Instauramento Rotolamento Puro
Ciao a tutti,
Ho altre due domande che riguardano l'instauramento del rotolamento puro.
1)Faccio un esempio per essere il più chiaro possibile.
Supponiamo di avere una palla da biliardo su un tavolo inizialmente ferma, essa incomincerà a muoversi dopo aver ricevuto un colpo dalla stecca.
Tralasciando i vari parametri (massa, coefficiente di attrito, ecc.) e concentrandosi sull'aspetto teorico, dopo quanto si instaurerebbe, se possibile, il rotolamento puro?
Dovrei porre la velocità angolare della palla da biliardo uguale alla velocità del centro di massa per il raggio??
Ovvero $(d(phi))/(dt)= (d(x_g))/(dt) /R$
Con $x_g$ si intende la posizione del centro di massa.
E' così o sbaglio?
Dovrei porre anche la velocità del punto di contatto uguale a zero?
Non saprei come fare sinceramente.
2)Inoltre il professore durante la lezione ha detto che in questo caso è possibile che si instauri il rotolamento puro, ma ci sono dei casi in cui questo non è possibile. Purtroppo non ho capito un granchè (mea culpa, poco sonno, settima ora di lezione del giorno, ergo ero un po' fuso).
Qualcuno saprebbe dirmi in quali così si può instaurare il rotolamento puro ed in quali no, e perché?
P.s. sui miei libri di testo trovo molto scritto riguardo a tale argomento, ma nulla riguardo "l'instauramento", per questo motivo chiedo a voi! Questo forum è sicuramente più affidabile della maggior parte delle pagine web
Ho altre due domande che riguardano l'instauramento del rotolamento puro.
1)Faccio un esempio per essere il più chiaro possibile.
Supponiamo di avere una palla da biliardo su un tavolo inizialmente ferma, essa incomincerà a muoversi dopo aver ricevuto un colpo dalla stecca.
Tralasciando i vari parametri (massa, coefficiente di attrito, ecc.) e concentrandosi sull'aspetto teorico, dopo quanto si instaurerebbe, se possibile, il rotolamento puro?
Dovrei porre la velocità angolare della palla da biliardo uguale alla velocità del centro di massa per il raggio??
Ovvero $(d(phi))/(dt)= (d(x_g))/(dt) /R$
Con $x_g$ si intende la posizione del centro di massa.
E' così o sbaglio?
Dovrei porre anche la velocità del punto di contatto uguale a zero?
Non saprei come fare sinceramente.
2)Inoltre il professore durante la lezione ha detto che in questo caso è possibile che si instauri il rotolamento puro, ma ci sono dei casi in cui questo non è possibile. Purtroppo non ho capito un granchè (mea culpa, poco sonno, settima ora di lezione del giorno, ergo ero un po' fuso).
Qualcuno saprebbe dirmi in quali così si può instaurare il rotolamento puro ed in quali no, e perché?
P.s. sui miei libri di testo trovo molto scritto riguardo a tale argomento, ma nulla riguardo "l'instauramento", per questo motivo chiedo a voi! Questo forum è sicuramente più affidabile della maggior parte delle pagine web
Risposte
"anonymous_f3d38a":
Supponiamo di avere una palla da biliardo su un tavolo inizialmente ferma, essa incomincerà a muoversi dopo aver ricevuto un colpo dalla stessa.
...chi sarebbe "la stessa"?
Tralasciando i vari parametri (massa, coefficiente di attrito, ecc.) e concentrandosi sull'aspetto teorico, dopo quanto si instaurerebbe, se possibile, il rotolamento puro?
Supponendo che inizialmente la pallina ruoti slittando, il rotolamento puro si instaura quando la velocità angolare, a causa dell'attrito, diminuisce fino a diventare uguale a alla velocità di traslazione divisa per il raggio. Temo quindi che tu non possa "tralasciare" i parametri massa, coefficiente di attrito (e nemmeno la velocità angolare iniziale) per stabilire il tempo necessario per arrivare al rotolamento puro.
Con $x_g$ si intende la posizione del centro di massa.
Sì.
Inoltre il professore durante la lezione ha detto che in questo caso è possibile che si instauri il rotolamento puro
Quale caso?
