Integrale di radiazione in campo lontano
Buongiorno a tutti,
stavo rileggendo varie cose sul libro 'Fondamenti di Antenne, radiazione elettromagnetica e applicazioni - Marzano, Pierdicca' e ce n'è una in particolare che mi ha bloccato.
Nella sezione 'Integrale di radiazione in campo lontano', pag. 135 del testo sopracitato, leggo che in campo lontano il campo elettrico prodotto da una assegnata distribuzione di correnti si può calcolare come (dominio dei fasori):
$$\underline{E}_\infty(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} [J_{i_\theta}(\underline{r}')\underline{\theta}_0+J_{i_\phi}(\underline{r}')\underline{\phi}_0]e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' +\\- \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} [-J_{mi_\theta}(\underline{r}')\underline{\phi}_0+J_{mi_\phi}(\underline{r}')\underline{\theta}_0]e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
dove \(\displaystyle \underline{E}_\infty \) è il campo elettrico lontano dalle sorgenti, \(\displaystyle\underline{r}\) è il punto di osservazione (di modulo \(\displaystyle r \) e con versore \(\displaystyle \underline{r}_0 \)), \(\displaystyle \omega\) è la pulsazione angolare, \(\displaystyle\mu \) è la permeabilità magnetica del materiale, \(\displaystyle \epsilon \) quella elettrica, \(\displaystyle k=\omega\sqrt{\mu\epsilon} \), \(\displaystyle V' \) è un volume sufficiente grande da contenere tutte le sorgenti impresse, composte da correnti elettriche \(\displaystyle \underline{J}_i \) e correnti magnetiche \(\displaystyle \underline{J}_{mi} \), \(\displaystyle\underline{r}'\) è il generico punto di sorgente ed infine \(\displaystyle \underline{\theta}_0 \) e \(\displaystyle \underline{\phi}_0 \) sono gli altri due versori angolari del sistema di riferimento a coordinate sferiche.
Il mio dubbio sorge nel momento in cui, dalla formula di sopra, si passa a queste tre (pagina successiva del testo):
$$E_{\infty_r}(\underline{r})=0$$
$$E_{\infty\theta}(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\theta}(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' - \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{mi_\phi}(\underline{r}')e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
$$E_{\infty\phi}(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\phi}(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' + \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{mi_\theta}(\underline{r}')e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
che non capisco come possano essere ottenute in quanto, secondo me, i versori angolari dipendono da \(\displaystyle\underline{r}'\) e non possono essere portati fuori dall'integrale.
Mi sbaglio?
Grazie in anticipo dell'aiuto.
stavo rileggendo varie cose sul libro 'Fondamenti di Antenne, radiazione elettromagnetica e applicazioni - Marzano, Pierdicca' e ce n'è una in particolare che mi ha bloccato.
Nella sezione 'Integrale di radiazione in campo lontano', pag. 135 del testo sopracitato, leggo che in campo lontano il campo elettrico prodotto da una assegnata distribuzione di correnti si può calcolare come (dominio dei fasori):
$$\underline{E}_\infty(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} [J_{i_\theta}(\underline{r}')\underline{\theta}_0+J_{i_\phi}(\underline{r}')\underline{\phi}_0]e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' +\\- \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} [-J_{mi_\theta}(\underline{r}')\underline{\phi}_0+J_{mi_\phi}(\underline{r}')\underline{\theta}_0]e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
dove \(\displaystyle \underline{E}_\infty \) è il campo elettrico lontano dalle sorgenti, \(\displaystyle\underline{r}\) è il punto di osservazione (di modulo \(\displaystyle r \) e con versore \(\displaystyle \underline{r}_0 \)), \(\displaystyle \omega\) è la pulsazione angolare, \(\displaystyle\mu \) è la permeabilità magnetica del materiale, \(\displaystyle \epsilon \) quella elettrica, \(\displaystyle k=\omega\sqrt{\mu\epsilon} \), \(\displaystyle V' \) è un volume sufficiente grande da contenere tutte le sorgenti impresse, composte da correnti elettriche \(\displaystyle \underline{J}_i \) e correnti magnetiche \(\displaystyle \underline{J}_{mi} \), \(\displaystyle\underline{r}'\) è il generico punto di sorgente ed infine \(\displaystyle \underline{\theta}_0 \) e \(\displaystyle \underline{\phi}_0 \) sono gli altri due versori angolari del sistema di riferimento a coordinate sferiche.
