Inerzia e gemelli
Sto studiando il famoso paradosso dei gemelli con l'obiettivo di capire meglio cosa distingue un osservatore inerziale (il gemello fermo) da uno non inerziale (il gemello in moto). L'osservatore inerziale dispone di un sistema di riferimento globale (costruito inviando e ricevendo fotoni in tutto lo spazio e misurando i tempi di parteza e ritorno secondo il classico procedimento) che risulta essere massimamente simmetrico visto che per la sua metrica (di Minkowski) ci sono 10 vettori di Killing. L'osservatore non inerziale si costruisce anche lui un suo sistema di riferimento globale allo stesso modo, che però ha delle linee di simultaneità e di equidistanza spaziale che non sono delle rette. La domanda cui non riesco a rispondere è: anche questo suo sistemo di riferimento è massimamente simmetrico o no? Ovvero quanti sono i sui vettori di Killing? Ho cercato in Internet senza trovare niente. Qualcuno conosce una risposta?
Risposte
Ecco l'ennesimo post sull'effetto gemelli, che paradosso non è !
Non è del tutto corretto. Il gemello in moto "cambia riferimento inerziale" almeno una volta, ma ne potrebbe cambiare con continuità, descrivendo, nel diagramma di Minkowski del gemello rimasto a terra, una linea di universo curva, che in ogni punto ha come tangente l'asse temporale di un riferimento inerziale tangente, che non è altro che un riferimento inerziale di quiete momentanea
Se parli di vettori di Killing, è segno che conosci la Relativita Generale. MA non occorre la RG per risolvere l'effetto gemelli. Nello spaziotempo piatto (universo di Minkowski) del gemello rimasto a terra, quello in viaggio descrive, come detto, una curva spaziotemporale. Ma non parlerei di linee di simultaneità e di equidistanza che non sono rette, per il gemello in viaggio. Se per un piccolo elemento di linea d'universo del viaggiatore vuoi adottare un riferimento localmente inerziale, puoi farlo, con le sue linee di simultaneità ecc. : ma solo localmente.
La "lunghezza" della curva di universo del gemello in viaggio, cioè il suo tempo proprio totale tra partenza ed arrivo, si trova con un procedimento di integrazione (se si conosce la legge con cui varia $\gamma(v)$.
Se vuoi, dà un'occhiata a questo link. C'è un mio disegnino a mano.
viewtopic.php?f=19&t=113313&hilit=gemelli#p742094
Non so se questo ti basta.
"eminova":
Sto studiando il famoso paradosso dei gemelli con l'obiettivo di capire meglio cosa distingue un osservatore inerziale (il gemello fermo) da uno non inerziale (il gemello in moto).
Non è del tutto corretto. Il gemello in moto "cambia riferimento inerziale" almeno una volta, ma ne potrebbe cambiare con continuità, descrivendo, nel diagramma di Minkowski del gemello rimasto a terra, una linea di universo curva, che in ogni punto ha come tangente l'asse temporale di un riferimento inerziale tangente, che non è altro che un riferimento inerziale di quiete momentanea
L'osservatore inerziale dispone di un sistema di riferimento globale (costruito inviando e ricevendo fotoni in tutto lo spazio e misurando i tempi di parteza e ritorno secondo il classico procedimento) che risulta essere massimamente simmetrico visto che per la sua metrica (di Minkowski) ci sono 10 vettori di Killing. L'osservatore non inerziale si costruisce anche lui un suo sistema di riferimento globale allo stesso modo, che però ha delle linee di simultaneità e di equidistanza spaziale che non sono delle rette. La domanda cui non riesco a rispondere è: anche questo suo sistemo di riferimento è massimamente simmetrico o no? Ovvero quanti sono i sui vettori di Killing? Ho cercato in Internet senza trovare niente. Qualcuno conosce una risposta?
Se parli di vettori di Killing, è segno che conosci la Relativita Generale. MA non occorre la RG per risolvere l'effetto gemelli. Nello spaziotempo piatto (universo di Minkowski) del gemello rimasto a terra, quello in viaggio descrive, come detto, una curva spaziotemporale. Ma non parlerei di linee di simultaneità e di equidistanza che non sono rette, per il gemello in viaggio. Se per un piccolo elemento di linea d'universo del viaggiatore vuoi adottare un riferimento localmente inerziale, puoi farlo, con le sue linee di simultaneità ecc. : ma solo localmente.
La "lunghezza" della curva di universo del gemello in viaggio, cioè il suo tempo proprio totale tra partenza ed arrivo, si trova con un procedimento di integrazione (se si conosce la legge con cui varia $\gamma(v)$.
