Integrale e centro di massa
Salve, quale tipo di integrale interviene nella definizione del centro di massa?
Grazie mille.
Grazie mille.
Risposte
Questa non è la corretta domanda da porsi per un ingegnere... Comunque sono concetti che si possono formalizzare a modino nel contesto della teoria della misura. Una distribuzione di massa infatti è una misura \(dm\) e il centro di massa si ottiene mediando il raggio vettore rispetto ad essa. Di solito la misura è assolutamente continua, cioè è di tipo \(dm=\mu(x)dx\) per una funzione positiva e Lebesgue integrabile \(\mu\). Non ti lascio riferimenti per due motivi:
[list=1][*:fjw68juk]sono cose che non conosco nemmeno io;[/*:m:fjw68juk]
[*:fjw68juk][IMHO]non è il caso di perderci tempo. Per gli studi che stai facendo non ti serve una formalizzazione così pedante. Meglio ragionare in termini di "elementino di massa" e roba simile, concentrando l'attenzione sulle difficoltà fisiche e tecniche e non sul formalismo matematico.[/imho] [/*:m:fjw68juk][/list:o:fjw68juk]
Ciao, visto che il mio testo di analisi si sofferma sul calcolo del centro di massa e del momento di inerzia di sistemi continui, ci tenevo appunto a sapere quale fosse il modo rigoroso e corretto per passare dalle sommatorie relative a sistemi discreti, agli integrali dei sistemi continui.
Il libro di fisica mi parla di integrali di volume, di massa ecc.., ma che vuol dire?
Il libro di fisica mi parla di integrali di volume, di massa ecc.., ma che vuol dire?
Aaah, ecco, non li hai ancora fatti in analisi. Si chiamano "integrali multipli" e sono l'analogo multidimensionale degli integrali sugli intervalli. Sono cose che si possono studiare a più livelli (come tutto): quella che citavo sopra è la formalizzazione più completa e generale possibile, ma si può essere anche molto meno sofisticati. Per esempio, un integrale di volume, ovvero una cosa come
\[\iiint_C f(x)\, dV\]
con \(C \subset \mathbb{E}^3\) si può definire (quando \(f\) è continua e \(C\) è limitato) suddividendo \(C\) in cubetti, prendendo la somma
\[\sum_{\text{cubetti}}f(\text{un punto del cubetto}) \cdot \text{il volume del cubetto}\]
e facendo tendere ad infinito la finezza della suddivisione. Analogamente puoi fare per integrali bidimensionali e anche per integrali di massa, sostituendo al volume del cubetto rispettivamente l'area di un quadratino o la massa contenuta in un cubetto.
Certo se vuoi metterti a formalizzare bene questo approccio ha dei limiti: e se \(f\) non è continua? e se il volume non è limitato? e se vogliamo pensare a distribuzioni di massa più strane, per esempio masse concentrate in un punto solo? E' per quello che esistono i matematici.
\[\iiint_C f(x)\, dV\]
con \(C \subset \mathbb{E}^3\) si può definire (quando \(f\) è continua e \(C\) è limitato) suddividendo \(C\) in cubetti, prendendo la somma
\[\sum_{\text{cubetti}}f(\text{un punto del cubetto}) \cdot \text{il volume del cubetto}\]
e facendo tendere ad infinito la finezza della suddivisione. Analogamente puoi fare per integrali bidimensionali e anche per integrali di massa, sostituendo al volume del cubetto rispettivamente l'area di un quadratino o la massa contenuta in un cubetto.
Certo se vuoi metterti a formalizzare bene questo approccio ha dei limiti: e se \(f\) non è continua? e se il volume non è limitato? e se vogliamo pensare a distribuzioni di massa più strane, per esempio masse concentrate in un punto solo? E' per quello che esistono i matematici.
Ciao dissonance. Ti ringrazio per la risposta e darò un'occhiata a quelli che il mio libro di Analisi chiama integrali tripli.
Comunque, l'essenza della mia domanda (comune a molte altre domande che ho posto qui sul forum) sta nella seguente considerazione: colui o coloro che hanno formalizzato certi concetti fisici (per esempio il centro di massa, il teorema dell'energia cinetica, il momento di inerzia ecc...) ci sono arrivati mediante procedimenti matematici corretti e rigorosi giusto? E allora perchè i libri di fisica, quando si tratta di integrali ecc.., anzichè presentare il procedimento rigoroso della dimostrazione di alcuni risultati se ne escono con passaggi scorretti e assurdi dal punto di vista matematico?