Il mio dubbio sorge nel momento in cui, dalla formula di sopra, si passa a queste tre (pagina successiva del testo):
$$E_{\infty_r}(\underline{r})=0$$
$$E_{\infty\theta}(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\theta}(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' - \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{mi_\phi}(\underline{r}')e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
$$E_{\infty\phi}(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\phi}(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' + \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{mi_\theta}(\underline{r}')e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
che non capisco come possano essere ottenute in quanto, secondo me, i versori angolari dipendono da \(\displaystyle\underline{r}'\) e non possono essere portati fuori dall'integrale.
Mi sbaglio?
Grazie in anticipo dell'aiuto.
Risposte
Non conosco minimamente l'argomento, ma a quanto vedo i versori $\theta_0$ e $phi_0$ non sono apostrofati. Tu stai integrando però su $dV'$ quindi non dovresti avere problemi.
Purtroppo non è questa la soluzione, ma ti ringrazio della risposta.
Forse dovevo apostrofarli, sì. In ogni caso quelli sono i versori del vettore 'corrente' e 'corrente magnetica', man mano che integri, essi devono spostarsi in funzione di dove sei, ovvero in funzione di \(\displaystyle r', \theta', \phi' \).
Forse dovevo apostrofarli, sì. In ogni caso quelli sono i versori del vettore 'corrente' e 'corrente magnetica', man mano che integri, essi devono spostarsi in funzione di dove sei, ovvero in funzione di \(\displaystyle r', \theta', \phi' \).
Non conosco l'argomento quindi mi devo fidare, ma mi sembra molto strano. Per analogia con problemi di fisica 2 mi sembrava logico che non fossero apostrofati. Anche perché non mi pare ci sia altra soluzione altrimenti...
Spero che qualcun altro possa aiutarti.
Spero che qualcun altro possa aiutarti.
Così si capisce meglio il motivo per cui non possono essere costanti (nel disegno non ho disegnato il versore \(\displaystyle \underline{\phi}_0 \) perché avrebbe confuso un pò il tutto).
[fcd][FIDOCAD]
LI 105 30 105 90 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 105 90 175 90 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 105 90 55 120 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
CV 0 175 25 185 20 200 20 215 35 215 45 205 50 190 45 185 40 180 40 175 50 170 55 160 55 160 45 165 30 175 25 0
TY 50 110 4 3 0 0 0 * x
TY 180 80 4 3 0 0 0 * y
TY 100 25 4 3 0 0 0 * z
TY 170 30 4 3 0 0 0 * J, Jm
LI 160 55 150 50 0
CV 0 150 50 150 40 155 25 165 20 175 20 180 20 195 15 215 35 0
LI 105 90 170 55 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 143 29 2 2 0 0 2 * 2
LI 105 90 155 25 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 168 48 2 2 0 0 2 * 1
TY 165 45 4 3 0 0 2 * r'
TY 140 25 4 3 0 0 2 * r'
LI 170 55 177 52 11
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 155 25 160 30 11
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 155 25 160 20 11
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 170 55 173 62 11
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
[fcd][FIDOCAD]
LI 105 30 105 90 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 105 90 175 90 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
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FCJ 2 0 3 2 0 0
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TY 50 110 4 3 0 0 0 * x
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LI 160 55 150 50 0
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LI 105 90 170 55 2
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LI 105 90 155 25 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 168 48 2 2 0 0 2 * 1
TY 165 45 4 3 0 0 2 * r'
TY 140 25 4 3 0 0 2 * r'
LI 170 55 177 52 11
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 155 25 160 30 11
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LI 155 25 160 20 11
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 170 55 173 62 11
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
Premesso che non ricordo nei dettagli il calcolo del campo nella zona di fraunhofer (ma le approssimazioni dovrebbero essere già tutte esplicitate qui se non sbaglio) ad ogni modo credo che al massimo ci sia una forzatura formale nel senso che ti da direttamente il risultato. Quei due versori non hanno niente a che vedere con le variabili di integrazione. Pensala al contrario (o meglio dall'inizio), partendo dal potenziale vettore in campo lontano che è in generale
$\vecA(\vecr)=e^(-jkr)/(4\pi r) \int_V \vecJ(\vecr') e^(jkr'*r_0) dV'=f(r) \vecG(\theta,\phi)$
dove la funzione di r è quello che sta fuori dall'integrale e la funzione vettoriale G è il risultato dell'integrale.