Se vuoi, dà un'occhiata a questo link. C'è un mio disegnino a mano.
viewtopic.php?f=19&t=113313&hilit=gemelli#p742094
Non so se questo ti basta.
Grazie per l'immediata risposta!
Forse però sono stato troppo conciso nell'esposizione del quesito e non ho spiegato bene dove sta il mio problema.
Sono assolutamente d'accordo che il paradosso è solo apparente e facilmente risolvibile come dici.
Ma nasconde un problema che Einstein stesso ha segnalato in diversi suoi scritti, anche di tipo divulgativo. Il problema è che nella relatività ristretta (RR) si dà per scontata l'esistenza di osservatori inerziali, che risultano "privilegiati" rispetto agli altri. Riporto un pezzo dal libro di Einstein e Infeld "L'evoluzione della fisica" in cui viene chiesto a un fisico di definire un sistema inerziale:
- Che cos'è un sistema inerziale?
- E' un sistema di coordinate nel quale valgono le leggi della meccanica. In tale sistema, un corpo sul quale non agisce nessuna forza esterna si muove uniformemente. Questa proprietà ci mette in grado di distinguere un sistema inerziale da ogni altro.
- Ma cosa deve intendersi allorché dite che nessuna forza agisce su di un corpo?
- Ciò vuol dire semplicemente che il corpo si muove uniformemente in un sistema inerziale.
.........
La nostra intervista ci rivela una grande difficoltà, insita nella fisica classica. Abbiamo bensì delle leggi, ma non sappiamo a quale quadro riferirle, cosicché l'intero edificio della fisica appare fondato sulla sabbia.
Einstein era convinto che lo stesso difetto restasse nella RR, e ha cercato di risolverlo con la teoria della relatività generale (GR). Ovviamente non è un difetto di coerenza logica (come spesso viene ipotizzato da chi discute superficialmente il paradosso dei gemelli) ma ha a che fare con cosa intendiamo con il concetto di "spiegazione": La RR assume l'esistenza di osservatori inerziali, ma non spiega l'inerzia. Possiamo semplicemente dire che le cose stanno così, oppure cercare di capire se l'inerzia deriva da qualche più profonda caratteristica dello spazio tempo e degli osservatori che vi abitano.
Questa è la motivazione per cui ho cominciato a rianalizzare il cosiddetto paradosso. Sostenuta poi dalla lettura del capitolo ''The Inertia of Twins" del libro di Kewin Brown Reflection on Reativity che si trova in rete su MathPages. Tra l'altro lui è convinto che per risolvere in questo senso il paradosso sia indispensabile la GR, e cita a sostegno Einstein, Born e Pauli. Chiaramente la questione ha a che fare con il problema machiano di definizione dell'inerzia, ma sarebbe bello capire più in dettaglio dove sta il limite della RR (anche perché il problema non mi pare del tutto risolto neanche nella GR).
Quindi vorrei capire meglio il problema, per ora nell'ambito della RR.
Ho visto il grafico che mi hai suggerito, che corrisponde ai conti che sto facendo.
Ti metto qualche dettaglio.
Seguendo un modello di viaggio del gemello in moto molto usato ipotizzo che il viaggio sia fatto da tratti di moto iperbolico (con accelerazione =1 e scegliendo i tempi dei vari tratti in modo da semplificare i conti e trascurando le coordinate spaziali ortogonali al moto), per cui la sua traiettoria, parametrizzata dal tempo proprio, è ( in unità c=1):
\[
\begin{cases}
t=\sinh \tau\\
x=\cosh \tau-1
\end{cases}
\qquad 0\le\tau<1
\]
\[
\begin{cases}
t=2\sinh(1)-\sinh(2- \tau)\\
x=2(\cosh(1)-1)-(\cosh(2- \tau)-1)
\end{cases}
\qquad 1\le\tau<3
\]
\[
\begin{cases}
t=4 \sinh(1)-\sinh(4- \tau)\\
x=\cosh(4- \tau)-1
\end{cases}
\qquad 3\le\tau<4
\]
e
\[
\begin{cases}
t= \tau\\
x=0
\end{cases}
\qquad \tau<0\,,\,\tau>4\,
\]
Con questa traiettoria costruisco le linee di simultaneià per un istante di tempo proprio $\tau_M$ prendendo come simultaneo l'evento in cui si incontrano i fotoni emessi in $\tau_M-\epsilon$ e quelli ricevuti in $\tau_M+\epsilon$. Così posso parametrizzare con $\epsilon$ queste linee. Localmente (in un intorno alla linea di universo dell'osservatore in moto) queste linee coincidono con l'osservatore inerziale localmente solidale (come suggerisci) ma si estendono anche a distanza qualunque, e qui non capisco bene perché dici che, non essendo rette, non posso considerale come linee di simultaneità.
in modo analogo costruisco le linee di equidistanza spaziale, così che alla fine l'intero spazio-tempo è coperto da un sistema di coordinate per l'osservatore in moto, che ovviamente non sono rettilinee.
