Integrale di un prodotto scalare
Salve a tutti! Ho una domanda da porvi.
in fisica spesso viene valutato l'integrale di linea di un prodotto scalare. In particolare, si risolve inizialmente il prodotto scalare e successivamente si valuta l'integrale che molto spesso viene ricondotto ad un integrale definito di Riemann.
La cosa che mi lascia un poco perplesso è il modo in cui successivamente si risolve l'integrale definito, infatti un prodotto scalare del tipo $vec(E) * text(d) vec(s)$ diventa $|vec(E)||text(d) vec(s)| cos theta$ (in cui $theta$ è l’angolo tra $vec(E)$ e $text(d) vec(s)$).
Mi aspetterei che in questo caso dovrei risolvere l'integrale assumendo che lo spostamento infinitesimo sia in modulo dato che il prodotto scalare mi fornisce il prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell'angolo compreso tra i due. Il punto è che molti libri di fisica trattano $|text(d) vec(s)|$ e $text(d) s$ come se fossero intercambiabili e quindi si procede all'integrazione senza alcun problema.
Riflettendo sul concetto di integrale, mi è venuto in mente che il differenziale rappresenta la base di un generico rettangolo che tende a zero da destra, quindi una quantità positiva. Seguendo questo ragionamento, è possibile omettere il modulo e procedere con l'integrazione (e quindi si spiegherebbe il motivo per cui $|text(d) vec(s)| = text(d) s$). Spero di non essermi sbagliato.
Rimando a voi la spiegazione corretta di quanto da me richiestovi.
Un caloroso saluto a tutti!
in fisica spesso viene valutato l'integrale di linea di un prodotto scalare. In particolare, si risolve inizialmente il prodotto scalare e successivamente si valuta l'integrale che molto spesso viene ricondotto ad un integrale definito di Riemann.
La cosa che mi lascia un poco perplesso è il modo in cui successivamente si risolve l'integrale definito, infatti un prodotto scalare del tipo $vec(E) * text(d) vec(s)$ diventa $|vec(E)||text(d) vec(s)| cos theta$ (in cui $theta$ è l’angolo tra $vec(E)$ e $text(d) vec(s)$).
Mi aspetterei che in questo caso dovrei risolvere l'integrale assumendo che lo spostamento infinitesimo sia in modulo dato che il prodotto scalare mi fornisce il prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell'angolo compreso tra i due. Il punto è che molti libri di fisica trattano $|text(d) vec(s)|$ e $text(d) s$ come se fossero intercambiabili e quindi si procede all'integrazione senza alcun problema.
Riflettendo sul concetto di integrale, mi è venuto in mente che il differenziale rappresenta la base di un generico rettangolo che tende a zero da destra, quindi una quantità positiva. Seguendo questo ragionamento, è possibile omettere il modulo e procedere con l'integrazione (e quindi si spiegherebbe il motivo per cui $|text(d) vec(s)| = text(d) s$). Spero di non essermi sbagliato.
Rimando a voi la spiegazione corretta di quanto da me richiestovi.
Un caloroso saluto a tutti!
Risposte
Probabilmente dipende dal fatto che il coseno porta l’informazione sul segno, ossia sul fatto che la proiezione di $vec(E)$ sull’elemento orientato di curva $text(d)vec(s)$ è equiversa o meno a $text(d) vec(s)$.
Potresti fare qualche esempio?
Potresti fare qualche esempio?
@BorkIndiana
guarda la figura seguente; un punto materiale si sposta da A a B lungo un quarto di circonferenza di raggio R. Una forza $vecF $ costante è applicata al punto . Il lavoro della forza è dato da :
$L = int_A^B vecF * vec(ds) = int_A^B F*ds* cosalpha$
dove $alpha$ è l’angolo, variabile da $0$ a $\pi/2$ che la tangente alla circonferenza forma con la direzione costante della forza. Esprimi quest’angolo in funzione di $theta$ , essendo questo l’angolo che il raggio in un punto generico forma con la verticale , e integra.
LA tangente alla circonferenza c’entra, perchè lo spostamento elementare $vec(ds)$ è proprio su questa tangente.