La “stessa “ è la stecca del biliardo. “Cerca...” , ci sono esercizi pure su questo.
"mathbells":
[quote="anonymous_f3d38a"]
Supponiamo di avere una palla da biliardo su un tavolo inizialmente ferma, essa incomincerà a muoversi dopo aver ricevuto un colpo dalla stessa.
...chi sarebbe "la stessa"?
[/quote]
.
"Shackle":
La “stessa “ è la stecca del biliardo.
Ahhh! Allora è stato uno scherzo del T9
. Aveva tutta l'aria di un pronome che si fosse perso il soggetto.
"Shackle":
La “stessa “ è la stecca del biliardo. “Cerca...” , ci sono esercizi pure su questo.
Ciao Shackle! Hai dei consigli su parole chiave da usare sulla barra di ricerca per rispondere alla domanda 1)?
Ho provato con rotolamento puro ma ho trovato una marea di esercizi che non riguardano il mio caso specifico.
Se cerco poi "instauramento rotolamento puro" non trovo niente.
Per quanto riguarda la domanda 2), essendo una domanda che riguarda non tanto gli esercizi quanto la teoria, ed essendo più specifica, non penso di poter trovare nulla.
Il punto 2 e' intuibile.
Se lo spazio di strisciamento necessario per instaurare il rotolamento non si raggiunge, la palla si ferma e non rotola
$ x(t_r) -x(t_0)=1/mu _d*v_0^2/(2g $
Questo e' lo spazio minimo che deve fare
Se poi non colpisci il centro di massa, può' succedere che se calcoli la forza d'attrito venga negativa, in sostanza la pallina torni indietro (tipo lo yo yo)
$ f_a=-F*(2mR^2-I_p)/(I_p/I_(cm) +1 $
Ora il moto rotatorio lo puoi descrivere come hai fatto con in moto generale, attraverso le sue equazioni parametriche seguendo il punto sulla circonferenza. E avrai:
$ x(t) =R*sin(omega *t) +omega *R*t $
$ y(t) = R*cos (omega *t) +R $
Questo perche' a $ y(0) $ si ha che il punto p sta' a distanza 2R
La traiettoria, che e' la curva ottenuta eliminando $ omega * t$ dalle parametriche, e che rappresenta tutte le posizzioni raggiunte da P durante il suo moto, si chiama cicloide
Matematicamente è una curva continua e quasi ovunque differenziabile (quindi piuttosto regolare a parte i punti di cuspide)
La troverai nel pendolo, visto che e' una tautocrona
La traiettoria non è comoda ma e' questa
$ (x(t)) /r = arccos(1-y/r) -(1-(1-y/r) ^2)^(1/2 $ che vale per $ 0<= y<= 2r, 0<= x<= rpi $
In coordinate polari si ha che:
Se lo spazio di strisciamento necessario per instaurare il rotolamento non si raggiunge, la palla si ferma e non rotola
$ x(t_r) -x(t_0)=1/mu _d*v_0^2/(2g $
Questo e' lo spazio minimo che deve fare
Se poi non colpisci il centro di massa, può' succedere che se calcoli la forza d'attrito venga negativa, in sostanza la pallina torni indietro (tipo lo yo yo)
$ f_a=-F*(2mR^2-I_p)/(I_p/I_(cm) +1 $
Ora il moto rotatorio lo puoi descrivere come hai fatto con in moto generale, attraverso le sue equazioni parametriche seguendo il punto sulla circonferenza. E avrai:
$ x(t) =R*sin(omega *t) +omega *R*t $
$ y(t) = R*cos (omega *t) +R $
Questo perche' a $ y(0) $ si ha che il punto p sta' a distanza 2R
La traiettoria, che e' la curva ottenuta eliminando $ omega * t$ dalle parametriche, e che rappresenta tutte le posizzioni raggiunte da P durante il suo moto, si chiama cicloide
Matematicamente è una curva continua e quasi ovunque differenziabile (quindi piuttosto regolare a parte i punti di cuspide)
La troverai nel pendolo, visto che e' una tautocrona
La traiettoria non è comoda ma e' questa
$ (x(t)) /r = arccos(1-y/r) -(1-(1-y/r) ^2)^(1/2 $ che vale per $ 0<= y<= 2r, 0<= x<= rpi $
In coordinate polari si ha che:
@anonymous_f3d38a
la palla colpita dalla stecca inizialmente rotola e striscia, come ti ha detto mathbells. LA velocitá di traslazione diminuisce e quella angolare aumenta , finchè diventano tali da rispettare la condizione imposta dal rotolamento puro :
$ v = omegaR $ .
