Integrale di linea potenziale di un filo carico
Ciao!
Ho una domanda su come scrivere un integrale di linea di un filo infinito con $\lambda$ uniform che sta sull'asse x ad esempio:
$ V(x,z) = - \lambda/(4 \pi \epsilon_0) int_(-oo)^(+oo) dx/R$
$ R^2 = x^2 + z^2 $
per togliermi quel bruttissimo integrale di linea $\tau = (-oo e +oo)$ , posso utilizzare una linea del tipo:
$\tau = \(-oo, P_1) U (P_1, P_2) U (P_2, +oo)$ ?
Ho una domanda su come scrivere un integrale di linea di un filo infinito con $\lambda$ uniform che sta sull'asse x ad esempio:
$ V(x,z) = - \lambda/(4 \pi \epsilon_0) int_(-oo)^(+oo) dx/R$
$ R^2 = x^2 + z^2 $
per togliermi quel bruttissimo integrale di linea $\tau = (-oo e +oo)$ , posso utilizzare una linea del tipo:
$\tau = \(-oo, P_1) U (P_1, P_2) U (P_2, +oo)$ ?
Risposte
Secondo me, non stai impostando bene il problema (così come nell'altro topic).
Ti propongo una formalizzazione generale relativa al potenziale $\varphi$ (il campo $\vec{E}$ lo ricavi poi con la formula [tex]\vec{E}=-\vec{\nabla}\varphi[/tex]) prodotto da un qualunque filo carico.
Sia [tex]\gamma:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{matrix}\right.,t \in [t_1,t_2][/tex] la curva su cui giace il filo e sia la densità di carica (in generale non uniforme) $\lamda=lambda(x,y,z)$.
Sia $\vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0)$ un punto fuori dal filo dove vuoi calcolare il potenziale e $\vec{r}=(x,y,z)$ un generico punto dello spazio.
Allora si ha:
[tex]\varphi(x_0,y_0,z_0)=k\int_{\gamma}\frac{dq}{||\vec{r}-\vec{r}_0||}=k\int_{\gamma}\frac{\lambda(x,y,z)dl}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}=k\int_{\gamma}\frac{\lambda(x,y,z)\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}=k\int_{t_1}^{t_2}\frac{\lambda(x(t),y(t),z(t))\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}}{\sqrt{(x(t)-x_0)^2+(y(t)-y_0)^2+(z(t)-z_0)^2}}dt[/tex].
Abbiamo così trasformato un integrale di linea $\int_{\gamma}...dl$ in un integrale ordinario $\int_{t_1}^{t_2}...dt$.
Il caso del filo rettilineo e della densità di carica uniforme è solo un caso particolare.
S.e.e.o.
Ti propongo una formalizzazione generale relativa al potenziale $\varphi$ (il campo $\vec{E}$ lo ricavi poi con la formula [tex]\vec{E}=-\vec{\nabla}\varphi[/tex]) prodotto da un qualunque filo carico.
Sia [tex]\gamma:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{matrix}\right.,t \in [t_1,t_2][/tex] la curva su cui giace il filo e sia la densità di carica (in generale non uniforme) $\lamda=lambda(x,y,z)$.
Sia $\vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0)$ un punto fuori dal filo dove vuoi calcolare il potenziale e $\vec{r}=(x,y,z)$ un generico punto dello spazio.
Allora si ha:
[tex]\varphi(x_0,y_0,z_0)=k\int_{\gamma}\frac{dq}{||\vec{r}-\vec{r}_0||}=k\int_{\gamma}\frac{\lambda(x,y,z)dl}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}=k\int_{\gamma}\frac{\lambda(x,y,z)\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}=k\int_{t_1}^{t_2}\frac{\lambda(x(t),y(t),z(t))\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}}{\sqrt{(x(t)-x_0)^2+(y(t)-y_0)^2+(z(t)-z_0)^2}}dt[/tex].
Abbiamo così trasformato un integrale di linea $\int_{\gamma}...dl$ in un integrale ordinario $\int_{t_1}^{t_2}...dt$.
Il caso del filo rettilineo e della densità di carica uniforme è solo un caso particolare.
S.e.e.o.
Integrando il potenziale elementare su tutta la linea infinita esce un valore infinito, in questo modo non ottieni nulla.
Per calcolare la differenza di potenziale tra un punto situato a distanza z dal filo e un punto situato a distanza z0 (questo ultimo può fingere da potenziale di riferimento e quindi può anche essere posto a un valore arbitrario, per esempio pari a zero), occorre calcolare il campo in funzione di z e fare l'integrale di linea del campo dalla distanza z alla distanza z0.
Ma non so se ho capito bene la domanda eh!
Per calcolare la differenza di potenziale tra un punto situato a distanza z dal filo e un punto situato a distanza z0 (questo ultimo può fingere da potenziale di riferimento e quindi può anche essere posto a un valore arbitrario, per esempio pari a zero), occorre calcolare il campo in funzione di z e fare l'integrale di linea del campo dalla distanza z alla distanza z0.
Ma non so se ho capito bene la domanda eh!