Ed ecco il problema: quale differenza sostanziale c'è tra questo sistema di coordinate e quello dell'osservatore inerziale?
L'idea, ovviamente, è che ci sia una perdita di simmetria globale e che questo sistema di coordinate non sia massimamente simmetrico, ma non so bene come fare a dimostrarlo.
L'uso delle coordinate di Rindler non risolve il problema perché qui il moto non è uniformemete accelerato, ma l'accelerazione varia. Ho pensato dunque a cercare i vettori di Killing ma il fatto che la traiettoria sia definita a tratti pone difficoltà tecniche che non so come risolvere.
Mi scuso per il lungo post, ma capisco che il problema si presta a facili banalizzazioni che non mi interessano. Peraltro il problema è forse troppo difficile visto che non ho trovato niente di soddisfacente dopo molte ricerche...
Grazie!
Forse però sono stato troppo conciso nell'esposizione del quesito e non ho spiegato bene dove sta il mio problema.
Sono assolutamente d'accordo che il paradosso è solo apparente e facilmente risolvibile come dici.
Ma nasconde un problema che Einstein stesso ha segnalato in diversi suoi scritti, anche di tipo divulgativo. Il problema è che nella relatività ristretta (RR) si dà per scontata l'esistenza di osservatori inerziali, che risultano "privilegiati" rispetto agli altri. Riporto un pezzo dal libro di Einstein e Infeld "L'evoluzione della fisica" in cui viene chiesto a un fisico di definire un sistema inerziale:
- Che cos'è un sistema inerziale?
- E' un sistema di coordinate nel quale valgono le leggi della meccanica. In tale sistema, un corpo sul quale non agisce nessuna forza esterna si muove uniformemente. Questa proprietà ci mette in grado di distinguere un sistema inerziale da ogni altro.
- Ma cosa deve intendersi allorché dite che nessuna forza agisce su di un corpo?
- Ciò vuol dire semplicemente che il corpo si muove uniformemente in un sistema inerziale.
.........
La nostra intervista ci rivela una grande difficoltà, insita nella fisica classica. Abbiamo bensì delle leggi, ma non sappiamo a quale quadro riferirle, cosicché l'intero edificio della fisica appare fondato sulla sabbia.
Einstein era convinto che lo stesso difetto restasse nella RR, e ha cercato di risolverlo con la teoria della relatività generale (GR). Ovviamente non è un difetto di coerenza logica (come spesso viene ipotizzato da chi discute superficialmente il paradosso dei gemelli) ma ha a che fare con cosa intendiamo con il concetto di "spiegazione": La RR assume l'esistenza di osservatori inerziali, ma non spiega l'inerzia. Possiamo semplicemente dire che le cose stanno così, oppure cercare di capire se l'inerzia deriva da qualche più profonda caratteristica dello spazio tempo e degli osservatori che vi abitano.
Questa è la motivazione per cui ho cominciato a rianalizzare il cosiddetto paradosso. Sostenuta poi dalla lettura del capitolo ''The Inertia of Twins" del libro di Kewin Brown Reflection on Reativity che si trova in rete su MathPages. Tra l'altro lui è convinto che per risolvere in questo senso il paradosso sia indispensabile la GR, e cita a sostegno Einstein, Born e Pauli. Chiaramente la questione ha a che fare con il problema machiano di definizione dell'inerzia, ma sarebbe bello capire più in dettaglio dove sta il limite della RR (anche perché il problema non mi pare del tutto risolto neanche nella GR).
Quindi vorrei capire meglio il problema, per ora nell'ambito della RR.
Ho visto il grafico che mi hai suggerito, che corrisponde ai conti che sto facendo.
Ti metto qualche dettaglio.