A titolo di esempio, guarda questo esercizio sulla palla da bowling :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... g#p8396657
leggi pure questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... co+velocità+iniziale#p8396208
tutta la discussione è istruttiva . Leggi pure la dispensa dell'uniroma , esercizio 18 :
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap14.pdf
la palla colpita dalla stecca inizialmente rotola e striscia, come ti ha detto mathbells. LA velocitá di traslazione diminuisce e quella angolare aumenta , finchè diventano tali da rispettare la condizione imposta dal rotolamento puro :
$ v = omegaR $ .
A titolo di esempio, guarda questo esercizio sulla palla da bowling :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... g#p8396657
leggi pure questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... co+velocità+iniziale#p8396208
tutta la discussione è istruttiva . Leggi pure la dispensa dell'uniroma , esercizio 18 :
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap14.pdf
"Gabrio":
Il punto 2 e' intuibile.
Grazie Gabrio!
"Shackle":
@anonymous_f3d38a
la palla colpita dalla stecca inizialmente rotola e striscia, come ti ha detto mathbells. LA velocitá di traslazione diminuisce e quella angolare aumenta , finchè diventano tali da rispettare la condizione imposta dal rotolamento puro :
$ v = omegaR $ .
A titolo di esempio, guarda questo esercizio sulla palla da bowling :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... g#p8396657
leggi pure questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... co+velocità+iniziale#p8396208
tutta la discussione è istruttiva . Leggi pure la dispensa dell'uniroma :
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap14.pdf
Grandeeee finalmente una dispensa universitaria in cui viene trattato l'argomento! La divoro subito insieme agli altri due post, grazie mille Shackle!!!
Sono contento che ti piaccia, poi con calma aggiungo un po di cose al post, benché' inutili, come la traiettoria della cicloide, la sua lunghezza, la sua forma polare, un po di cose sul punto 1,
Visto che quelle dispense per te sono troppo avanzate, e' meccanica razionale, e sono ostiche per me immagino quanto per te
Visto che quelle dispense per te sono troppo avanzate, e' meccanica razionale, e sono ostiche per me immagino quanto per te
"Shackle":
@anonymous_f3d38a
la palla colpita dalla stecca inizialmente rotola e striscia, come ti ha detto mathbells. LA velocitá di traslazione diminuisce e quella angolare aumenta , finchè diventano tali da rispettare la condizione imposta dal rotolamento puro :
$ v = omegaR $ .
A titolo di esempio, guarda questo esercizio sulla palla da bowling :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... g#p8396657
leggi pure questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... co+velocità+iniziale#p8396208
tutta la discussione è istruttiva . Leggi pure la dispensa dell'uniroma , esercizio 18 :
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap14.pdf
Shackle ciao!
Il primo thread sulla palla da bowling e le dispense dell'uniroma si sono rivelati utilissimi.
Ho provato a leggere il secondo thread però non ho trovato nulla che mi potesse aiutare.
Volevi forse farmi notare qualcos altro in aggiunta che mi è sfuggito grazie a quel thread?
Supponendo che inizialmente la pallina ruoti slittando, il rotolamento puro si instaura quando la velocità angolare, a causa dell'attrito, diminuisce fino a diventare uguale a alla velocità di traslazione divisa per il raggio
Diminuisce o aumenta?
"Brufus":Supponendo che inizialmente la pallina ruoti slittando, il rotolamento puro si instaura quando la velocità angolare, a causa dell'attrito, diminuisce fino a diventare uguale a alla velocità di traslazione divisa per il raggio
Diminuisce o aumenta?
