Integrale della velocità
Concettualmente mi è chiaro che l'integrale della velocità rappresenta lo spostamento ma non ben chiaro i calcoli:
$v_x=(dx)/(dt)$
ok
Mi è poco chiaro come si arriva a questo conto:
$x_f-x_i=\int_0^tv_x$ $dt$
se $v_x=(dx)/(dt)$
vuole dire $v_x$ che è uguale alla derivata dello spostamento rispetto alla velocità,
cioè $(dx)/(dt)$ secondo la notazione di L.
non capisco però come si arrivi all'integrale perchè mi verrebbe da dire che $dx=v_x*dt$ e se applicassi l'integrale da entrambe le parti:
$\intdx=\intv_x$ $dt$
ma $dx$ cosa mi rappresenta??! E' significativo $(dx)/(dt)$ come pure$Deltax=x_f-x_i$ ma il semplice $dx$ senza il $dt$ non lo capisco.
mi è chiaro che $\lim_(Deltax->0)(Deltax)/(Deltat)=(dx)/(dt)$
$v_x=(dx)/(dt)$
ok
Mi è poco chiaro come si arriva a questo conto:
$x_f-x_i=\int_0^tv_x$ $dt$
se $v_x=(dx)/(dt)$
vuole dire $v_x$ che è uguale alla derivata dello spostamento rispetto alla velocità,
cioè $(dx)/(dt)$ secondo la notazione di L.
non capisco però come si arrivi all'integrale perchè mi verrebbe da dire che $dx=v_x*dt$ e se applicassi l'integrale da entrambe le parti:
$\intdx=\intv_x$ $dt$
ma $dx$ cosa mi rappresenta??! E' significativo $(dx)/(dt)$ come pure$Deltax=x_f-x_i$ ma il semplice $dx$ senza il $dt$ non lo capisco.
mi è chiaro che $\lim_(Deltax->0)(Deltax)/(Deltat)=(dx)/(dt)$
Risposte
Integrale di dx e' x.
Se e' definito, $x_f=x_i$.
Dov'e' il problema?
Se e' definito, $x_f=x_i$.
Dov'e' il problema?
Nel forum penso l'abbiano chiesto in 100000, basta cercare dei messaggi passati. $vdt = dx$ è un abuso di notazione che si basa sul fatto che Leibniz quando introdusse la derivata ${dx}/{dt}$ pensò effettivamente come rapporto di due grandezze $\Delta x$ e $\Delta y$ (cosa effettivamente veritiera). Con lo sviluppo dell'analisi matematica la notazione è rimasta, ma ha perso il significato che aveva originariamente quindi $dx = vdt$ non ha senso. In realtà dovresti fare:
$int_0^t v dt= int_0^t {dx}/{dt} dt$
In questo caso ${d}/{dt}$ è l'operatore di derivazione (quell'affare che ti dice "fai la derivata"), mentre "dt" è solo un simbolo che accompagna l'integrale per far capire che stai integrando rispetto alla variabile t. Non è che li puoi semplificare (come uno sarebbe portato a fare) perché non sono variabili, sono solo "segni".
$int_0^t v dt= int_0^t {dx}/{dt} dt$
In questo caso ${d}/{dt}$ è l'operatore di derivazione (quell'affare che ti dice "fai la derivata"), mentre "dt" è solo un simbolo che accompagna l'integrale per far capire che stai integrando rispetto alla variabile t. Non è che li puoi semplificare (come uno sarebbe portato a fare) perché non sono variabili, sono solo "segni".
La cosa sconcertante è che i libri di testo fanno riferimento a questa notazione a mio avviso poco appropriata che trae in inganno.
@zio_mangrovia:
Cinque parole: Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.
Infatti, dato che $v=x^\prime$ è usualmente assunta continua o addirittura $C^oo$, si ha:
\[
x(t)-x(0) = \int_0^t x^\prime (\tau)\ \text{d}\tau = \int_0^t v(\tau)\ \text{d}\tau\;.