Ma $\vecG=G_r \vecr_0 + G_\theta \vec\theta_0 + G_\phi \vec\phi_0$ .
Inserendo questo potenziale nella formula del campo elettrico relativa a questa rappresentazione con i fasori (che francamente non ricordo, ovviamente c'è $-i\omega\mu \vecA$ ma ci sono anche altri pezzi se non ricordo male; comuqnue sul tuo libro sicuramente c'è tutto), trovi proprio quella forma lì.
$\vecA(\vecr)=e^(-jkr)/(4\pi r) \int_V \vecJ(\vecr') e^(jkr'*r_0) dV'=f(r) \vecG(\theta,\phi)$
dove la funzione di r è quello che sta fuori dall'integrale e la funzione vettoriale G è il risultato dell'integrale.
Ma $\vecG=G_r \vecr_0 + G_\theta \vec\theta_0 + G_\phi \vec\phi_0$ .
Inserendo questo potenziale nella formula del campo elettrico relativa a questa rappresentazione con i fasori (che francamente non ricordo, ovviamente c'è $-i\omega\mu \vecA$ ma ci sono anche altri pezzi se non ricordo male; comuqnue sul tuo libro sicuramente c'è tutto), trovi proprio quella forma lì.
Nell'integrale che hai scritto, il vettore J lo puoi esplicitare sommando le sue componenti in coordinate cartesiane e in tale caso puoi vederlo come 3 integrali diversi.
Se fai la stessa cosa, ma esplodendo J nella somma delle sue tre componenti in coordinate sferiche, non puoi più vedere quell'integrale come 3 integrali separati.
Concordi?
Il problema che pongo in [1] è esattamente analogo a quello che hai scritto. Anzi, la prima equazione in [1] è proprio la tua, convertita però già per il campo (ci sono anche le correnti magnetiche, è solo una generalizzazione), ma tanto è uguale.
Se fai la stessa cosa, ma esplodendo J nella somma delle sue tre componenti in coordinate sferiche, non puoi più vedere quell'integrale come 3 integrali separati.
Concordi?
Il problema che pongo in [1] è esattamente analogo a quello che hai scritto. Anzi, la prima equazione in [1] è proprio la tua, convertita però già per il campo (ci sono anche le correnti magnetiche, è solo una generalizzazione), ma tanto è uguale.
Scusami non capisco, sarà il caldo 
. Se hai un integrale sul volume del tipo $\int \vecF dV$ , rispetto ad xyz puoi scrivere
$\intF_x \hat{x} dV +\intF_y \hat{y} dV +\intF_z \hat{z} dV $ . La stessa cosa anche per le coordinate sferiche. Certo il $dV$ in un caso è $dxdydz$ e nell'altro è $r^2drd\Omega$.
Ma non so se ho capito cosa intendi.
. Se hai un integrale sul volume del tipo $\int \vecF dV$ , rispetto ad xyz puoi scrivere$\intF_x \hat{x} dV +\intF_y \hat{y} dV +\intF_z \hat{z} dV $ . La stessa cosa anche per le coordinate sferiche. Certo il $dV$ in un caso è $dxdydz$ e nell'altro è $r^2drd\Omega$.