LA velocità angolare inizialmente è nulla, poi aumenta ; la velocità di traslazione invece diminuisce. Guarda la dispensa dell'uniroma, es 18 , c'è anche il grafico. Alla fine di questa fase , si ha rotolamento puro, con $v=omegaR$ .
Volevi forse farmi notare qualcos altro in aggiunta che mi è sfuggito grazie a quel thread?
niente di particolare .
"Shackle":
[quote="Brufus"]Supponendo che inizialmente la pallina ruoti slittando, il rotolamento puro si instaura quando la velocità angolare, a causa dell'attrito, diminuisce fino a diventare uguale a alla velocità di traslazione divisa per il raggio
Diminuisce o aumenta?
LA velocità angolare inizialmente è nulla, poi aumenta ; la velocità di traslazione invece diminuisce. Guarda la dispensa dell'uniroma, es 18 , c'è anche il grafico. Alla fine di questa fase , si ha rotolamento puro, con $v=omegaR$ [/quote]
Ciao Shackle, io in realtà intendevo la situazione contraria, e cioè ho immaginato che la pallina acquisti una velocità angolare iniziale diversa da zero ed una velocità di traslazione iniziale nulla. Questo non è possibile farlo con un colpo di stecca, ma ad esempio si può immaginare di farlo lasciando cadere la pallina dopo averle impresso una forte rotazione con la mano. In questo modo, quando la pallina tocca il tavolo, inizia a slittare, e la velocità angolare inizia a diminuire mentre quella di traslazione aumenta fino a raggiungere il puro rotolamento.
Ad ogni modo, nell'uno e nell'altro caso, l'idea di fondo che spiega il raggiungimento del puro rotolamento è la stessa.
Si, certo, negli esercizi si propone anche questo caso, in cui si imprime alla biglia una velocità angolare iniziale $omega_0$ prima di metterla sul piano, e poi la si poggia con velocità di traslazione nulla; è la situazione opposta di quella col colpo di stecca centrato , la forza di attrito ora è diretta in avanti, per cui la velocità di traslazione aumenta e la velocità angolare diminuisce, fino al raggiungimento del rotolamento puro. 
Nel caso del colpo di stecca, si può dimostrare che, dando il colpo ad una certa altezza della biglia, si può instaurare il rotolamento puro fin dall’inizio: sarebbe bello se @anonymous_f3d38a lo trovasse...
Nel caso del colpo di stecca, si può dimostrare che, dando il colpo ad una certa altezza della biglia, si può instaurare il rotolamento puro fin dall’inizio: sarebbe bello se @anonymous_f3d38a lo trovasse...
Forse cercando 5/7 h può' aiutare.
Altrimenti si ricava facile
Chiamiamo $F_s$ la forza portata con la stecca
$R$ il raggio della palla
$cm$ il centro di massa della palla
$P$ il punto di contatto tra palla e tavolo
e $F_x$ e anche $F_y$ le componenti di $F$ nel punto $P$
Calcoliamo le componenti di $a_cm$ ($a_x$ e $a_y$)
$ sumF_x =ma_(cm) $
Analogamente con la direzione y.
Ora bisogna capire la direzione della componente $F_x$
$F_x - F =ma_(cm_x) $
Ma il punto P nel rotolamento resta fermo quindi
$-F = ma_(cm_x) $
Lungo y e' la solita forza peso.
Calcoliamo la somma dei momenti rispetto al CM
$sumM = I_(cm) alpha$
Ora $alpha R = -a_(cm) $
$F *(h-R) =I_(cm) *(-a_(cm) /R) $
Sostituendo $a_(cm) $ con il suo valore si elimina la forza
$hI_(cm)/(mr) +R$
Da cui visto che $I_(cm)$ vale $I_(cm) =2/5* mR^2$
$h=7/5*R$
Altrimenti si ricava facile
Chiamiamo $F_s$ la forza portata con la stecca
$R$ il raggio della palla
$cm$ il centro di massa della palla
$P$ il punto di contatto tra palla e tavolo
e $F_x$ e anche $F_y$ le componenti di $F$ nel punto $P$
Calcoliamo le componenti di $a_cm$ ($a_x$ e $a_y$)
$ sumF_x =ma_(cm) $
Analogamente con la direzione y.