È normale indicare il modulo di un vettore $vecv$ , e cioè $|vecv|$ , col simbolo $v$ , e basta. Questo vale anche per $vec(ds)$ .
guarda la figura seguente; un punto materiale si sposta da A a B lungo un quarto di circonferenza di raggio R. Una forza $vecF $ costante è applicata al punto . Il lavoro della forza è dato da :
$L = int_A^B vecF * vec(ds) = int_A^B F*ds* cosalpha$
dove $alpha$ è l’angolo, variabile da $0$ a $\pi/2$ che la tangente alla circonferenza forma con la direzione costante della forza. Esprimi quest’angolo in funzione di $theta$ , essendo questo l’angolo che il raggio in un punto generico forma con la verticale , e integra.
LA tangente alla circonferenza c’entra, perchè lo spostamento elementare $vec(ds)$ è proprio su questa tangente.
È normale indicare il modulo di un vettore $vecv$ , e cioè $|vecv|$ , col simbolo $v$ , e basta. Questo vale anche per $vec(ds)$ .
Parlo di ammissibilità matematica di questo tipo di integrazione. In un integrale di Riemann difficilmente si incontra un differenziale in modulo. La questione è proprio questa.
In fisica si è un po’ più disinvolti su certe questioni, non ci si fascia troppo la testa con degli orpelli matematici pur giusti. Dovrai abituarti a considerare i vari dx , da, dm, dv...nella duplice veste di quantità elementare e di differenziale. Altrimenti, se ti blocchi a questo punto, succede che mentre tu stai ancora pensando al tuo dubbio (legittimo eh) io calcolo quel lavoro in pochi minuti procedendo come detto.
In termodinamica, per fare un altro esempio, trovo in certi casi un lavoro elementare come prodotto di una pressione per una variazione di volume dV : $pdv$ . E che faccio? Mi metto a discutere sul significato matematico? No , se per esempio devo calcolare il lavoro in una trasformazione isoterma reversibile tra due stati 1 e 2 , scrivo :
$int_1^2pdv$
e uso la legge dei gas perfetti se è fisicamente lecito per trovare il lavoro.
Sul significato di dx, Fioravante Patrone ha scritto una dispensa.
Ma in fisica devi “ingoiare il rospetto “ e andare avanti .
In termodinamica, per fare un altro esempio, trovo in certi casi un lavoro elementare come prodotto di una pressione per una variazione di volume dV : $pdv$ . E che faccio? Mi metto a discutere sul significato matematico? No , se per esempio devo calcolare il lavoro in una trasformazione isoterma reversibile tra due stati 1 e 2 , scrivo :
$int_1^2pdv$
e uso la legge dei gas perfetti se è fisicamente lecito per trovare il lavoro.
Sul significato di dx, Fioravante Patrone ha scritto una dispensa.
Ma in fisica devi “ingoiare il rospetto “ e andare avanti .
Vorrei che qualche matematico del forum mi spieghi bene la questione. Sono molto curioso.
$vec(E) * text(d) vec(s)$ diventa $|vec(E)||text(d) vec(s)| cos theta$
Quando non c'è il segno di vettore è da intendersi come modulo, e in questo senso sono si intercambiabili
Quando non c'è il segno di vettore è da intendersi come modulo, e in questo senso sono si intercambiabili
"BorkIndiana":
Vorrei che qualche matematico del forum mi spieghi bene la questione. Sono molto curioso.
Sinceramente, continuo a non capire il punto.
Il simbolo $int_(gamma) vec(E) * text(d) vec(s)$ è una notazione compatta per l'integrale di una f.d.l., cioè $int_(+gamma) E_x text( d)x + E_y text( d)y + E_z text( d)z = int_I ( E_x x^\prime + E_y y^\prime + E_z z^\prime ) text( d) sigma$
(in cui $sigma in I$ è il parametro corrente su $+gamma$).
Ora, l'integrando o lo calcoli come ho fatto sopra (cioè usando le coordinate) o lo calcoli geometricamente (cioè col prodotto dei moduli e del coseno dell'angolo) non c'è differenza.
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