Due sono, a mio parere, le possibili risposte:
1) Sono ad uno stadio "elementare" della trattazione degli argomenti, e quindi non devo pormi troppe domande in quanto l'intuizione lascerà spazio al rigore in corsi più avanzati;
2) Si preferisce evitare agli studenti una dimostrazione dei risultati fisici troppo complessa matematicamente.
Quale delle due?
Tanto per fare un esempio, cito il teorema del lavoro e dell'energia cinetica. La dimostrazione di tale teorema presente in tutti i libri di fisica che ho consultato si basa su passaggi matematici assolutamente scorretti e senza logica, quale semplificazione di infinitesimi e tante altre diavolerie. Tuttavia se si ragiona un attimo e si applica la definizione matematica di lavoro risulta molto semplice dimostrare il teorema con passaggi matematici rigorosi. E allora mi chiedo: come è possibile che nessun libro di fisica dimostri tale teorema in maniera rigorosa?
Per favore, qualcuno risponda a queste mie domande perchè veramente mi assillano da tempo.
Spero di non essere il solo a pormi queste domande, e allo stesso tempo mi piacerebbe poter continuare questa interessante discussione, sperando che sia la sezione più adatta.
Ciao.
Comunque, l'essenza della mia domanda (comune a molte altre domande che ho posto qui sul forum) sta nella seguente considerazione: colui o coloro che hanno formalizzato certi concetti fisici (per esempio il centro di massa, il teorema dell'energia cinetica, il momento di inerzia ecc...) ci sono arrivati mediante procedimenti matematici corretti e rigorosi giusto? E allora perchè i libri di fisica, quando si tratta di integrali ecc.., anzichè presentare il procedimento rigoroso della dimostrazione di alcuni risultati se ne escono con passaggi scorretti e assurdi dal punto di vista matematico?
Due sono, a mio parere, le possibili risposte:
1) Sono ad uno stadio "elementare" della trattazione degli argomenti, e quindi non devo pormi troppe domande in quanto l'intuizione lascerà spazio al rigore in corsi più avanzati;
2) Si preferisce evitare agli studenti una dimostrazione dei risultati fisici troppo complessa matematicamente.
Quale delle due?
Tanto per fare un esempio, cito il teorema del lavoro e dell'energia cinetica. La dimostrazione di tale teorema presente in tutti i libri di fisica che ho consultato si basa su passaggi matematici assolutamente scorretti e senza logica, quale semplificazione di infinitesimi e tante altre diavolerie. Tuttavia se si ragiona un attimo e si applica la definizione matematica di lavoro risulta molto semplice dimostrare il teorema con passaggi matematici rigorosi. E allora mi chiedo: come è possibile che nessun libro di fisica dimostri tale teorema in maniera rigorosa?
Per favore, qualcuno risponda a queste mie domande perchè veramente mi assillano da tempo.
Spero di non essere il solo a pormi queste domande, e allo stesso tempo mi piacerebbe poter continuare questa interessante discussione, sperando che sia la sezione più adatta.
Ciao.
Naturalmente non sei il solo a porti queste domande. E' infatti una diatriba storica, nella quale io, pur avendo studiato da matematico, mi schiero con i libri di fisica che tu stai attaccando. Mi ricordo di avere letto una interessantissima opinione a riguardo nell'introduzione di Applied functional analysis di Zeidler (un famoso testo di matematica, scritto da un matematico), appena possibile fornirò un riferimento più preciso.
EDIT: Il riferimento è qui post600509.html#p600509
Comunque, avevo già espresso alcune mie opinioni qui:
significato-dell-integrale-lungo-un-percorso-chiuso-t84604.html
EDIT: Il riferimento è qui post600509.html#p600509
Comunque, avevo già espresso alcune mie opinioni qui:
significato-dell-integrale-lungo-un-percorso-chiuso-t84604.html
Quando sento qualcuno scontento dello scarso formalismo matematico nei procedimenti dei fisici mi viene da dire che quel qualcuno è più portato per la matematica che per la fisica.