Ma non so se ho capito cosa intendi.
Secondo me intende che in coordinate sferiche i versori dipendo da $\theta$ e $\phi$ e quindi non li puoi portare fuori dall'integrale come invece si fa con i versoi cartesiani.
Ma non sono da portare fuori (nel senso che pensando al potenziale a priori non ci sono proprio nell'integrale a meno di non voler pensare subito in coordinate sferiche), non sono loro le variabili di integrazione, per questo ho scritto il potenziale perché fosse più chiaro. Nel volume V varia $r',\theta',\phi'$ non $\r,\theta,\phi$ che afferiscono al punto in cui si osserva il campo non il punto dove sono le sorgenti.
Non so come dirlo meglio, ma J è un vettore che dipende dalle variabili con gli apici (quelle che scansionano tutto il volume V).
Se quel vettore lo esprimi in coordinate cartesiane, sei in un caso particolare in cui solo le componenti del vettore dipendono dalle variabili con apici.
Se invece quel vettore lo esprimi in coordinate qualsiasi, come ad esempio quelle sferiche, hai che in generale oltre alle componenti del vettore, anche i versori che identificano il vettore dipendono dalle coordinate (sto parlando sempre di quelle con apici).
In quell’integrale il punto di osservazione non c’entra niente, compare solo nell’esponenziale complesso, tutto il discorso si basa sulle variabili con apici.
Se quel vettore lo esprimi in coordinate cartesiane, sei in un caso particolare in cui solo le componenti del vettore dipendono dalle variabili con apici.
Se invece quel vettore lo esprimi in coordinate qualsiasi, come ad esempio quelle sferiche, hai che in generale oltre alle componenti del vettore, anche i versori che identificano il vettore dipendono dalle coordinate (sto parlando sempre di quelle con apici).
In quell’integrale il punto di osservazione non c’entra niente, compare solo nell’esponenziale complesso, tutto il discorso si basa sulle variabili con apici.
"Silent":
Non so come dirlo meglio, ma J è un vettore che dipende dalle variabili con gli apici (quelle che scansionano tutto il volume V).
Certo, così ho anche scritto io.
"Silent":
Se quel vettore lo esprimi in coordinate cartesiane, sei in un caso particolare in cui solo le componenti del vettore dipendono dalle variabili con apici.
Se invece quel vettore lo esprimi in coordinate qualsiasi, come ad esempio quelle sferiche, hai che in generale oltre alle componenti del vettore, anche i versori che identificano il vettore dipendono dalle coordinate (sto parlando sempre di quelle con apici).
Non capisco quale sia il problema. Dopo che hai svolto l'integrale e sommato rispetto a tutte le orientazioni nel volume comunque hai trovato delle componenti lungo il raggio e gli angoli i cui versori chiami $r_0,\theta_0,\phi_0$ , come un qualunque vettore.
"Silent":
In quell’integrale il punto di osservazione non c’entra niente, compare solo nell’esponenziale complesso, tutto il discorso si basa sulle variabili con apici.
Il punto di osservazione conta eccome, altrimenti come sfrutti le approssimazioni di campo lontano? Non vale mica ovunque quel risultato.
Detto questo non so davvero come esprimermi diversamente senza ripetermi quindi nel caso non fosse chiaro lascio il campo a chi magari sa approcciarti la cosa da un altro punto di vista. Anche se non vedo davvero quale potrebbe essere
"Nikikinki":
Non capisco quale sia il problema. Dopo che hai svolto l'integrale e sommato rispetto a tutte le orientazioni nel volume comunque hai trovato delle componenti lungo il raggio e gli angoli i cui versori chiami r0,θ0,ϕ0 , come un qualunque vettore.
Così sarebbe giusto.
Quello che non è giusto secondo me è fare questa separazione prima di aver concluso l'integrazione, spezzando l'equazione vettoriale in 3.
