Integrale di linea
Sia data l'equazione $r=atheta$ in coordinate polari ( con r modulo del vettore posizione e $theta$ angolo che tale vettore forma con l'asse delle x). Sia $omega=(d(theta))/dt$=cost, la velocità angolare d'un corpo che si muove lungo questa spirale. Si chiede di trovare lavoro per spostare il corpo dall'origine ( in cui è fermo) sino ad r=10m.
Non so come svolgerlo. Non credevo di poter trovare problemi del genere.
L'ho postato qui, perchè credo siano più importanti i passaggi di matematica che il ragionamento fisico. Se ritenuta poco opportuna questa sezione, i moderatori possono provvedere allo spostamento. Ribadisco di non aver mai affrontato problemi del genere in fisica, pertanto non so come impostare un mio ragionamento. Spero sappiate aiutarmi da zero ( ad ogni modo possiamo arrivare insieme alla soluzione ma passo per passo perchè non so come procedere). Vi ringrazio, alex
inoltre, in Università, avevo postato anche un commento con un presunto inizio di risoluzione ( non so se corretta):
perdonatemi. Non vorrei dire cose per altre, ma cerco di sbloccarmi:
essendo il lavoro definito come l'integrale di linea del campo F=ma lungo una curva ( in questo caso $r=atheta$),
non mi resta che trovare l'accelerazione. ma se $omega=(d(theta))/dt$ è la velocità costante, non mi resta che derivare una seconda volta per trovare l'accelerazione. non so se è corretto al fine pratico...spero in un vostro intervento, grazie, alex
spero che in questa sezione vi sia qualcuno con, non dico la soluzione, ma quanto meno la spiegazione. grazie mille, alex
Non so come svolgerlo. Non credevo di poter trovare problemi del genere.
L'ho postato qui, perchè credo siano più importanti i passaggi di matematica che il ragionamento fisico. Se ritenuta poco opportuna questa sezione, i moderatori possono provvedere allo spostamento. Ribadisco di non aver mai affrontato problemi del genere in fisica, pertanto non so come impostare un mio ragionamento. Spero sappiate aiutarmi da zero ( ad ogni modo possiamo arrivare insieme alla soluzione ma passo per passo perchè non so come procedere). Vi ringrazio, alexinoltre, in Università, avevo postato anche un commento con un presunto inizio di risoluzione ( non so se corretta):
perdonatemi. Non vorrei dire cose per altre, ma cerco di sbloccarmi:
essendo il lavoro definito come l'integrale di linea del campo F=ma lungo una curva ( in questo caso $r=atheta$),
non mi resta che trovare l'accelerazione. ma se $omega=(d(theta))/dt$ è la velocità costante, non mi resta che derivare una seconda volta per trovare l'accelerazione. non so se è corretto al fine pratico...spero in un vostro intervento, grazie, alex
spero che in questa sezione vi sia qualcuno con, non dico la soluzione, ma quanto meno la spiegazione. grazie mille, alex
Risposte
Lo jedi diceva: «Usa la forza». Ma in questo caso conviene il [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_dell'energia_cinetica]teorema delle forze vive[/url].
"Cmax":
Lo jedi diceva: «Usa la forza». Ma in questo caso conviene il [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_dell'energia_cinetica]teorema delle forze vive[/url].
eheheh
purtroppo non sono venuto a niente. Non capisco come poter procedere con le sostituzioni.
Allora:
$L= \int_gamma \vec F(\vec r)*d\vecs$
anche se si può esprimere come momento della forza:
$L= \int_gamma \vec F(\vec r)*d\vecs = \int_gamma \vec omega*(\vec alpha xx\vecF)=\int_(theta_0)^(theta_1) \vec M_0*\vec d theta$
prova così! ^_^
e ricorda che sono ben lungi dall'essere un fisico
$L= \int_gamma \vec F(\vec r)*d\vecs$
anche se si può esprimere come momento della forza:
$L= \int_gamma \vec F(\vec r)*d\vecs = \int_gamma \vec omega*(\vec alpha xx\vecF)=\int_(theta_0)^(theta_1) \vec M_0*\vec d theta$
prova così! ^_^
e ricorda che sono ben lungi dall'essere un fisico
"Lord K":
Allora:
$L= \int_gamma \vec F(\vec r)*d\vecs$
anche se si può esprimere come momento della forza:
$L= \int_gamma \vec F(\vec r)*d\vecs = \int_gamma \vec omega*(\vec alpha xx\vecF)=\int_(theta_0)^(theta_1) \vec M_0*\vec d theta$
prova così! ^_^
e ricorda che sono ben lungi dall'essere un fisico
provo subito e vediamo se riesco. Io tristemente aspiro ad esserlo ma purtroppo sono autodidatta.
Lord K...mi sono ritrovato a non saper sostituire i dati nell'integrale. come si fa? in caso, dal momento che non vorrei fossi soltanto tu a svolgerlo, senza mio contributo, potresti spiegarmi anche con un altro esempio, come procedere? ti ringrazio, alex
come si fa? in caso, dal momento che non vorrei fossi soltanto tu a svolgerlo, senza mio contributo, potresti spiegarmi anche con un altro esempio, come procedere? ti ringrazio, alex
1- LordK mi spieghi le formule che hai scritto? sembrano belline 
2- anyway bad.alex se segui il suggerimento di Cmax e provi a calcolare la velocità in funzione del tempo o (è lo stesso) della distanza dall'origine non ti perdi in integralozzi... poi calcoli la variazione di energia cinetica... et voilà!
usa coordinate cartesiane o polari a scelta...
2- anyway bad.alex se segui il suggerimento di Cmax e provi a calcolare la velocità in funzione del tempo o (è lo stesso) della distanza dall'origine non ti perdi in integralozzi... poi calcoli la variazione di energia cinetica... et voilà!
usa coordinate cartesiane o polari a scelta...
"Thomas":
2- anyway bad.alex se segui il suggerimento di Cmax e provi a calcolare la velocità in funzione del tempo o (è lo stesso) della distanza dall'origine non ti perdi in integralozzi... poi calcoli la variazione di energia cinetica... et voilà!
thomas...non so come si faccia. E' la prima volta che mi ritrovo con esercizi di questo tipo. Spiegami se puoi come fare, anche con un altro esempio, non importa.
forse non sai bene come trattare le coordinate polari... prova a passare a cartesiane....
innanzitutto se ti do un corpo che esegue nel piano un moto $P(t)=(x(t),y(t))$ la scrittura $(a,b)$ indica le componenti cartesiane, sai trovare la velocità in funzione del tempo?
per esempio:
x(t)=3t+1
y(t)=4t^2
ti è chiaro che queste funzioni descrivono un moto sul piano al variare di $t$? sai calcolare la velocità del corpo in funzione del tempo (mi devi trovare due funzioni tali che $v(t)=(a(t),b(t))$?
Se sai fare questo, prova a riscrivere il tuo problema in coordinate cartesiane (ovvero trova due funzioni $x(t)$ ed $y(t)$ come sopra....ricorda le formule che fanno passare da $r,\theta$ a $x,y$!) ed applicare l'algoritmo dedotto dall'esempio...
buon lavoro...
questo per risolvere l'esercizio in fretta senza spiegarti come si utilizzano le coordinate polari... purtroppo è abbastanza lungo da spiegare su un forum (se qualcun altro si vuol cimentare...), anche se poi l'utilizzo è piuttosto friendly.... magari prova a documentarti!... cmq se usi l'energia ti basta quanto sopra... certe volte però sono necessarie per non impazzire!
innanzitutto se ti do un corpo che esegue nel piano un moto $P(t)=(x(t),y(t))$ la scrittura $(a,b)$ indica le componenti cartesiane, sai trovare la velocità in funzione del tempo?
per esempio:
x(t)=3t+1
y(t)=4t^2
ti è chiaro che queste funzioni descrivono un moto sul piano al variare di $t$? sai calcolare la velocità del corpo in funzione del tempo (mi devi trovare due funzioni tali che $v(t)=(a(t),b(t))$?