Seguendo un modello di viaggio del gemello in moto molto usato ipotizzo che il viaggio sia fatto da tratti di moto iperbolico (con accelerazione =1 e scegliendo i tempi dei vari tratti in modo da semplificare i conti e trascurando le coordinate spaziali ortogonali al moto), per cui la sua traiettoria, parametrizzata dal tempo proprio, è ( in unità c=1):
\[
\begin{cases}
t=\sinh \tau\\
x=\cosh \tau-1
\end{cases}
\qquad 0\le\tau<1
\]
\[
\begin{cases}
t=2\sinh(1)-\sinh(2- \tau)\\
x=2(\cosh(1)-1)-(\cosh(2- \tau)-1)
\end{cases}
\qquad 1\le\tau<3
\]
\[
\begin{cases}
t=4 \sinh(1)-\sinh(4- \tau)\\
x=\cosh(4- \tau)-1
\end{cases}
\qquad 3\le\tau<4
\]
e
\[
\begin{cases}
t= \tau\\
x=0
\end{cases}
\qquad \tau<0\,,\,\tau>4\,
\]
Con questa traiettoria costruisco le linee di simultaneià per un istante di tempo proprio $\tau_M$ prendendo come simultaneo l'evento in cui si incontrano i fotoni emessi in $\tau_M-\epsilon$ e quelli ricevuti in $\tau_M+\epsilon$. Così posso parametrizzare con $\epsilon$ queste linee. Localmente (in un intorno alla linea di universo dell'osservatore in moto) queste linee coincidono con l'osservatore inerziale localmente solidale (come suggerisci) ma si estendono anche a distanza qualunque, e qui non capisco bene perché dici che, non essendo rette, non posso considerale come linee di simultaneità.
in modo analogo costruisco le linee di equidistanza spaziale, così che alla fine l'intero spazio-tempo è coperto da un sistema di coordinate per l'osservatore in moto, che ovviamente non sono rettilinee.
Ed ecco il problema: quale differenza sostanziale c'è tra questo sistema di coordinate e quello dell'osservatore inerziale?
L'idea, ovviamente, è che ci sia una perdita di simmetria globale e che questo sistema di coordinate non sia massimamente simmetrico, ma non so bene come fare a dimostrarlo.
L'uso delle coordinate di Rindler non risolve il problema perché qui il moto non è uniformemete accelerato, ma l'accelerazione varia. Ho pensato dunque a cercare i vettori di Killing ma il fatto che la traiettoria sia definita a tratti pone difficoltà tecniche che non so come risolvere.
Mi scuso per il lungo post, ma capisco che il problema si presta a facili banalizzazioni che non mi interessano. Peraltro il problema è forse troppo difficile visto che non ho trovato niente di soddisfacente dopo molte ricerche...
Grazie!
Faccio solo alcune osservazioni al tuo lungo post
D'accordo con te. Su "gravitazione e inerzia" le idee si può dire non siano ancora chiare. Ma la Fisica a livello elementare si deve pur servire di qualche modello accessibile, e ha creato il concetto di "forza" . Poi Einstein ha fatto piazza pulita di questo concetto, e in sostanza ha detto che gravitazione e inerzia sono due aspetti di un'unica medaglia, la curvatura dello spaziotempo, dovuta a materia-energia : le sue equazioni di campo lo dimostrano. Il concetto di forza non esiste più in Relatività, anche se talvolta in RR si parla della quadri-forza di Minkowski, che però serve a poco…diciamo niente.
Su inerzia e gravitazione abbiamo avuto questo scambio vivace di vedute:
viewtopic.php?f=19&t=114749&hilit=+inerzia+gravitazione
Si, conosco "Reflections on Relativity", le leggo quando ho voglia di leggere qualcosa di serio e stimolante. E conosco il punto di vista dell'autore. MA mi sembra una complicazione di troppo, la RG indispensabile non è di certo.
Certo, con le funzioni iperboliche si può arrivare ad analizzare la linea di universo del "viaggiatore" , e ad integrarla.
Dico soltanto, ma forse sbaglio, che non si può estendere il sistema di coordinate curvilinee a tutto l'universo dell'osservatore in moto, ma occorre limitarsi ad un intorno. È come in geometria differenziale, no? Non fai geometria differenziale globale se vuoi risolvere problemi locali di calcolo di curvature, traiettorie…..
Ma poi, a che ti serve?
Non so se esiste qualche libro di esercizi di RG, che porti la soluzione del problema in oggetto.
Non devi scusarti di niente. Ciao.
"eminova":
…………...
Einstein era convinto che lo stesso difetto restasse nella RR, e ha cercato di risolverlo con la teoria della relatività generale (GR). Ovviamente non è un difetto di coerenza logica (come spesso viene ipotizzato da chi discute superficialmente il paradosso dei gemelli) ma ha a che fare con cosa intendiamo con il concetto di "spiegazione": La RR assume l'esistenza di osservatori inerziali, ma non spiega l'inerzia. Possiamo semplicemente dire che le cose stanno così, oppure cercare di capire se l'inerzia deriva da qualche più profonda caratteristica dello spazio tempo e degli osservatori che vi abitano.
D'accordo con te. Su "gravitazione e inerzia" le idee si può dire non siano ancora chiare. Ma la Fisica a livello elementare si deve pur servire di qualche modello accessibile, e ha creato il concetto di "forza" . Poi Einstein ha fatto piazza pulita di questo concetto, e in sostanza ha detto che gravitazione e inerzia sono due aspetti di un'unica medaglia, la curvatura dello spaziotempo, dovuta a materia-energia : le sue equazioni di campo lo dimostrano. Il concetto di forza non esiste più in Relatività, anche se talvolta in RR si parla della quadri-forza di Minkowski, che però serve a poco…diciamo niente.