Nella fisica elementare, l'unica che conosco, io immagino che le intuizioni dei fisici abbiano preceduto anche storicamente le sontuose vesti che poi i matematici hanno confezionato per giustificare a posteriori e generalizzare alcuni concetti. Pertanto quando uno studia da fisico dovrebbe dare preminenza all'intuizione piuttosto che al rigore formale. E penso che lo possa fare proprio sapendo che alle spalle ci sono stati stuoli di matematici garanti che lo sollevano dai dettagli permettendogli così di cogliere l'essenza dei fenomeni. Io ho talmente tanta fiducia nei matematici che penso che anche se le cose me le "visualizzo" in modo semplicistico ma efficace per la mia intuizione (non ho detto "dimostro", questa è una parola troppo da matematici) io sto tranquillo perché ci sono ben loro a farmi da garanti, così non perdo tempo e arrivo velocemente al "dunque" del fenomeno fisico. Se pensassi diversamente avrei sbagliato strada a fare l'ingegnere e avrei dovuto invece studiare da matematico. Non si può far bene tutto ed essere portati per tutto.
Parere personale eh!
Nella fisica elementare, l'unica che conosco, io immagino che le intuizioni dei fisici abbiano preceduto anche storicamente le sontuose vesti che poi i matematici hanno confezionato per giustificare a posteriori e generalizzare alcuni concetti. Pertanto quando uno studia da fisico dovrebbe dare preminenza all'intuizione piuttosto che al rigore formale. E penso che lo possa fare proprio sapendo che alle spalle ci sono stati stuoli di matematici garanti che lo sollevano dai dettagli permettendogli così di cogliere l'essenza dei fenomeni. Io ho talmente tanta fiducia nei matematici che penso che anche se le cose me le "visualizzo" in modo semplicistico ma efficace per la mia intuizione (non ho detto "dimostro", questa è una parola troppo da matematici) io sto tranquillo perché ci sono ben loro a farmi da garanti, così non perdo tempo e arrivo velocemente al "dunque" del fenomeno fisico. Se pensassi diversamente avrei sbagliato strada a fare l'ingegnere e avrei dovuto invece studiare da matematico. Non si può far bene tutto ed essere portati per tutto.
Parere personale eh!
"Falco5x":
Quando sento qualcuno scontento dello scarso formalismo matematico nei procedimenti dei fisici mi viene da dire che quel qualcuno è più portato per la matematica che per la fisica.
Nella fisica elementare, l'unica che conosco, io immagino che le intuizioni dei fisici abbiano preceduto anche storicamente le sontuose vesti che poi i matematici hanno confezionato per giustificare a posteriori e generalizzare alcuni concetti. Pertanto quando uno studia da fisico dovrebbe dare preminenza all'intuizione piuttosto che al rigore formale. E penso che lo possa fare proprio sapendo che alle spalle ci sono stati stuoli di matematici garanti che lo sollevano dai dettagli permettendogli così di cogliere l'essenza dei fenomeni. Io ho talmente tanta fiducia nei matematici che penso che anche se le cose me le "visualizzo" in modo semplicistico ma efficace per la mia intuizione (non ho detto "dimostro", questa è una parola troppo da matematici) io sto tranquillo perché ci sono ben loro a farmi da garanti, così non perdo tempo e arrivo velocemente al "dunque" del fenomeno fisico. Se pensassi diversamente avrei sbagliato strada a fare l'ingegnere e avrei dovuto invece studiare da matematico. Non si può far bene tutto ed essere portati per tutto.
Parere personale eh!
Mah, io continuo a vederla in modo diverso. Non sono assolutamente d'accordo. La matematica che c'è dietro la fisica va applicata correttamente. Per me la dimostrazione del teorema dell'energia cinetica fornita in tutti i libri di testo non ha alcun senso. Che vuol dire prendere il lavoro infinitesimo $dL=ma*ds$, porre $ds=vdt$, scrivere $dL=m(dv/dt)*vdt$ e semplificare gli infinitesimi scrivendo $dL=mdv*v$, quindi integrando?
Per me questa non è una dimostrazione. Almeno il testo abbia il buon senso di avvisare lo studente che questo non è il procedimento rigoroso per giungere al risultato finale!
