Integrale di superficie polarizzazione
sto studiando il comportamento del campo elettrico nei dielettrici. non mi è chiara una relazione apparentemente innocua, a pag 12 del link nello spoiler, ovvero $q_p = int dA$ dove l'integrale si intende esteso alla superficie chiusa e q_p è la carica di polarizzazione che si forma nel dielettrico (siamo nel contesto di dielettrici isotropi, per cui vale la definizione a pag 11 per il vettore P). questo perchè la carica di polarizzazione non si trova sulla superficie, bensì all'interno del volume. se il campo E fosse costante nel dielettrico, mi ritroverei perfettamente. ma in queste condizioni no, perchè $ = sigma_p$, che è la densità superficiale di carica, e proprio per il fatto che è superficiale, essa dovrebbe essere nulla all'interno del dielettrico, quindi anche sulla superficie A superiore in figura.
qualcuno può delucidarmi?
qualcuno può delucidarmi?
Risposte
qualche aiuto?
Grazie ad un campo elettrico $\vec E$ esterno il vettore di polarizzazione cosi' definito $\vecP=(d\vecp)/(d\tau)$ e' non nullo perche' esso non e' altro che il momento di dipolo medio delle molecole o atomi per unita' di volume $d\tau$.Cioe' grazie ad esso le molecole del dielettrico acquistano una orientazione concorde al campo $\vecE$
Adesso $\vecPd\tau=d\vecp$ sappiamo che un volumetto e' $d\tau=dSdh$ e in un volumetto il momento di dipolo $d\vec p=dqd\vech$ nella direzione di $dh$ che e' orientato per definizione come $d\vec P$.per cui :$PdSd\vech=dq\dvech$.Uguagliando $PdS=dq$.Hai che $\sigmadS=dq$ e quindi $P=\sigma$
Ora se questo vettore e' non nullo cioe' in generale tutti i momenti di dipolo per unita' sono orientati secondo il campo $\vecE$ indica che il dielettrico e' polarizzato e preso un volumetto del dielettrico ci possono essere delle cariche che possono anche essere presenti sulle pareti superficiali a stretto contatto con le superficie del condensatore.
Ora bisogna capire se all'interno del dielettrico le cariche positive e quelle negative si annullano tale da avere densita' di carica di volume nulla $\rho_p=0$.Se il vettore $\vec P$ e' uniforme gli atomi si dispongono in modo che si formano catene di atomi positivi opposti a quelli negativi e cosi' via finche' alle parti superficiali quasi a contatto con le pareti del condensatore si hanno cariche opposte dovute appunto al quasi contatto con le cariche del condensatore.in queste 2 parti opposte si formano in un tratto di superficie piccolo (come nella superficie esterna del conduttore ) densita' superficiali uguali ma opposte $\sigma_p$ e $-\sigma_p$.Il $p$ come apice indicano densita' superficiale di polarizzazione diversa da quelle che si trovano sul condensatore. Utilizzando il vettore polarizzazione ai lati esterni avrai:$\P=\sigma_p$ e $P=-\sigma_p$.Quindi all'interno e' come se non ci fosse nessuna carica(si annullano) e se non ci sono cariche all'interno allora per forza ai lati la carica totale e' nulla(la somma abbiamo visto che e' nulla).
Se il vettore non e' uniforme vi sono cariche di polarizzazione all'interno del dielettrico che non si compensano per cui in un volumetto la densita' volumetrica sara' $\rho_p!=0$ (mentre se e' uniforme in un volumetto era sempre $\rho_p=0$)anche se nel complesso la somma delle cariche ai lati superficiali e delle cariche nel dielettrico sara' sempre nulla
Adesso $\vecPd\tau=d\vecp$ sappiamo che un volumetto e' $d\tau=dSdh$ e in un volumetto il momento di dipolo $d\vec p=dqd\vech$ nella direzione di $dh$ che e' orientato per definizione come $d\vec P$.per cui :$PdSd\vech=dq\dvech$.Uguagliando $PdS=dq$.Hai che $\sigmadS=dq$ e quindi $P=\sigma$
Ora se questo vettore e' non nullo cioe' in generale tutti i momenti di dipolo per unita' sono orientati secondo il campo $\vecE$ indica che il dielettrico e' polarizzato e preso un volumetto del dielettrico ci possono essere delle cariche che possono anche essere presenti sulle pareti superficiali a stretto contatto con le superficie del condensatore.
Ora bisogna capire se all'interno del dielettrico le cariche positive e quelle negative si annullano tale da avere densita' di carica di volume nulla $\rho_p=0$.Se il vettore $\vec P$ e' uniforme gli atomi si dispongono in modo che si formano catene di atomi positivi opposti a quelli negativi e cosi' via finche' alle parti superficiali quasi a contatto con le pareti del condensatore si hanno cariche opposte dovute appunto al quasi contatto con le cariche del condensatore.in queste 2 parti opposte si formano in un tratto di superficie piccolo (come nella superficie esterna del conduttore ) densita' superficiali uguali ma opposte $\sigma_p$ e $-\sigma_p$.Il $p$ come apice indicano densita' superficiale di polarizzazione diversa da quelle che si trovano sul condensatore. Utilizzando il vettore polarizzazione ai lati esterni avrai:$\P=\sigma_p$ e $P=-\sigma_p$.Quindi all'interno e' come se non ci fosse nessuna carica(si annullano) e se non ci sono cariche all'interno allora per forza ai lati la carica totale e' nulla(la somma abbiamo visto che e' nulla).