Su inerzia e gravitazione abbiamo avuto questo scambio vivace di vedute:
viewtopic.php?f=19&t=114749&hilit=+inerzia+gravitazione
Questa è la motivazione per cui ho cominciato a rianalizzare il cosiddetto paradosso. Sostenuta poi dalla lettura del capitolo ''The Inertia of Twins" del libro di Kewin Brown Reflection on Reativity che si trova in rete su MathPages. Tra l'altro lui è convinto che per risolvere in questo senso il paradosso sia indispensabile la GR, e cita a sostegno Einstein, Born e Pauli. Chiaramente la questione ha a che fare con il problema machiano di definizione dell'inerzia, ma sarebbe bello capire più in dettaglio dove sta il limite della RR (anche perché il problema non mi pare del tutto risolto neanche nella GR).
Si, conosco "Reflections on Relativity", le leggo quando ho voglia di leggere qualcosa di serio e stimolante. E conosco il punto di vista dell'autore. MA mi sembra una complicazione di troppo, la RG indispensabile non è di certo.
Quindi vorrei capire meglio il problema, per ora nell'ambito della RR.
Ho visto il grafico che mi hai suggerito, che corrisponde ai conti che sto facendo.
Ti metto qualche dettaglio…….
…….. Localmente (in un intorno alla linea di universo dell'osservatore in moto) queste linee coincidono con l'osservatore inerziale localmente solidale (come suggerisci) ma si estendono anche a distanza qualunque, e qui non capisco bene perché dici che, non essendo rette, non posso considerale come linee di simultaneità.
in modo analogo costruisco le linee di equidistanza spaziale, così che alla fine l'intero spazio-tempo è coperto da un sistema di coordinate per l'osservatore in moto, che ovviamente non sono rettilinee.
Ed ecco il problema: quale differenza sostanziale c'è tra questo sistema di coordinate e quello dell'osservatore inerziale?
Certo, con le funzioni iperboliche si può arrivare ad analizzare la linea di universo del "viaggiatore" , e ad integrarla.
Dico soltanto, ma forse sbaglio, che non si può estendere il sistema di coordinate curvilinee a tutto l'universo dell'osservatore in moto, ma occorre limitarsi ad un intorno. È come in geometria differenziale, no? Non fai geometria differenziale globale se vuoi risolvere problemi locali di calcolo di curvature, traiettorie…..
Ma poi, a che ti serve?
…….
L'uso delle coordinate di Rindler non risolve il problema perché qui il moto non è uniformemete accelerato, ma l'accelerazione varia. Ho pensato dunque a cercare i vettori di Killing ma il fatto che la traiettoria sia definita a tratti pone difficoltà tecniche che non so come risolvere.
Mi scuso per il lungo post, ma capisco che il problema si presta a facili banalizzazioni che non mi interessano. Peraltro il problema è forse troppo difficile visto che non ho trovato niente di soddisfacente dopo molte ricerche...
Grazie!
Non so se esiste qualche libro di esercizi di RG, che porti la soluzione del problema in oggetto.
Non devi scusarti di niente. Ciao.
Provo anch'io a fare qualche ulteriore osservazione e visto che questa discussione mi sta aiutando a capire meglio il problema
procedo per punti:
1)
Dai suoi scritti sembra che il programma di Einstein fosse, almeno all'inizio, tipicamente machiano: spiegare l'inerzia con l'influenza di masse lontane. Col principio di equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale e con la massa-energia che determina la geometria dell'Universo ci è andato vicino. Ma sembra che la GR non sia perfettamente machiana (a proposito, questa affermazione viene fatta spesso, ma dove si trova una dimostrazione?). In ogni caso, anche in presenza di materia la soluzione dell'equazione di Einstein dipende in generale anche da condizioni al contorno e comunque tale equazione non determina completamente le proprietà globali dello spazio-tempo (ad esempio la sua topologia).
2)
Lo spazio-tempo di Minkowki, in cui è formulata la RR, è una soluzione delle equazioni di Einstein per un tensore energia-impulso nullo, ed è massimamente simmetrica.
3)
In quest'ambito viene formulato il cosiddetto paradosso dei gemelli (e altri simili) che mostra "pittorescamente" la differenza tra sistemi inerziali e non inerziali.
4)
Faccio un'ipotesi: anche se non ci sono le masse lontane di Mach non potrebbero essere le particolari condizioni al contorno che caratterizzano i sistemi inerziali? Se così fosse dovrebbero emergere condizioni al contorno diverse per i due gemelli.