Comunque io dico che:
\(\displaystyle\underline{J}(r',\theta'\phi')=J_r(r',\theta',\phi')\underline{r}_0(r', \theta', \phi') +J_\theta(r',\theta',\phi')\underline{\theta}_0(r', \theta', \phi')+J_\phi(r',\theta',\phi')\underline{\phi}_0(r', \theta', \phi') \)
mentre tu dici che:
\(\displaystyle\underline{J}(r',\theta'\phi')=J_r(r',\theta',\phi')\underline{r}_0 +J_\theta(r',\theta',\phi')\underline{\theta}_0+J_\phi(r',\theta',\phi')\underline{\phi}_0\)
La sostanza è questa.
Grazie delle risposte.
Aspetta vediamo di chiarire questa cosa sennò ci dormo male. Comunque non ho detto esattamente quello, io ho detto che quei versori sono quelli che identificano le componenti del potenziale, non le coordinate di tutti i dipoli dell'antenna che invece sono $r',\theta',\phi'$. Però rileggendo il tuo primo post ho notato che c'è scritto, ad esempio, $J_(i\theta) \vec\theta_0$ mentre io avevo letto $\vecJ_(i\theta) \vec\theta_0$ perché ero abituato a vedere quella notazione (con il pedice 0) sul potenziale vettore e poi riportata al campo elettrico (per questo dissi "forzatura formale"), che poi è quello che ho riassunto in quella risposta che hai citato adesso. Credo fosse per questo che non ci capivamo bene, colpa mia. Quindi o c'è davvero un errore di forma oppure, se con quel versore indica proprio le orientazioni dei dipoli ci deve essere un motivo per cui non variano su V. Mi sono andato a riguardare l'approssimazione di campo lontano e credo di aver capito l'arcano.
Come ti dicevo, il punto di osservazione conta: nel riguardare le approssimazioni che si usano in questo caso ho trovato che essendo molto lontani rispetto alle dimensioni della sorgente, e quindi potendo essa essere considerata puntiforme, le orientazioni perdono di significato sul volume V e si possono considerare tutti i dipoli centrati nello stesso punto identificato da $\vecr_0,\vec\theta_0,\vec\phi_0$ . Adesso credo che la risposta dovrebbe soddisfarti
Come ti dicevo, il punto di osservazione conta: nel riguardare le approssimazioni che si usano in questo caso ho trovato che essendo molto lontani rispetto alle dimensioni della sorgente, e quindi potendo essa essere considerata puntiforme, le orientazioni perdono di significato sul volume V e si possono considerare tutti i dipoli centrati nello stesso punto identificato da $\vecr_0,\vec\theta_0,\vec\phi_0$ . Adesso credo che la risposta dovrebbe soddisfarti
Sappi che sto apprezzando molto il tempo che mi stai dedicando, ti ringrazio.
Purtroppo però non sono ancora d'accordo con te, in quanto non può essere che:
poiché se così fosse un dipolo in orizzontale emetterebbe allo stesso modo di un dipolo in verticale, sarebbe una forzatura troppo grossa.
Certo che il punto di osservazione conta, ma esso si trova solo sull'esponenziale complesso, tutto il resto che sta nell'integrale è tutta roba funzione delle variabili con apici.
L'approssimazione di campo lontano intacca solo quell'esponenziale complesso, non tocca in nessun modo il vettore \(\displaystyle \underline{J}(r',\theta',\phi') \).
EDIT: mi correggo, ho capito cosa mi stavi dicendo (quello che ho detto sull'orientazione dei dipoli è falso), ci penso ancora un pò, così forse il tutto è più ragionevole. Nel frattempo ti ringrazio molto.
Ad ogni modo, concordiamo entrambi che il sistema di 3 equazioni separate rappresenta una ulteriore approssimazione dell'equazione vettoriale iniziale che ho riportato in [1]? Quest'ultima approssima la situazione di campo lontano solo sull'esponenziale complesso, mentre le altre 3 approssimano la stessa situazione anche sul luogo dove sono piazzate le sorgenti, mantendo però la loro orientazione spaziale.