\]
"zio_mangrovia":
Concettualmente mi è chiaro che l'integrale della velocità rappresenta lo spostamento ma non ben chiaro i calcoli:
$v_x=(dx)/(dt)$
ok
Mi è poco chiaro come si arriva a questo conto:
$x_f-x_i=\int_0^tv_x " d"t$
Cinque parole: Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.
Infatti, dato che $v=x^\prime$ è usualmente assunta continua o addirittura $C^oo$, si ha:
\[
x(t)-x(0) = \int_0^t x^\prime (\tau)\ \text{d}\tau = \int_0^t v(\tau)\ \text{d}\tau\;.
\]
"dRic":
Con lo sviluppo dell'analisi matematica la notazione è rimasta, ma ha perso il significato che aveva originariamente quindi $dx = vdt$ non ha senso. In realtà dovresti fare:
$int_0^t v dt= int_0^t {dx}/{dt} dt$
$dRic$ ha centrato perfettamente ciò che volevo dire.
Comunque per quanto manchi di formalità io la trovo comoda come notazione 
Partendo dalla risposta di Gugo:
Il problema sta sempre nell’imparare a distinguere la nozione di integrale da quella di primitiva(più comunemente integrale indefinito)
In genere data $f:J->RR$ si definisce $F:J->RR$ primitiva di $f$ e si nota con $intf(x)dx$ una funzione tale che,
Nel nostro caso una primitiva di $v(t)$ sarà lo spostamento, per definizione!
In quanto se $v(t)$ ammette primitiva, allora la funzione $x(t)$ tale che $d/dt x(t)=v(t)$ sarà per definizione una velocità, visto che la sua derivata è una velocità.
In generale $x(t)=intv(t)dt+c,c inRR$ sono tutte le primitive.
Come ha detto Gugo, se $v$ è continua allora la funzione integrale è una primitiva di $v$, questo significa che si può scrivere anche
Questo scegliendo $0$ come estremo inferiore dell’integrale.
Chiaramente ponendo $c=int_(t_0)^(0)v(s)ds$ si ottiene la solita scrittura
Quindi possiamo solo dire che ‘la funzione integrale, è una primitiva della velocità(supposta questa continua) e pertanto risolve il problema della ricerca delle primitive’
In poche parole la ricerca di una primitiva equivale al dire ‘data una funzione, cercarne un’altra che abbia derivata la nostra funzione in ogni punto’
Il problema sta sempre nell’imparare a distinguere la nozione di integrale da quella di primitiva(più comunemente integrale indefinito)
In genere data $f:J->RR$ si definisce $F:J->RR$ primitiva di $f$ e si nota con $intf(x)dx$ una funzione tale che,
$d/dxintf(x)dx=d/dxF(x)=f(x),forallx inJ$
Nel nostro caso una primitiva di $v(t)$ sarà lo spostamento, per definizione!
In quanto se $v(t)$ ammette primitiva, allora la funzione $x(t)$ tale che $d/dt x(t)=v(t)$ sarà per definizione una velocità, visto che la sua derivata è una velocità.
In generale $x(t)=intv(t)dt+c,c inRR$ sono tutte le primitive.
Come ha detto Gugo, se $v$ è continua allora la funzione integrale è una primitiva di $v$, questo significa che si può scrivere anche
$x(t)=int_(0)^(t)v(s)ds+c$
Questo scegliendo $0$ come estremo inferiore dell’integrale.
Chiaramente ponendo $c=int_(t_0)^(0)v(s)ds$ si ottiene la solita scrittura
$x(t)=int_(t_0)^(t)v(s)ds$
Quindi possiamo solo dire che ‘la funzione integrale, è una primitiva della velocità(supposta questa continua) e pertanto risolve il problema della ricerca delle primitive’
In poche parole la ricerca di una primitiva equivale al dire ‘data una funzione, cercarne un’altra che abbia derivata la nostra funzione in ogni punto’
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