5)
A sostegno di questa ipotesi vedo le formulazioni del paradosso dei gemelli in uno spazio compatto [ad esempio in arXix:physics/0006039v1], in cui anche osservatori non accelerati "invecchiano meno" e l'osservatore "fermo" è privilegiato. Qui è chiaramente una proprietà "globale" (la compattificazione di una dimensione spaziale) a determinare la differenza e l'osservatore non stazionario può accorgersi del suo stato "diverso" solo con osservazioni globali (ad esempio contando e confrontando le diverse immagini di se stesso che vede in direzioni opposte).
6)
Noto che anche nel paradosso tradizionale il gemello in moto, se dispone solo di raggi di luce e orologio per esplorare lo spazio-tempo, può rilevare il suo stato di osservatore non inerziale solo con una osservazione "globale": confrontando le età quando si ricongiunge con il gemello fermo.
Naturalmente potrebbe accorgersi di non essere inerziale se avesse un accelerometro ( come la biglia sul tavolo liscio della discussione che mi hai indicato), ma questo reintrodurrebbe subdolamente proprio il concetto di inerzia (della biglia) che invece vogliamo spiegare.
7)
Per verificare l'ipotesi 4) ho bisogno, tanto per cominciare, di un sistema di riferimento globale per l'osservatore non inerziale, quindi delle trasformazioni per queste coordinate e della metrica. Ecco a cosa mi serve estendere le sue coordinate a tutto lo spazio-tempo.
8)
La cosa dovrebbe avere un senso, visto che per un osservatore uniformemente accelerato sono ben definite le coordinate di Rindler che tra l'altro rivelano cose interessanti proprio sulle proprietà globali dello spazio-tempo di questo osservatore (come l'esistenza di orizzonti degli eventi). Inoltre la metrica di Rindler è la stessa di quella di un campo gravitazionale uniforme come ci si aspetta per il principio di equivalenza, ma si ricava senza la GR. Peccato che per il gemello l'accelerazione non sia uniforme!
9)
Scelgo una semplice combinazione di moti uniformemente accelerati per descrivere la linea di universo dell'osservatore in moto e per costruire le coordinate globali uso la procedura di Einstein (come accennavo nel post precedente) e sembra che funzioni visto che localmente corrispondono a quelle dell'osservatore inerziale localmente solidale (sono identiche nello spazio tangente) e si trasportano lungo la traiettoria come un sistema di Fermi-Walker (questo però devo verificarlo meglio).
10)
A questo punto mi blocco perché le linee coordinate di questo sistema sono definite a tratti e non riesco a maneggiarle analiticamente per trovare le trasformazioni e la metrica.
Mi fermo al "decalogo".
Aggiungo solo due righe sullo scopo di questo lavoro (per non passare per pazzo)
Non ho la pretesa di risolvere il problema dell'origine dell'inerzia, ma solo di scrivere un lavoro di carattere didattico che però chiarisca il più possibile dove si nascondono le vere difficoltà. Magari l'approccio è sbagliato, ma dove?
procedo per punti:
1)
Dai suoi scritti sembra che il programma di Einstein fosse, almeno all'inizio, tipicamente machiano: spiegare l'inerzia con l'influenza di masse lontane. Col principio di equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale e con la massa-energia che determina la geometria dell'Universo ci è andato vicino. Ma sembra che la GR non sia perfettamente machiana (a proposito, questa affermazione viene fatta spesso, ma dove si trova una dimostrazione?). In ogni caso, anche in presenza di materia la soluzione dell'equazione di Einstein dipende in generale anche da condizioni al contorno e comunque tale equazione non determina completamente le proprietà globali dello spazio-tempo (ad esempio la sua topologia).
2)
Lo spazio-tempo di Minkowki, in cui è formulata la RR, è una soluzione delle equazioni di Einstein per un tensore energia-impulso nullo, ed è massimamente simmetrica.
3)
In quest'ambito viene formulato il cosiddetto paradosso dei gemelli (e altri simili) che mostra "pittorescamente" la differenza tra sistemi inerziali e non inerziali.
4)
Faccio un'ipotesi: anche se non ci sono le masse lontane di Mach non potrebbero essere le particolari condizioni al contorno che caratterizzano i sistemi inerziali? Se così fosse dovrebbero emergere condizioni al contorno diverse per i due gemelli.
5)
A sostegno di questa ipotesi vedo le formulazioni del paradosso dei gemelli in uno spazio compatto [ad esempio in arXix:physics/0006039v1], in cui anche osservatori non accelerati "invecchiano meno" e l'osservatore "fermo" è privilegiato. Qui è chiaramente una proprietà "globale" (la compattificazione di una dimensione spaziale) a determinare la differenza e l'osservatore non stazionario può accorgersi del suo stato "diverso" solo con osservazioni globali (ad esempio contando e confrontando le diverse immagini di se stesso che vede in direzioni opposte).
