Inghippo su un cilindro in un campo magnetico variabile

[Nagato2]

Ho difficoltà a impostare questo esercizio: ho un cilindro conduttore di cui conosco il raggio $a$, la resistività $rho$ e la lunghezza $l$, immerso in un campo \(\displaystyle \mathbf{B}=B_0\sin(\omega t)\mathbf{e}_z \). Mi si chiede come prima cosa di trovare la densità di corrente in funzione di $r$ e del tempo.

Ho pensato di usare la legge di Ohm, \(\displaystyle \mathbf{J}=\mathbf{E}/\rho \); il campo elettrico è quello generato dalla variazione del campo magnetico, quindi presumo l'equazione giusta da usare sia la legge di Faraday, \(\displaystyle \text{rot }\mathbf{E}=-\partial_t \mathbf{B} \). Solo che non so bene come calcolare il rotore del campo, non sapendo nemmeno come è fatto... secondo voi come posso farlo funzionare?

[mgrau]

E il cilindro come è orientato?

[Nagato2]

Ha l'asse lungo $z$, con l'origine a metà della lunghezza...

[mgrau]

In sostanza è un disco, attraversato parallelamente all'asse da un campo magnetico oscillante. Allora dalla legge di Faraday, o terza equazione di Maxwell, $rot E = -(partialB)/(partial t)$ e dalla simmetria trovi $E$ in funzione del raggio (risulta in modulo proporzionale al raggio, e oscillante pure lui come $B$, sfasato di 90°)
Puoi usare $ f.e.m. = 2pirE = -(dPhi)/(dt)$ così non hai da trattare col rotore.

[Nagato2]

Ho solo un dubbio probabilmente stupido... il flusso attraverso il cilindro, che è una superficie chiusa, non è nullo?

[mgrau]

"Nagato": il flusso attraverso il cilindro, che è una superficie chiusa, non è nullo?

Non si tratta di Gauss, ma di Faraday... pensa al flusso attraverso le basi del cilindro (o disco): non c'entra qui entrante o uscente, le basi non sono superfici chiuse. Il flusso è lo stesso attraverso le due basi, ma non interessa nemmeno vederle separate. Quel che interessa è che la sua variazione determina la circuitazione di E lungo il contorno, ossia, nel caso nostro, lungo la superficie laterale del cilindro. Poi puoi pensare che per ogni cilindro, coassiale con questo, con raggio $r

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[Nagato2]

Ok. Quindi in pratica considero una sezione del cilindro, vi calcolo il campo con Faraday e uso la legge di Ohm per trovare la densità di corrente che scorre nella sezione.

Ma quindi... la corrente scorre radialmente nel cilindro? Faccio fatica a immaginarmela

Comunque mi viene così: \[\displaystyle \varphi_S(\mathbf{B})=B_0\sin(\omega t)\pi r^2, \ \Rightarrow -\dot\varphi_S(\mathbf{B})=-B_0\pi r^2\omega\cos(\omega t), \\ \mathbf{E}(r)= -\frac{1}{2}B_0 r\omega\cos(\omega t)\mathbf{e}_\theta, \ \Rightarrow \ \mathbf{J}=-\frac{1}{2\rho}B_0 r\omega\cos(\omega t)\mathbf{e}_\theta. \]

[mgrau]

"Nagato":
Ma quindi... la corrente scorre radialmente nel cilindro? \]

No, che non scorre radialmente... scorre circolarmente sui vari gusci cilindrici (hai mai visto un porro? una specie di cipolla ma cilindrica invece che sferica), con intensità che, a occhio, cresce linearmente col raggio.

[Nagato2]

Ahh giusto... tra l'altro se il campo elettrico non è circonferenziale non può funzionare il calcolo della circuitazione...

Ma allora ho un'ultima (stupida) domanda: a priori, sapendo che $B$ va lungo $z$, come so se il campo elettrico va lungo $theta$ o lungo $r$?

[mgrau]

"Nagato": sapendo che $B$ va lungo $z$, come so se il campo elettrico va lungo $theta$ o lungo $r$?

Un campo elettrico radiale - a parte che non si capisce dove andrebbe a finire la corrente una volta arrivata al bordo - darebbe una circuitazione nulla

[Nagato2]

Beh giusto in effetti grazie!

[Nagato2]

Mi viene in mente un'ultima domanda. Quando ho un campo magnetico variabile, posso già dire che il campo elettrico indotto non sarà radiale? Per questioni di circuitazione?

[mgrau]

"Nagato": Quando ho un campo magnetico variabile, posso già dire che il campo elettrico indotto non sarà radiale? Per questioni di circuitazione?

Radiale, che vuol dire? Non conoscendo la geometria, non saprei proprio. La variazione di B dà il rotore di E, e passare da qui al campo non saprei come fare, se la simmetria non aiuta

[Nagato2]

Scusami, intendevo un campo magnetico variabile lungo $z$, usando delle coordinate cilindriche dovendo essere $E$ ortogonale a $B$ rimangono solo due possibilità: la direzione radiale o circonferenziale. Le considerazioni di prima valgono in generale o solo in questo caso specifico?