Se il vettore non e' uniforme vi sono cariche di polarizzazione all'interno del dielettrico che non si compensano per cui in un volumetto la densita' volumetrica sara' $\rho_p!=0$ (mentre se e' uniforme in un volumetto era sempre $\rho_p=0$)anche se nel complesso la somma delle cariche ai lati superficiali e delle cariche nel dielettrico sara' sempre nulla
grazie di avermi risposto, in realtà avevo capito questa considerazione. il problema è questo (è di matematica più che di fisica): P*u_n è (equivalente al)la densità di carica di polarizzazione, quindi per ottenere la carica di polarizzazione dovrei moltiplicare tale densità per la superficie sulla quale è distribuita, ovvero ottengo un integrale di superficie. ma sul cilindretto segnato nelle dispense, se non ho capito male, la densità di carica è nulla (perchè le cariche vicine si annullano nel dielettrico), quindi a rigore pure l'integrale sulla superficie chiusa (cioè l'intero cilindro) dovrebbe essere nullo. puoi aiutarmi in qualche modo?
up
Il fatto e' che hai 2 distribuizioni di carica superficiali,a destra e a sinistra.Le due somme sono nulle per cui $P$ e' nullo.Ma quella che a te interessa e' il valore di $P$ su una delle 2 superfici del dielettrico.Cioe':Se per esempio hai in un punto il valore di una forza $-F$ e in un altro $+F$ non vuol dire che non c'e' forza.$P$ dentro esiste perche' e' proprio un dipolo che dentro esiste ma nel cilindretto avrai un $-P=-\sigma$ e $P=+\sigma$ che si elidono finche' nelle 2 faccie laterali avrai in una $-P=-\sigma$ e nell'altra $P=+\sigma$.
Quello che ti confonde credo che sia il fatto che: $\vecP$ e' un vetttore che ha un verso e direzione uguale dappertutto ma se fai il prodotto scalare con $\vec P\hat udS$ dentro al cilindretto per le 2 faccie laterali avrai $\sigma=(-dq)/(dS)$ e $\sigma=(dq)/(dS)$ che si elidono quando $ P=-\sigma=(-dq)/(dS)$ e $P=+\sigma=(+dq)/(dS)$ .Ma $P$ c'e' eccome.Arrivi alla fine di una faccia dove questa elisione non c'e' perche' avrai da una parte tutto un $\sigma=(-dQ)/(dS)$ e $\sigma=(dQ)/(dS)$
Se prendi l'esempio della sfera lui ti calcola il $P$ sulla superficie dove pero' il prodotto scalare $\vecP\vec(dS)$ e' addirittura nullo agli estremi della sfera e cio' vuol dire che la carica totale in quel punto non esiste e quindi la densita' superficiale non esiste in quel punto.Infatti in quel punto ci sono proprio 2 cariche opposte che si elidono.Se non si elidono allora puoi trovare la sua densita' nel punto o su una parte della superficie.Spero di essere stato chiaro.
Scusa se ti ho risposto in ritardo ma ero molto impicciato.
Quello che ti confonde credo che sia il fatto che: $\vecP$ e' un vetttore che ha un verso e direzione uguale dappertutto ma se fai il prodotto scalare con $\vec P\hat udS$ dentro al cilindretto per le 2 faccie laterali avrai $\sigma=(-dq)/(dS)$ e $\sigma=(dq)/(dS)$ che si elidono quando $ P=-\sigma=(-dq)/(dS)$ e $P=+\sigma=(+dq)/(dS)$ .Ma $P$ c'e' eccome.Arrivi alla fine di una faccia dove questa elisione non c'e' perche' avrai da una parte tutto un $\sigma=(-dQ)/(dS)$ e $\sigma=(dQ)/(dS)$
Se prendi l'esempio della sfera lui ti calcola il $P$ sulla superficie dove pero' il prodotto scalare $\vecP\vec(dS)$ e' addirittura nullo agli estremi della sfera e cio' vuol dire che la carica totale in quel punto non esiste e quindi la densita' superficiale non esiste in quel punto.Infatti in quel punto ci sono proprio 2 cariche opposte che si elidono.Se non si elidono allora puoi trovare la sua densita' nel punto o su una parte della superficie.Spero di essere stato chiaro.
Scusa se ti ho risposto in ritardo ma ero molto impicciato.
mmm.. penso di aver capito cosa vuoi dirmi, ti chiedo conferma. riconsideriamo il volume di dielettrico: in pratica mi stai dicendo che il fatto di avere densità di carica volumica effettivamente nulla, e densità di carica volumica complessivamente nulla, sono due situazioni fisiche molto diverse, almeno in questo contesto: quando prima ti ho chiesto dell'integrale di superficie sul cilindretto tratteggiato (nelle dispense), se la densità fosse realmente nulla, allora l'integrale verrebbe 0, e d'altra parte sarebbe nullo pure il vettore P nel volumetto infinitesimo, poichè non sono presenti dipoli; invece se cariche opposte e uguali in modulo si dispongono vicine, in maniera tale che la densità volumica si possa considerare nulla, il vettore P è non nullo (nel nostro caso anche costante), infatti si formano dipoli. inoltre quando calcolo l'integrale di superficie, questo è diverso da 0 perchè devo considerare sempre lo stesso versore normale: quindi, che vada ad integrare sul bordo del dielettrico, o che vada ad integrare su una superficie contenuta nel volume interno, le cose non cambiano perchè la densità è sempre costante. a patto di essere stato comprensibile, puoi dirmi se è corretto?
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