6)
Noto che anche nel paradosso tradizionale il gemello in moto, se dispone solo di raggi di luce e orologio per esplorare lo spazio-tempo, può rilevare il suo stato di osservatore non inerziale solo con una osservazione "globale": confrontando le età quando si ricongiunge con il gemello fermo.
Naturalmente potrebbe accorgersi di non essere inerziale se avesse un accelerometro ( come la biglia sul tavolo liscio della discussione che mi hai indicato), ma questo reintrodurrebbe subdolamente proprio il concetto di inerzia (della biglia) che invece vogliamo spiegare.
7)
Per verificare l'ipotesi 4) ho bisogno, tanto per cominciare, di un sistema di riferimento globale per l'osservatore non inerziale, quindi delle trasformazioni per queste coordinate e della metrica. Ecco a cosa mi serve estendere le sue coordinate a tutto lo spazio-tempo.
8)
La cosa dovrebbe avere un senso, visto che per un osservatore uniformemente accelerato sono ben definite le coordinate di Rindler che tra l'altro rivelano cose interessanti proprio sulle proprietà globali dello spazio-tempo di questo osservatore (come l'esistenza di orizzonti degli eventi). Inoltre la metrica di Rindler è la stessa di quella di un campo gravitazionale uniforme come ci si aspetta per il principio di equivalenza, ma si ricava senza la GR. Peccato che per il gemello l'accelerazione non sia uniforme!
9)
Scelgo una semplice combinazione di moti uniformemente accelerati per descrivere la linea di universo dell'osservatore in moto e per costruire le coordinate globali uso la procedura di Einstein (come accennavo nel post precedente) e sembra che funzioni visto che localmente corrispondono a quelle dell'osservatore inerziale localmente solidale (sono identiche nello spazio tangente) e si trasportano lungo la traiettoria come un sistema di Fermi-Walker (questo però devo verificarlo meglio).
10)
A questo punto mi blocco perché le linee coordinate di questo sistema sono definite a tratti e non riesco a maneggiarle analiticamente per trovare le trasformazioni e la metrica.
Mi fermo al "decalogo".
Aggiungo solo due righe sullo scopo di questo lavoro (per non passare per pazzo)
Non ho la pretesa di risolvere il problema dell'origine dell'inerzia, ma solo di scrivere un lavoro di carattere didattico che però chiarisca il più possibile dove si nascondono le vere difficoltà. Magari l'approccio è sbagliato, ma dove?
Guarda, io sono solo un dilettante in RR e RG, non ho le risposte a tutte le tue domande! Ne sai molto più di me, e in questo forum forse c'è qualcun altro che potrebbe aiutarti molto.
Comunque, provo a dirti qualcosa, ma scusami se non sno in grado di approfondire :
Per il punto 1, ho trovato qualcosa in un libro divulgativo di Brian Greene : "La trama del cosmo" . Nel cap 3 si parla del principio di Mach e della posizione di Einstein al riguardo. Poi a pag 92 ci sono varie indicazioni bibliografiche al punto 22, tra cui vari libri di Julian Barbour. Uno di questi esiste anche in Italiano : "LA fine del tempo" . È un libro che ho trovato un po' difficile. MA vale la pena. Poi c'è quello di M. Jammer : "Storia dl concetto di spazio" .
Punti 2 e 3 : d'accordo.
Per il punto 4, non so immaginare quali potrebbero essere queste "particolari condizioni" a cui fai cenno.
Punto 5 : non conosco l'articolo che hai citato, andrò a guardarlo.
Punto 6 : d'accordo.
Punto 7 : mi sembra un po' difficile definire coordinate globali ed estenderle a tutto lo spaziotempo. Come sai meglio di me, in RG la definizione di distanze ed intervalli di tempo non è proprio semplice. Hai provato a dare un'occhiata alle pagine di Landau-Lifshitz " Teoria dei campi" per quanto riguarda questo aspetto dl problema?
Sui punti seguenti non posso aiutarti. Faccio anche fatica a capire che cosa stai facendo!
Si, la metrica di Rindler porta ad un campo gravitazionale uniforme. Rindler considera una "accelerazione propria" costante, e riesce a trattare il moto iperbolico relativistico.
[Per inciso, è veramente strano che molti testi di Relativita Ristretta non parlino neppure della possibilità di trattare analiticamente moti uniformemente accelerati senza ricorrere alla RG, come nel caso dei gemelli]
Sulla metrica di Rindler ho trovato in rete una tesi di laurea :
http://amsdottorato.cib.unibo.it/1601/1 ... lerati.pdf
Non so se possa esserti utile. C'è il dettagliato calcolo dei coefficienti di connessione e l'equazione delle geodetiche, ma non so se questo possa adattarsi al tuo caso. Ma forse tu ne sai di più.
Ho appreso, per la prima volta, che Desloge è stato un precursore nello studio della metrica di un campo gravitazionale uniforme, che non è uniforme solo "localmente" ( cioè in un LIF) ma estesamente (non so se lo si considera in tutto lo spazio). Mi piacerebbe studiare questa metrica di Desloge!
Comunque, provo a dirti qualcosa, ma scusami se non sno in grado di approfondire :
Per il punto 1, ho trovato qualcosa in un libro divulgativo di Brian Greene : "La trama del cosmo" . Nel cap 3 si parla del principio di Mach e della posizione di Einstein al riguardo. Poi a pag 92 ci sono varie indicazioni bibliografiche al punto 22, tra cui vari libri di Julian Barbour. Uno di questi esiste anche in Italiano : "LA fine del tempo" . È un libro che ho trovato un po' difficile. MA vale la pena. Poi c'è quello di M. Jammer : "Storia dl concetto di spazio" .
Punti 2 e 3 : d'accordo.
Per il punto 4, non so immaginare quali potrebbero essere queste "particolari condizioni" a cui fai cenno.
Punto 5 : non conosco l'articolo che hai citato, andrò a guardarlo.
Punto 6 : d'accordo.
Punto 7 : mi sembra un po' difficile definire coordinate globali ed estenderle a tutto lo spaziotempo. Come sai meglio di me, in RG la definizione di distanze ed intervalli di tempo non è proprio semplice. Hai provato a dare un'occhiata alle pagine di Landau-Lifshitz " Teoria dei campi" per quanto riguarda questo aspetto dl problema?
Sui punti seguenti non posso aiutarti. Faccio anche fatica a capire che cosa stai facendo!
Si, la metrica di Rindler porta ad un campo gravitazionale uniforme. Rindler considera una "accelerazione propria" costante, e riesce a trattare il moto iperbolico relativistico.
[Per inciso, è veramente strano che molti testi di Relativita Ristretta non parlino neppure della possibilità di trattare analiticamente moti uniformemente accelerati senza ricorrere alla RG, come nel caso dei gemelli]
Sulla metrica di Rindler ho trovato in rete una tesi di laurea :
http://amsdottorato.cib.unibo.it/1601/1 ... lerati.pdf
Non so se possa esserti utile. C'è il dettagliato calcolo dei coefficienti di connessione e l'equazione delle geodetiche, ma non so se questo possa adattarsi al tuo caso. Ma forse tu ne sai di più.
Ho appreso, per la prima volta, che Desloge è stato un precursore nello studio della metrica di un campo gravitazionale uniforme, che non è uniforme solo "localmente" ( cioè in un LIF) ma estesamente (non so se lo si considera in tutto lo spazio). Mi piacerebbe studiare questa metrica di Desloge!
Grazie delle indicazioni!
Anch'io sono un dilettante, che oltretutto fatica a ripescare vecchi ricordi....
Riguarderò bene il Landau e la tesi che mi hai indicato che sembra interessante. Della metrica di Desloge non sapevo niente, ho trovato anche un suo articolo originale all'indirizzo:
www.montgomerycollege.edu/Departments/p ... ccelSR.pdf
e proverò a studiarla.
Per un po' ho da lavorare...Intanto vediamo se si fa vivo qualche esperto.
ciao
Anch'io sono un dilettante, che oltretutto fatica a ripescare vecchi ricordi....
Riguarderò bene il Landau e la tesi che mi hai indicato che sembra interessante. Della metrica di Desloge non sapevo niente, ho trovato anche un suo articolo originale all'indirizzo:
www.montgomerycollege.edu/Departments/p ... ccelSR.pdf
e proverò a studiarla.
Per un po' ho da lavorare...Intanto vediamo se si fa vivo qualche esperto.
ciao
Ho cercato di mettere un po' di ordine nelle ricerche fatte dandogli la forma di una specie di articolo.
Se qualcuno ha voglia di leggerlo e di farmi sapere se ci sono cose sbagliate (o magari discuterne l'impostazione) .... si trova all'indirizzo:
https://dl.dropboxusercontent.com/u/746 ... li%205.pdf
Se qualcuno ha voglia di leggerlo e di farmi sapere se ci sono cose sbagliate (o magari discuterne l'impostazione) .... si trova all'indirizzo:
https://dl.dropboxusercontent.com/u/746 ... li%205.pdf
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