Ci voleva tanto a dire: si consideri una curva $(x(t),y(t),z(t))$, $t in [a,b]$, la sua derivata $(x'(t),y'(t),z'(t))$, e un campo vettoriale $(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))$. Si calcoli quindi l'integrale fra $a$ e $b$ del prodotto scalare fra il campo ristretto alla curva e la traiettoria derivata, cioè
$int_(a)^(b) [F_x(x(t),y(t),z(t))x'(t)+F_y(x(t),y(t),z(t))y'(t)+F_z(x(t),y(t),z(t))z'(t)dt]$=$int_(a)^(b) mx''(t)x'(t)dt+int_(a)^(b) my''(t)y'(t)dt+int_(a)^(b) mz''(t)z'(t)=(1/2)m((x'(b))^2-(x'(a))^2)$+$(1/2)m((y'(b))^2-(y'(a))^2) +$
$(1/2)m((z'(b))^2-(z'(a))^2)=(1/2)m(v(b))^2-(1/2)m(v(a))^2$?
Secondo me queste scorciatoie sono inutili semplificazioni che contribuiscono a non rendere lo studente padrone degli strumenti matematici.
Questa è la mia opinione.
Fatica sprecata, sono sicuro che a un matematico la tua dimostrazione non basterebbe, lui riempirebbe almeno 3 pagine di formalismi per giungere allo stesso risultato.
Dunque tanto vale usare il metodo dell'urang-utang, come ama chiamarlo l'ottimo Fioravante
, che almeno ha il pregio della brevità.
"Falco5x":
:lol:
Dunque tanto vale usare il metodo dell'urang-utang
Non credi che sia lecito domandarmi quale sia il modo corretto dal punto di vista matematico per giungere alla dimostrazione di un risultato fisico?
Credi che colui che abbia fornito la dimostrazione di tale teorema abbia stravolto la matematica che c'è dietro?
Molto spesso la fisica va dal generale al particolare, cioè parte dalle formule e verifica se la natura va come le formule hanno predetto; stravolgere le formule non assicura dunque grandi probabilità di successo...
La domanda è lecito farsela, e una vota tanto è giusto vedere la dimostrazione rigorosa.
Però fatto questo una volta poi si può anche semplificare, a tutto vantaggio della comprensione fisica del problema.
Questo vale nella fisica elementare, s'intende, in quella superiore non sono titolato a mettere il becco.
Nella risoluzione di problemi elementari non ho mai trovato nemmeno un solo caso nel quale la semplificazione dei differenziali abbia portato a risultati errati. So bene però che non sono dimostrazioni, ma solo regole mnemoniche per trovare velocemente dei risultati. Ecco, certi libri di fisica probabilmente sbagliano solo a pretendere che queste siano delle dimostrazioni, però fanno bene a tirare via sui formalismi altrimenti non farebbero il loro mestiere ma quello di altri.
Però fatto questo una volta poi si può anche semplificare, a tutto vantaggio della comprensione fisica del problema.
Questo vale nella fisica elementare, s'intende, in quella superiore non sono titolato a mettere il becco.
Nella risoluzione di problemi elementari non ho mai trovato nemmeno un solo caso nel quale la semplificazione dei differenziali abbia portato a risultati errati. So bene però che non sono dimostrazioni, ma solo regole mnemoniche per trovare velocemente dei risultati. Ecco, certi libri di fisica probabilmente sbagliano solo a pretendere che queste siano delle dimostrazioni, però fanno bene a tirare via sui formalismi altrimenti non farebbero il loro mestiere ma quello di altri.
Ecco, ora ci troviamo d'accordo:-). Quello che non sopporto è che i libri di fisica danno per vera la dimostrazione semplicistica, senza fornire quella rigorosa. Certo, una volta che uno ha capito quella rigorosa va anche bene dopo essere poco formali, però ripeto, dopo che si è appreso quella rigorosa, che i libri quasi mai riportano.
Il mio libro di fisica definisce il centro di massa di sistemi continui come il punto di coordinate $(int vec r dm)/(int dm)$. E' un integrale di Riemann o triplo? E gli estremi di integrazione quali sono (visto che non sono indicati)?
uppp
Si tratta in generale di un integrale triplo: l'elementino di massa $dm$ puoi infatti vederlo come un elementino di volume $d\tau$ moltiplicato per la densità $\mu$ e l'integrazione va presa sull'intero volume occupato dal sistema. Per quel che so, l'integrale di Riemann in una dimensione può essere generalizzato a più dimensioni estendendo il concetto di intervallo in $n$ dimensioni e definendo un'analoga misura di Peano-Jordan.