Se la stessa cosa (divisione dell'equazione vettoriale in 3 equazioni scalari) fosse stata fatta in coordinate cartesiane, ciò non avrebbe rappresentato una approssimazione ulteriore, corretto?
Purtroppo però non sono ancora d'accordo con te, in quanto non può essere che:
"Nikikinki":
essendo molto lontani rispetto alle dimensioni della sorgente, e quindi potendo essa essere considerata puntiforme, le orientazioni perdono di significato sul volume V e si possono considerare tutti i dipoli centrati nello stesso punto identificato da r⃗0,θ⃗0,ϕ⃗0 .
poiché se così fosse un dipolo in orizzontale emetterebbe allo stesso modo di un dipolo in verticale, sarebbe una forzatura troppo grossa.
Certo che il punto di osservazione conta, ma esso si trova solo sull'esponenziale complesso, tutto il resto che sta nell'integrale è tutta roba funzione delle variabili con apici.
L'approssimazione di campo lontano intacca solo quell'esponenziale complesso, non tocca in nessun modo il vettore \(\displaystyle \underline{J}(r',\theta',\phi') \).
EDIT: mi correggo, ho capito cosa mi stavi dicendo (quello che ho detto sull'orientazione dei dipoli è falso), ci penso ancora un pò, così forse il tutto è più ragionevole. Nel frattempo ti ringrazio molto.
Ad ogni modo, concordiamo entrambi che il sistema di 3 equazioni separate rappresenta una ulteriore approssimazione dell'equazione vettoriale iniziale che ho riportato in [1]? Quest'ultima approssima la situazione di campo lontano solo sull'esponenziale complesso, mentre le altre 3 approssimano la stessa situazione anche sul luogo dove sono piazzate le sorgenti, mantendo però la loro orientazione spaziale.
Se la stessa cosa (divisione dell'equazione vettoriale in 3 equazioni scalari) fosse stata fatta in coordinate cartesiane, ciò non avrebbe rappresentato una approssimazione ulteriore, corretto?
Guarda h
o dato una scorsa a questa dispensa http://www.diee.unica.it/campi/Corsi/Ca ... ne1415.pdf cercando qualcosa sulle antenne perché io ho studiato il campo lontano a sé ma non mi sono mai interessato alle antenne in particolare e volevo capire se c'erano altre considerazioni da fare.
Qui in particolare riporta proprio quello che dicevo. Se leggi la dispensa dice che considera solo una componente ma ovviamente è indifferente il ragionamento anche per le altre.
L'ho tagliata un po' male , la formula 5 era la stessa ma con il versore e il seno primati dentro l'integrale
o dato una scorsa a questa dispensa http://www.diee.unica.it/campi/Corsi/Ca ... ne1415.pdf cercando qualcosa sulle antenne perché io ho studiato il campo lontano a sé ma non mi sono mai interessato alle antenne in particolare e volevo capire se c'erano altre considerazioni da fare.
Qui in particolare riporta proprio quello che dicevo. Se leggi la dispensa dice che considera solo una componente ma ovviamente è indifferente il ragionamento anche per le altre.
L'ho tagliata un po' male , la formula 5 era la stessa ma con il versore e il seno primati dentro l'integrale
Grazie mille, sei stato utilissimo. 
Scusa se torno di nuovo,
stavo ripensando a quello che mi hai detto. Sbaglio o così facendo una distribuzione circolare di corrente diventa una linea? Se \(\displaystyle \underline{\phi}_0 \) non lo facciamo ruotare man mano che integriamo sulla circonferenza, è come se stessimo integrando su una linea.
Questa cosa non produce problemi?
Se mi sono spiegato in maniera poco chiara dimmi pure e scrivo le formule per intero.
stavo ripensando a quello che mi hai detto. Sbaglio o così facendo una distribuzione circolare di corrente diventa una linea? Se \(\displaystyle \underline{\phi}_0 \) non lo facciamo ruotare man mano che integriamo sulla circonferenza, è come se stessimo integrando su una linea.