"anonymous_56b3e2":
Sia [tex]\gamma:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{matrix}\right.,t \in [t_1,t_2][/tex] la curva su cui giace il filo e sia la densità di carica (in generale non uniforme) $.
A questa parametrizzazione ci avevo anche pensato ma non riesco a trovare $x(t) =$ ... e così via, perchè poi dovrei farci la derivata ...
Poi $t_1$ e $t_2$ lungo x sarebbero $t_1 = x$ e $t_2 = x_0$
"Falco5x":
Per calcolare la differenza di potenziale tra un punto situato a distanza z dal filo e un punto situato a distanza z0 (questo ultimo può fingere da potenziale di riferimento e quindi può anche essere posto a un valore arbitrario, per esempio pari a zero),
Se il campo (che è la derivata cambiata di segno del potenziale) mi venisse:
$x/sqrt(x^2 + z^2)$
$x_0$ non può propriamente essere 0 no?
Confesso che faccio un po' fatica a capire cosa vuoi dire.
Forse sarai più bravo tu a capire me, dunque ti dico come calcolerei il campo e come il potenziale.
Per ragioni di simmetria, il campo a lato di un filo infinito deve essere diretto ortogonalmente al filo, e il suo valore deve essere indipendente dalla ascissa (supponendo il filo diretto come l'asse x), ma supponendo l'ordinata z normale al filo, il campo deve essere dipendente solo dal valore dell'ordinata z.
Allora poniamoci proprio nel punto di ascissa x=0 e vediamo come va il campo a distanza z dal filo.
Preso un punto z, possiamo prendere i contributi elementari di campo dovuto a due pezzetti di filo infinitesimi lunghi dx situati in punti simmetrici, ovvero ad ascissa -x e ad ascissa +x. La somma di questi due contributi, per ragioni di simmetria, sarà normale a z. Dunque per il calcolo possiamo integrare soltanto x da 0 a infinito e poi moltiplicare per 2.
Dobbiamo anche osservare che le componenti x dei due contributi simmetrici si elidono, dunque dobbiamo prendere non il valore del modulo del campo ma soltanto la sua componente secondo z.
In termini matematici:
$$E\left( z \right) = \frac{{2\lambda }}
{{4\pi {\varepsilon _0}}}\int_0^{ + \infty } {\frac{{\frac{z}
{{\sqrt {{z^2} + {x^2}} }}}}
{{{z^2} + {x^2}}}dx} $$
Prima di proseguire vorrei sapere se concordi o se hai dei dubbi.
Forse sarai più bravo tu a capire me, dunque ti dico come calcolerei il campo e come il potenziale.
Per ragioni di simmetria, il campo a lato di un filo infinito deve essere diretto ortogonalmente al filo, e il suo valore deve essere indipendente dalla ascissa (supponendo il filo diretto come l'asse x), ma supponendo l'ordinata z normale al filo, il campo deve essere dipendente solo dal valore dell'ordinata z.
Allora poniamoci proprio nel punto di ascissa x=0 e vediamo come va il campo a distanza z dal filo.
Preso un punto z, possiamo prendere i contributi elementari di campo dovuto a due pezzetti di filo infinitesimi lunghi dx situati in punti simmetrici, ovvero ad ascissa -x e ad ascissa +x. La somma di questi due contributi, per ragioni di simmetria, sarà normale a z. Dunque per il calcolo possiamo integrare soltanto x da 0 a infinito e poi moltiplicare per 2.
Dobbiamo anche osservare che le componenti x dei due contributi simmetrici si elidono, dunque dobbiamo prendere non il valore del modulo del campo ma soltanto la sua componente secondo z.
In termini matematici:
$$E\left( z \right) = \frac{{2\lambda }}
{{4\pi {\varepsilon _0}}}\int_0^{ + \infty } {\frac{{\frac{z}
{{\sqrt {{z^2} + {x^2}} }}}}
{{{z^2} + {x^2}}}dx} $$
Prima di proseguire vorrei sapere se concordi o se hai dei dubbi.
Una parametrizzazione di un filo coincidente con l'asse $z$ è per esempio $(0,0,t)$.
Il risultato che ho postato sopra è generale e l'integrale è piuttosto brutto. Nei casi particolari si cerca sempre di sfruttare le simmetrie presenti ed il teorema di Gauss, che è una vera e propria manna
Nel caso del filo rettilineo carico omogeneo ti trovi con Gauss facilmente il campo che è un vettore ortogonale al filo, poi fai l'integrale da un punto all'infinito seguendo la retta ortogonale al filo passante per quel punto. In questo modo ti trovi facilmente il potenziale in quel punto. Ho usato, per integrare, quella retta così comoda perché, essendo qui il campo conservativo, il tipo di cammino di non conta.
Il risultato che ho postato sopra è generale e l'integrale è piuttosto brutto. Nei casi particolari si cerca sempre di sfruttare le simmetrie presenti ed il teorema di Gauss, che è una vera e propria manna
Nel caso del filo rettilineo carico omogeneo ti trovi con Gauss facilmente il campo che è un vettore ortogonale al filo, poi fai l'integrale da un punto all'infinito seguendo la retta ortogonale al filo passante per quel punto. In questo modo ti trovi facilmente il potenziale in quel punto. Ho usato, per integrare, quella retta così comoda perché, essendo qui il campo conservativo, il tipo di cammino di non conta.