Ciao ^^
Ciao ^^
Dal punto di vista formale è una domanda un po' delicata perché in effetti qui dietro ci sarebbe della matematica mediamente avanzata. Ma in pratica si capisce sempre come devono andare le cose. Precisamente, se il sistema continuo è un volume, come ad esempio una sfera massiva, allora si tratta di un integrale triplo, esteso a tutto il sistema, e \(\mu\) è una funzione non negativa che determina la distribuzione della massa. Se invece il sistema è una superficie, come ad esempio una lamina, si tratta di un integrale di superficie e \(\mu\) è una funzione definita sulla superficie. Lo stesso succede se il sistema è mono-dimensionale, come ad esempio un filo.
Queste tre nozioni apparentemente diverse si possono unificare in una sola, ed è il compito della teoria della misura.
Queste tre nozioni apparentemente diverse si possono unificare in una sola, ed è il compito della teoria della misura.
Continuo a non capire bene...i miei occhi vedono la formula $vec r_c=(int vec r dm)/M$. $int vec r dm$, in base alle definizioni matematiche è una scrittura sensata? è un integrale indefinito? lasciamo stare la densità per ora..
"dissonance":
si tratta di un integrale triplo, esteso a tutto il sistema[...]Se invece il sistema è una superficie[...]si tratta di un integrale di superficie[...]
Dove c'è scritto che si tratta di un integrale indefinito?
Ciao dissonance, allora cercherò di essere il più chiaro possibile. Dividiamo il corpo in $N$ cubetti e sia $i$ l'i-esimo cubetto. Sia $Deltam_i$ la massa dell'i-esimo cubetto e sia $vec r_i$ la posizione dell'i-esimo cubetto. Consideriamo $sum_(i=1)^N vec r_i * Deltam_i$. Questa scrittura è una funzione di $N$, in altre parole una successione, di cui però NON SI CONOSCE L'ESPRESSIONE ANALITICA. Tuttavia è pur sempre una funzione, e dunque potrò considerare $lim_(N->oo) sum_(i=1)^N vec r_i * Deltam_i$. Fin qui ci sono perfettamente. Ciò che non capisco è quando i libri affermano che, in base ad una fantomatica definizione di integrale, quel limite si può mettere nella forma $int_M vec r dm$. Non capisco questo passaggio, e non capisco quale definizione di integrale si stia usando. Capito il mio problema ?
?
Ho letto da poco questo ...
DEFINITION OF A DEFINITE INTEGRAL
If $f$ is a function defined for $a<=x<=b$, we divide the interval $[a,b]$ into $n$ subintervals of equal width $Deltax=(b-a)/n$.
We let $x_0(=a),x_1,x_2,...,x_n(=b)$ be the endpoints of these subintervals and we let $x_1^°,x_2^°,...,x_n^°$ be any sample points in these subintervals, so $x_i^°$ lies in the $i$th subinterval $[x_(i-1),x_i]$. Then the definite integral of $f$ from $a$ to $b$ is
$int_a^b f(x) dx = lim_{n to infty}sum_(i=1)^n f(x_i^°)Deltax$
provided that this limit exists. If it does exist, we say that $f$ is integrable on $[a,b]$
Pensi che ti vada bene come definizione?
Cordialmente, Alex
DEFINITION OF A DEFINITE INTEGRAL
If $f$ is a function defined for $a<=x<=b$, we divide the interval $[a,b]$ into $n$ subintervals of equal width $Deltax=(b-a)/n$.
We let $x_0(=a),x_1,x_2,...,x_n(=b)$ be the endpoints of these subintervals and we let $x_1^°,x_2^°,...,x_n^°$ be any sample points in these subintervals, so $x_i^°$ lies in the $i$th subinterval $[x_(i-1),x_i]$. Then the definite integral of $f$ from $a$ to $b$ is
$int_a^b f(x) dx = lim_{n to infty}sum_(i=1)^n f(x_i^°)Deltax$
provided that this limit exists. If it does exist, we say that $f$ is integrable on $[a,b]$
Pensi che ti vada bene come definizione?
Cordialmente, Alex
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