integrale utilizzando la definizione di integrale.
Non so se ho capito bene quello che vuoi dire, ma quella è una DEFINIZIONE non un teorema da dimostrare, quindi la prendi e la usi se ti serve. E soprattutto quel limite e l'integrale definito sono la stessa cosa; cioè quando vedi un limite di sommatoria simile a quello puoi sostituirlo con un integrale definito simile a quello, e viceversa. Se poi hai qualche proposta migliore, ben venga 
Sono pienamente d'accordo con Alex, quella è la definizione di integrale definito, con opportune precisazioni sulla funzione e sull'intervallo di integrazione.
Non c'è neanche bisogno che i sub-intervallini siano uguali. E qualche autore considera una "somma superiore" e una"somma inferiore" di termini, ciascuno dei quali si ottiene prendendo come fattore da moltiplicare per $\Deltax$ l'estremo superiore e rispettivamente l'estremo inferiore della funzione nel sub intervallo.
Poi dicono: se, qualunque sia la suddivisione adottata, al tendere del numero di termini della sommatoria all'infinito la somma superiore e la somma inferiore tendono ad un limite finito, questo limite si definisce integrale definito ….bla bla bla…
Lisdap, ma che cosa è che non ti quadra? Forse il "teorema fondamentale del calcolo integrale" ?
Non c'è neanche bisogno che i sub-intervallini siano uguali. E qualche autore considera una "somma superiore" e una"somma inferiore" di termini, ciascuno dei quali si ottiene prendendo come fattore da moltiplicare per $\Deltax$ l'estremo superiore e rispettivamente l'estremo inferiore della funzione nel sub intervallo.
Poi dicono: se, qualunque sia la suddivisione adottata, al tendere del numero di termini della sommatoria all'infinito la somma superiore e la somma inferiore tendono ad un limite finito, questo limite si definisce integrale definito ….bla bla bla…
Lisdap, ma che cosa è che non ti quadra? Forse il "teorema fondamentale del calcolo integrale" ?
Ciao ragazzi, sulla def di integrale definito non ho dubbi, tutto ok!
Io ragionavo su $lim_(N->oo) sum_(i=1)^N vec r_i Delta m_i$ ...è una funzione di N tale sommatoria?
Io ragionavo su $lim_(N->oo) sum_(i=1)^N vec r_i Delta m_i$ ...è una funzione di N tale sommatoria?
Sì, è funzione di N, nel senso più generale di funzione.
Perché lo chiedi ?
Perché lo chiedi ?
bene, lo chiedo perche io chiedo sempre cose ovvie XD ....e la sua espressone analitica non è la sommatoria stessa, in altre parole non la abbiamo giusto?
Una funzione nel senso più generale del termine, se mi ricordo bene (altrimenti verrà Gugo a castigarmi…) è una relazione che ad un elemento $x$ di un insieme fa corrispondere uno ed un solo elemento di un altro insieme (matematici perdonatemi…).
MA una funzione, (rimanendo nel campo di funzione reale di variabile reale...) sempre se mi ricordo bene la puoi dare:
-con una definizione
-Con una espressione analitica
-con un grafico
-con una tabella
Poi si definisce che cosa si intende per funzioni iniettive, surgettive, biiettive….ricordi di Analisi lontana…
Ma ci sono pure dei mostri di funzione. Io per esempio mi ricordo della funzione di Dirichlet definita in tutto $R$ :
$f(x) = 0$ per ogni $x$ razionale ; $f(x) = 1$ per ogni $x$ irrazionale .
Che cavolo di funzione è ? È una funzione. Te lo spiega meglio Gugo.
E che ne dici delle "funzioni di variabile complessa" ? Pure polidrome, ce ne sono…
E funzioni che non conosco, di cui ho sentito solo il nome? Gamma di Eulero, Zeta di Riemann, f. di Bessel, funzioni ipergeometriche confluenti….non ne so niente. Ma non è un delitto (o forse sì, in questo forum...
MA una funzione, (rimanendo nel campo di funzione reale di variabile reale...) sempre se mi ricordo bene la puoi dare:
-con una definizione
-Con una espressione analitica
-con un grafico
-con una tabella
Poi si definisce che cosa si intende per funzioni iniettive, surgettive, biiettive….ricordi di Analisi lontana…
Ma ci sono pure dei mostri di funzione. Io per esempio mi ricordo della funzione di Dirichlet definita in tutto $R$ :
$f(x) = 0$ per ogni $x$ razionale ; $f(x) = 1$ per ogni $x$ irrazionale .
Che cavolo di funzione è ? È una funzione. Te lo spiega meglio Gugo.
E che ne dici delle "funzioni di variabile complessa" ? Pure polidrome, ce ne sono…
E funzioni che non conosco, di cui ho sentito solo il nome? Gamma di Eulero, Zeta di Riemann, f. di Bessel, funzioni ipergeometriche confluenti….non ne so niente. Ma non è un delitto (o forse sì, in questo forum...
Caro navigatore, innanzitutto non credo che gugo verra a fustigarci visto che è da tempo che sembra evitare i miei post.