Scusa, Falco5x. Non avevo visto il tuo post.
"anonymous_56b3e2":
Una parametrizzazione di un filo coincidente con l'asse $z$ è per esempio $(0,0,t)$.
Il risultato che ho postato sopra è generale e l'integrale è piuttosto brutto. Nei casi particolari si cerca sempre di sfruttare le simmetrie presenti ed il teorema di Gauss, che è una vera e propria manna
Nel caso del filo rettilineo carico omogeneo ti trovi con Gauss facilmente il campo che è un vettore ortogonale al filo, poi fai l'integrale da un punto all'infinito seguendo la retta ortogonale al filo passante per quel punto. In questo modo ti trovi facilmente il potenziale in quel punto. Ho usato, per integrare, quella retta così comoda perché, essendo qui il campo conservativo, il tipo di cammino di non conta.
Ecco la domanda cruciale: non è meglio partire dal potenziale $V(x,y,z)$ e poi, per trovare il campo, farci le derivate parziali lungo x,y,z?
Poi dall'analisi non era che: ho un potenziale allora il campo è conservativo? :/
Giusto, è la generalità teorica, ma fare quelle derivate e poi integrare è un po' complicato. Nel tuo caso ti conviene fare come ti ho suggerito, usando Gauss. Nell'altro topic ti ho mostrato come trovare rigorosamente $\vec{E}$.
Mi accorgo che il potenziale viene infinito... Poco male, la fisica è piena di infiniti
"anonymous_56b3e2":
Una parametrizzazione di un filo coincidente con l'asse $z$ è per esempio $(0,0,t)$.
Il risultato che ho postato sopra è generale e l'integrale è piuttosto brutto. Nei casi particolari si cerca sempre di sfruttare le simmetrie presenti ed il teorema di Gauss, che è una vera e propria manna
Nel caso del filo rettilineo carico omogeneo ti trovi con Gauss facilmente il campo che è un vettore ortogonale al filo, poi fai l'integrale da un punto all'infinito seguendo la retta ortogonale al filo passante per quel punto. In questo modo ti trovi facilmente il potenziale in quel punto. Ho usato, per integrare, quella retta così comoda perché, essendo qui il campo conservativo, il tipo di cammino di non conta.
quindi $sqrt[((x'(t)) + (y'(t)) + (z'(t))] = 1$ ti trovi?
Quindi tu sei passato da estremi di integrazioni $(-oo,+oo)$ a $(t_1, t)$ posso scegliermi $t_1 = 1$? (ho paura che in 0 mi dia qualche problema alla fine ...)
Non può venire infinito, bisogna fare in modo che venga finito :/ con opportune scelte.
Il metodo più facile è quello indicato da zpe, con Gauss.
Occorre passare per il campo perché il potenziale dà luogo a risultati infiniti.
Occorre invece definire un punto comodo in cui mettere il potenziale a zero, che non può essere all'infinito come nel caso delle cariche puntiformi perché altrimenti salterebbe fuori sempre un infinito a qualunque distanza.
Nel caso del filo indefinito il campo a distanza z è:
$$E\left( z \right) = \frac{\lambda }
{{2\pi {\varepsilon _0}z}}$$
Se la distanza non è misurata sull'asse z ma è generica in un piano y-z, allora si ha
$$E\left( {y,z} \right) = \frac{\lambda }
{{2\pi {\varepsilon _0}\sqrt {{y^2} + {z^2}} }}$$
Occorre passare per il campo perché il potenziale dà luogo a risultati infiniti.
Occorre invece definire un punto comodo in cui mettere il potenziale a zero, che non può essere all'infinito come nel caso delle cariche puntiformi perché altrimenti salterebbe fuori sempre un infinito a qualunque distanza.
Nel caso del filo indefinito il campo a distanza z è:
$$E\left( z \right) = \frac{\lambda }
{{2\pi {\varepsilon _0}z}}$$
Se la distanza non è misurata sull'asse z ma è generica in un piano y-z, allora si ha
$$E\left( {y,z} \right) = \frac{\lambda }
{{2\pi {\varepsilon _0}\sqrt {{y^2} + {z^2}} }}$$
@Ludwig
Ho aperto il mio PM.
Mi sa che il potenziale infinito qui non sia rinormalizzabile. Se però faccio il gradiente, gli integrali convergono, infatti il campo è finito. Un bel caso! Bisogna sempre tenere presente che i potenziali newtoniani danno infiniti a tutto spiano
Gli infiniti si possono togliere, come già discusso altrove, con distribuzioni di carica a rapida decrescenza.
Ho aperto il mio PM.
Mi sa che il potenziale infinito qui non sia rinormalizzabile. Se però faccio il gradiente, gli integrali convergono, infatti il campo è finito. Un bel caso! Bisogna sempre tenere presente che i potenziali newtoniani danno infiniti a tutto spiano
Gli infiniti si possono togliere, come già discusso altrove, con distribuzioni di carica a rapida decrescenza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo