Integrale di Lebesgue

[Giux1]

Ciao a tutti,

pensando all'integrale secondo Lebesgue, mi sono posto la seguente domanda:

una volta compreso tutto il discorso sulla misura esterna, la segmentazione sull'asse $y$ anziché su $x$
la dimostrazione dell'integrabilità della funzione di Dirichlet che ha misura nulla, ecc ecc;
nel caso pratico , quando si calcola un integrale secondo Lebesgue, come si procede?

Cioè se io volessi calcolare l'integrale $\int_0^1 x^2 dx$ "usando lebesgue", al "posto di riemann" quali sarebbero i passaggi algebrici; o meglio, forse la misura di lebesgue subentra solo quando l'integrale di riemann non è piu adatto.

Cioè in sostanza, per eseguire una "integrazione alla lebesgue", bisogna fare un calcolo punto punto, adottando la definizione oppure si opera con le primitive (ed in quel caso si lavora alla riemann come caso particolare?).

Probabilmente il vantaggio consiste sul passaggio del segno di integrale al limite e la misura nulla??

grazie

[LoreT314]

Quell'integrale lo calcoli esattamente come quello di riemann

[Giux1]

Appunto, dico, quando si lavora con l'integrale di Lebesgue (che diciamo contiene come caso particolare l'integrazione alla Riemann), nel caso di integrali non risolvibili con riemann, si lavora solo con la definizione?

[Brufus1]

Bisogna stare attenti quando si scrive che "l'integrazione di Lebesgue" contiene come caso particolare "l'integrazione di Riemann". sugli intervalli chiusi se una funzione é riemann integrabile allora l'integrale coincide con Lebesgue. Peró ci sono funzioni integrabili in senso improprio secondo riemann che non sono integrabili secondo lebesgue.

per rispondere alla tua domanda, per calcolare l'integrale di lebesgue della funzione di dirichlet come hai fatto? Ovviamente devi sfruttare tutte le proprietá di cui disponi ed anche i teoremi.Convergenza dominata, convergenza monotona...