Comunque, sono d'accordo con quello che dici, anche se non hai risposto alla mia domanda. Prendi $x/y$. Esso è una funzione di $x$ e $y$, però non è una funzione di $x$ o di $y$. Ora non so bene cosa si intenda per espressione analitica di una funzione, però io direi che di $x/y$ la abbiamo l'espressione analitica visto che è possibile calcolare i valori restituiti dalla funzione a seguito dell'immissione di valori in entrata semplicemente eseguendo operazioni matematiche.
Supponiamo invece che ora ti dica "sia M la massa contenuta in un volume V". Consideriamo $M/V$. In base alla definizione di funzione, potremmo diure che tale rapporto è una funzione di $V$. Infatti, dato un valore a $V$, per mezzo di misurazioni fisiche io trovo il valore della variabile $M$, che è unico per quell'assegnato $V$, e quindi, eseguendo il rapporto fra i due valori ottengo un numero. Tuttavia, io direi che $M/V$ non è l'espressione analitica di tale funzione, visto che per calcolare le uscite corrispondenti alle entrate non posso semplicemente eseguire operazioni matematiche, ma fare anche delle misurazioni fisiche. Non so se ho reso l'idea!
Comunque, sono d'accordo con quello che dici, anche se non hai risposto alla mia domanda. Prendi $x/y$. Esso è una funzione di $x$ e $y$, però non è una funzione di $x$ o di $y$. Ora non so bene cosa si intenda per espressione analitica di una funzione, però io direi che di $x/y$ la abbiamo l'espressione analitica visto che è possibile calcolare i valori restituiti dalla funzione a seguito dell'immissione di valori in entrata semplicemente eseguendo operazioni matematiche.
Supponiamo invece che ora ti dica "sia M la massa contenuta in un volume V". Consideriamo $M/V$. In base alla definizione di funzione, potremmo diure che tale rapporto è una funzione di $V$. Infatti, dato un valore a $V$, per mezzo di misurazioni fisiche io trovo il valore della variabile $M$, che è unico per quell'assegnato $V$, e quindi, eseguendo il rapporto fra i due valori ottengo un numero. Tuttavia, io direi che $M/V$ non è l'espressione analitica di tale funzione, visto che per calcolare le uscite corrispondenti alle entrate non posso semplicemente eseguire operazioni matematiche, ma fare anche delle misurazioni fisiche. Non so se ho reso l'idea!
Caro Giuseppe,
bando alle complicazioni, se permetti.
Hai chiesto se di una certa sommatoria rispetto a $n$ abbiamo l'espressione analitica.
Ora, quando una funzione è definita in $N$, quella funzione si chiama "successione" . Quando calcoli quelle sommatorie, stai scrivendo dei termini di una successione. Pure le serie numeriche sono successioni, precisamente le successioni delle somme parziali di una successione numerica.
Ecco, talvolta le successioni e le serie "convergono". E questo è il caso, nella definizione dell'integrale definito. Il valore in "entrata", come tu dici, è il numero naturale $n$.
Si chiama "metodo di esaustione", e se non vado errato lo usò Archimede per calcolare certe aree.
Non chiedermi dettagli matematici, non ne sarei capace.
Ma chi ti dice che $z = f(x,y) = x/y$, che è una funzione di due variabili reali,con $y !=0$ , non possa essere una funzione solo di $x$ oppure solo di $y$ ? . Fissa uno dei due, e fa variare in $R$ (oppure $R-[0]$ ) l'altra variabile: hai una funzione reale di una variabile reale.
Per il resto, vedo che il tuo problema è più o meno sempre lo stesso : adattare la Matematica alla Fisica. Bisogna che su questo punto tu raggiunga la pace dei sensi con te stesso, penso (a proposito, ti sei fidanzato o no?)
bando alle complicazioni, se permetti.
Hai chiesto se di una certa sommatoria rispetto a $n$ abbiamo l'espressione analitica.
Ora, quando una funzione è definita in $N$, quella funzione si chiama "successione" . Quando calcoli quelle sommatorie, stai scrivendo dei termini di una successione. Pure le serie numeriche sono successioni, precisamente le successioni delle somme parziali di una successione numerica.
Ecco, talvolta le successioni e le serie "convergono". E questo è il caso, nella definizione dell'integrale definito. Il valore in "entrata", come tu dici, è il numero naturale $n$.
Si chiama "metodo di esaustione", e se non vado errato lo usò Archimede per calcolare certe aree.
Non chiedermi dettagli matematici, non ne sarei capace.
Ma chi ti dice che $z = f(x,y) = x/y$, che è una funzione di due variabili reali,con $y !=0$ , non possa essere una funzione solo di $x$ oppure solo di $y$ ? . Fissa uno dei due, e fa variare in $R$ (oppure $R-[0]$ ) l'altra variabile: hai una funzione reale di una variabile reale.
Per il resto, vedo che il tuo problema è più o meno sempre lo stesso : adattare la Matematica alla Fisica. Bisogna che su questo punto tu raggiunga la pace dei sensi con te stesso, penso (a proposito, ti sei fidanzato o no?)
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