Integrale di radiazione in campo lontano
Buongiorno a tutti,
stavo rileggendo varie cose sul libro 'Fondamenti di Antenne, radiazione elettromagnetica e applicazioni - Marzano, Pierdicca' e ce n'è una in particolare che mi ha bloccato.
Nella sezione 'Integrale di radiazione in campo lontano', pag. 135 del testo sopracitato, leggo che in campo lontano il campo elettrico prodotto da una assegnata distribuzione di correnti si può calcolare come (dominio dei fasori):
$$\underline{E}_\infty(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} [J_{i_\theta}(\underline{r}')\underline{\theta}_0+J_{i_\phi}(\underline{r}')\underline{\phi}_0]e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' +\\- \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} [-J_{mi_\theta}(\underline{r}')\underline{\phi}_0+J_{mi_\phi}(\underline{r}')\underline{\theta}_0]e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
dove \(\displaystyle \underline{E}_\infty \) è il campo elettrico lontano dalle sorgenti, \(\displaystyle\underline{r}\) è il punto di osservazione (di modulo \(\displaystyle r \) e con versore \(\displaystyle \underline{r}_0 \)), \(\displaystyle \omega\) è la pulsazione angolare, \(\displaystyle\mu \) è la permeabilità magnetica del materiale, \(\displaystyle \epsilon \) quella elettrica, \(\displaystyle k=\omega\sqrt{\mu\epsilon} \), \(\displaystyle V' \) è un volume sufficiente grande da contenere tutte le sorgenti impresse, composte da correnti elettriche \(\displaystyle \underline{J}_i \) e correnti magnetiche \(\displaystyle \underline{J}_{mi} \), \(\displaystyle\underline{r}'\) è il generico punto di sorgente ed infine \(\displaystyle \underline{\theta}_0 \) e \(\displaystyle \underline{\phi}_0 \) sono gli altri due versori angolari del sistema di riferimento a coordinate sferiche.
Il mio dubbio sorge nel momento in cui, dalla formula di sopra, si passa a queste tre (pagina successiva del testo):
$$E_{\infty_r}(\underline{r})=0$$
$$E_{\infty\theta}(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\theta}(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' - \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{mi_\phi}(\underline{r}')e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
$$E_{\infty\phi}(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\phi}(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' + \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{mi_\theta}(\underline{r}')e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
che non capisco come possano essere ottenute in quanto, secondo me, i versori angolari dipendono da \(\displaystyle\underline{r}'\) e non possono essere portati fuori dall'integrale.
Mi sbaglio?
Grazie in anticipo dell'aiuto.
stavo rileggendo varie cose sul libro 'Fondamenti di Antenne, radiazione elettromagnetica e applicazioni - Marzano, Pierdicca' e ce n'è una in particolare che mi ha bloccato.
Nella sezione 'Integrale di radiazione in campo lontano', pag. 135 del testo sopracitato, leggo che in campo lontano il campo elettrico prodotto da una assegnata distribuzione di correnti si può calcolare come (dominio dei fasori):
$$\underline{E}_\infty(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} [J_{i_\theta}(\underline{r}')\underline{\theta}_0+J_{i_\phi}(\underline{r}')\underline{\phi}_0]e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' +\\- \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} [-J_{mi_\theta}(\underline{r}')\underline{\phi}_0+J_{mi_\phi}(\underline{r}')\underline{\theta}_0]e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
dove \(\displaystyle \underline{E}_\infty \) è il campo elettrico lontano dalle sorgenti, \(\displaystyle\underline{r}\) è il punto di osservazione (di modulo \(\displaystyle r \) e con versore \(\displaystyle \underline{r}_0 \)), \(\displaystyle \omega\) è la pulsazione angolare, \(\displaystyle\mu \) è la permeabilità magnetica del materiale, \(\displaystyle \epsilon \) quella elettrica, \(\displaystyle k=\omega\sqrt{\mu\epsilon} \), \(\displaystyle V' \) è un volume sufficiente grande da contenere tutte le sorgenti impresse, composte da correnti elettriche \(\displaystyle \underline{J}_i \) e correnti magnetiche \(\displaystyle \underline{J}_{mi} \), \(\displaystyle\underline{r}'\) è il generico punto di sorgente ed infine \(\displaystyle \underline{\theta}_0 \) e \(\displaystyle \underline{\phi}_0 \) sono gli altri due versori angolari del sistema di riferimento a coordinate sferiche.
Il mio dubbio sorge nel momento in cui, dalla formula di sopra, si passa a queste tre (pagina successiva del testo):
$$E_{\infty_r}(\underline{r})=0$$
$$E_{\infty\theta}(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\theta}(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' - \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{mi_\phi}(\underline{r}')e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
$$E_{\infty\phi}(\underline{r})=-\frac{j\omega\mu}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{i_\phi}(\underline{r}')e^{jk\underline{r_0}\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V' + \frac{jk}{4\pi r}e^{-jkr}\int_{V'} J_{mi_\theta}(\underline{r}')e^{jk\underline{r}_0\cdot\underline{r}'} \mathrm{d}V'$$
che non capisco come possano essere ottenute in quanto, secondo me, i versori angolari dipendono da \(\displaystyle\underline{r}'\) e non possono essere portati fuori dall'integrale.
Mi sbaglio?
Grazie in anticipo dell'aiuto.
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