Ora bisogna capire la direzione della componente $F_x$
$F_x - F =ma_(cm_x) $
Ma il punto P nel rotolamento resta fermo quindi
$-F = ma_(cm_x) $
Lungo y e' la solita forza peso.
Calcoliamo la somma dei momenti rispetto al CM
$sumM = I_(cm) alpha$
Ora $alpha R = -a_(cm) $
$F *(h-R) =I_(cm) *(-a_(cm) /R) $
Sostituendo $a_(cm) $ con il suo valore si elimina la forza
$hI_(cm)/(mr) +R$
Da cui visto che $I_(cm)$ vale $I_(cm) =2/5* mR^2$
$h=7/5*R$
"Shackle":
...
Nel caso del colpo di stecca, si può dimostrare che, dando il colpo ad una certa altezza della biglia, si può instaurare il rotolamento puro fin dall’inizio: sarebbe bello se @anonymous_f3d38a lo trovasse...
Affinché il moto della biglia sia di rotolamento puro fin dall'inizio, la stecca deve colpire la palla non al centro, cioè ad altezza $R$ dal piano, ma più in alto, e precisamente a $7/5R$ dal piano. Infatti, nel rotolamento puro si ha :
$v_(CM) = omegaR$
$a_(CM) = alphaR $
dove $alpha $ è l'accelerazione angolare. Se la stecca colpisce la biglia ad una altezza $h$ dal piano , maggiore di $R$ , l'impulso ha un momento non nullo rispetto al CM della biglia . Si ha :
$(h-R) J = L_f-L_i = I_(CM) omega _0= 2/5MR^2 omega_0$
in cui $L_f-L_i$ è la variazione del momento angolare.
L'impulso $J$ è uguale alla variazione di quantità di moto $Mv_0$ , per cui si ha :
$(h-R)Mv_0 =2/5MR^2 omega_0$
SE vogliamo rotolamento puro fin dall'istante iniziale , si deve imporre : $v_0 = omega_0R $ . Sostituendo, si ricava che deve essere :
$h-R = 2/5R $ , da cui : $ h= 7/5R$ .
Aggiungo alcuni appunti a mano, relativi al calcolo della forza di attrito tra un disco e un piano (si può passare al caso della sfera facilmente, basta cambiare il momento di inerzia) , in base all'altezza a cui si trova la forza impressa rispetto al piano :
da notare che , quando la forza di attrito è nulla, e quindi $h=1.5R$ , il disco dopo l'applicazione della forza F impulsiva procede a velocità costante, fin da subito. Questo è l'analogo del caso della biglia, colpita da una forza impulsiva ad altezza $7/5R$ dal piano. Perciò , pure nella biglia quando $h=7/5R$ la forza di attrito è nulla.
"Shackle":
[quote="Shackle"]...
Nel caso del colpo di stecca, si può dimostrare che, dando il colpo ad una certa altezza della biglia, si può instaurare il rotolamento puro fin dall’inizio: sarebbe bello se @anonymous_f3d38a lo trovasse...
Affinché il moto della biglia sia di rotolamento puro fin dall'inizio, la stecca deve colpire la palla non al centro, cioè ad altezza $R$ dal piano, ma più in alto, e precisamente a $7/5R$ dal piano. Infatti, nel rotolamento puro si ha :
... [/quote]
Molto interessante!!! Confesso che non ci sarei arrivato spontaneamente...grazie davvero!
No, ci saresti arrivato, sono cose che hai usato poco, ma semplici
Una relazione da ricordare il resto passaggini
Una relazione da ricordare il resto passaggini
"Gabrio":
No, ci saresti arrivato, sono cose che hai usato poco, ma semplici
Una relazione da ricordare il resto passaggini
Si, certo, ci sarebbe arrivato, lui.
Antonio Laika, risparmia certi commenti.
@anonymous_f3d38a
Che cosa succederebbe, se lanciassi una boccia perfetta su un piano ghiacciato perfettamente liscio, quindi con attrito nullo? Fai due ipotesi teoriche: velocità angolare iniziale esattamente nulla; velocità angolare iniziale non nulla.
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