Questa cosa non produce problemi?
Se mi sono spiegato in maniera poco chiara dimmi pure e scrivo le formule per intero.
Non sono sicuro di aver capito il dubbio, spiegati meglio così evitiamo eventuali incomprensioni
Supponiamo di avere un anello di corrente.
L'integrale vettoriale in campo lontano diventa:
$$\underline{E}_\infty(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\phi}(\underline{r}')\underline{\phi}_0(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' \quad (1)$$
Applicando l'approssimazione di cui discutiamo si avrebbe invece:
$$\underline{E}_\infty(\underline{r})=-\underline{\phi}_0(r'_0, \theta'_0, \phi'_0)\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\phi}(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' \quad (2)$$
dove \(\displaystyle \underline{\phi}_0(r'_0, \theta'_0, \phi'_0) \) è il versore calcolato nel punto 'centrale' della distribuzione di sorgenti.
Se pensiamo al caso di \(\displaystyle J_{i_\phi}(\underline{r}') \) costante, l'equazione (1) rappresenta il campo lontano irradiato da una spira di corrente (dipolo magnetico), l'equazione (2) rappresenta invece la radiazione di un dipolo elettrico! In quest'ultimo caso infatti, l'integrazione vede la corrente sempre nello stesso verso (vedi \(\displaystyle \underline{\phi}_0(r'_0, \theta'_0, \phi'_0) \) ).
L'integrale vettoriale in campo lontano diventa:
$$\underline{E}_\infty(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\phi}(\underline{r}')\underline{\phi}_0(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' \quad (1)$$
Applicando l'approssimazione di cui discutiamo si avrebbe invece:
$$\underline{E}_\infty(\underline{r})=-\underline{\phi}_0(r'_0, \theta'_0, \phi'_0)\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\phi}(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' \quad (2)$$
dove \(\displaystyle \underline{\phi}_0(r'_0, \theta'_0, \phi'_0) \) è il versore calcolato nel punto 'centrale' della distribuzione di sorgenti.
Se pensiamo al caso di \(\displaystyle J_{i_\phi}(\underline{r}') \) costante, l'equazione (1) rappresenta il campo lontano irradiato da una spira di corrente (dipolo magnetico), l'equazione (2) rappresenta invece la radiazione di un dipolo elettrico! In quest'ultimo caso infatti, l'integrazione vede la corrente sempre nello stesso verso (vedi \(\displaystyle \underline{\phi}_0(r'_0, \theta'_0, \phi'_0) \) ).
Sì ho capito quello che vuoi dire, ed in effetti è proprio come fosse un dopolo elettrico equivalente. Penso che per rispondere con coscienza a questa domanda vada rivisto per bene l'argomento di campo lontano. Di sicuro non crea nessun problema, è una approssimazione e come tale va considerata ma le sue eventuali implicazioni non le ricordo francamente. Fa decisamente troppo caldo per mettermi a sfogliare libri quindi mi limito a farti notare che in ogni caso lo sviluppo in multipoli del potenziale è sempre il metro di misura in questi casi. Assumendo la sorgente puntiforme e a grande distanza non mi pare irragionevole pensare che il peso dello sviluppo gravi tutto sui termini dominanti che sono appunto in forma di dipolo elettrico e che quindi l'approssimazione tenda a mostrarli così. Mi spiace non poterti aiutare di più.
quindi mi limito a farti notare che in ogni caso lo sviluppo in multipoli del potenziale è sempre il metro di misura in questi casi. Assumendo la sorgente puntiforme e a grande distanza non mi pare irragionevole pensare che il peso dello sviluppo gravi tutto sui termini dominanti che sono appunto in forma di dipolo elettrico e che quindi l'approssimazione tenda a mostrarli così. Mi spiace non poterti aiutare di più.
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