Se sai fare questo, prova a riscrivere il tuo problema in coordinate cartesiane (ovvero trova due funzioni $x(t)$ ed $y(t)$ come sopra....ricorda le formule che fanno passare da $r,\theta$ a $x,y$!) ed applicare l'algoritmo dedotto dall'esempio...
buon lavoro...
questo per risolvere l'esercizio in fretta senza spiegarti come si utilizzano le coordinate polari... purtroppo è abbastanza lungo da spiegare su un forum (se qualcun altro si vuol cimentare...), anche se poi l'utilizzo è piuttosto friendly.... magari prova a documentarti!... cmq se usi l'energia ti basta quanto sopra... certe volte però sono necessarie per non impazzire!
la velocità dovrebbe essere determinata per componenti rispettivamente su x e su y, derivando quelle equazioni. Ma dal momento che non sono sicuro, meglio lasciar perdere questo esercizio. 
grazie ancora per l'aiuto ma ho provato a cercare su internet argomenti simili ma risolvono con integrazione.
grazie ancora per l'aiuto ma ho provato a cercare su internet argomenti simili ma risolvono con integrazione.
"Thomas":
1- LordK mi spieghi le formule che hai scritto? sembrano belline
Le formule sono semplicemente delle applicazioni alla definiziona di lavoro:
$L=\int_gamma \vec F(\vec r)*d\vec s$
con una rotazione (siamo su una spirale) possiamo usare alcune uguaglianze vettoriali:
$d\vec L=\vec F*\vec ds= \vec F*\vec v*dt = \vec F*(\vec omega xx \vec (OP)) dt = \vec omega *(\vec(OP) xx \vec F) dt = d\vec theta * \vec M_0$
e siamo a quanto ho scritto. Qui $\vec OP$ è la distanza dal punto di applicazione della forza con il centro di rotazione.
@Lord K
mi sembra che questa formula non funziona... non è possibile definire una velocità angolare $\vec omega$ di modo che valga quel che vuoi tu.... infatti la velocità di quella particella ha anche una componente lungo $OP$... e intuitivamente si capisce: sta aumentando la distanza dall'origine! cmq basterebbe aggiungere solo un altro componente, che però ti devi calcolare...
sinceramente però non mi sembra una gran semplificazione del problema, visto che alla fine il momento delle forze è sempre incognito...
@bad.alex
come vuoi tu... se vuoi aspettare di sapere un pò di calcolo a più variabili per risolvere l'esercizio fai pure... se sei al liceo ne avrai di tempo, altrimenti suggerisco un buon libro di meccanica....
ciao ciao
"Lord K":
\vec F*\vec v*dt = \vec F*(\vec omega xx \vec (OP)) dt = \vec omega *(\vec(OP) xx \vec F) dt
mi sembra che questa formula non funziona... non è possibile definire una velocità angolare $\vec omega$ di modo che valga quel che vuoi tu.... infatti la velocità di quella particella ha anche una componente lungo $OP$... e intuitivamente si capisce: sta aumentando la distanza dall'origine! cmq basterebbe aggiungere solo un altro componente, che però ti devi calcolare...
sinceramente però non mi sembra una gran semplificazione del problema, visto che alla fine il momento delle forze è sempre incognito...
@bad.alex
come vuoi tu... se vuoi aspettare di sapere un pò di calcolo a più variabili per risolvere l'esercizio fai pure... se sei al liceo ne avrai di tempo, altrimenti suggerisco un buon libro di meccanica....
ciao ciao
Non ti seguo... le proprietà mi paiono corrette, anche se ci fosse una componente lungo $OP$ il momento sarebbe nullo...
discutiamone...
tu hai usato questa formula, no?
$\vec v=\vec omega xx \vec (OP)$
questa formula nel problema è falsa, per i motivi che dicevo prima (hai velocità anche lunto OP)...
non vedo perchè le componenti lungo OP si dovrebbero annullare con un prodotto scalare con la forza... (direi che non lo fanno anzi!)
tu hai usato questa formula, no?
$\vec v=\vec omega xx \vec (OP)$
questa formula nel problema è falsa, per i motivi che dicevo prima (hai velocità anche lunto OP)...
non vedo perchè le componenti lungo OP si dovrebbero annullare con un prodotto scalare con la forza... (direi che non lo fanno anzi!)
Uhm... scusami ma permango nella mia perlessità!
Dici che non sia possibile trovare $\vec omega$ tale che valga una simile uguaglianza? O che le successive provochino errori?
Dici che non sia possibile trovare $\vec omega$ tale che valga una simile uguaglianza? O che le successive provochino errori?
...ho fatto i conti ed ho visto il mio errore! Grazie per la puntualizzazione.
Frequento l'università. Buoni libri di fisica li ho letti. Ma a livello pratico non riesco a svolgere gli esercizi in funzione di quanto appreso in teoria. Grazie Thomas, grazie Lord K.
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