Inerzia Cubo pieno d'acqua
Si consideri un cubo pieno d'acqua di lato $l = 0.3 m$. Calcolare il momento d’inerzia per la rotazione
rispetto ad uno dei suoi spigoli.
So che devo calcolare prima l'inerzia per l'asse che passa per il centro di massa e poi aggiungere Steiner, ma c'è quel "pieno d'acqua" che mi inganna. Dovrei prendere la densità dell'acqua giusto? Di che cosa faccio l'integrale?
rispetto ad uno dei suoi spigoli.
So che devo calcolare prima l'inerzia per l'asse che passa per il centro di massa e poi aggiungere Steiner, ma c'è quel "pieno d'acqua" che mi inganna. Dovrei prendere la densità dell'acqua giusto? Di che cosa faccio l'integrale?
Risposte
Il cubo è omogeneo, la densità è quella dell'acqua : $rho= 1000 (kg)/m^3$ . Quando il corpo dato è omogeneo , conviene calcolare dapprima il momento di inerzia di volume, lasciando fuori la densità, e alla fine moltiplicare il risultato per $rho$ , onde ottenere il momento di inerzia di massa .
Nel caso del cubo , prendi una terna cartesiana con origine nel CM , e assi $(x,y,z)$ paralleli agli spigoli . Supponi di voler calcolare il momento di inerzia di volume rispetto all'asse $z$ ; il piano $(x,y)$ è perpendicolare a $z$ . Il volume elementare :
$dV = dxdydz$
ha distanza : $r^2 = x^2 +y^2$ dall'asse $z$ , e naturalmente distanza $z$ dal piano coordinato $(x,y)$ . La coordinata $z$ varia da $-l/2$ a $+l/2$ . Analoghi sono gli intervalli di variazione delle coordinate $x$ e $y$ .
Il momento di inerzia di volume rispetto all'asse $z$ è dato da :
$I = \int_Vr^2dV = \int_(-l/2) ^(+l/2) dz \int\int_A (x^2 +y^2) dxdy $
spero di aver scritto bene l'integrale triplo, è un bel po' che non scrivo queste formule! . In esso, il dominio di integrazione piano A è il quadrato nel piano $(x,y)$ , intersezione del piano con le 4 facce laterali del cubo parallele a $z$.
Ma non occorre impegolarsi nel calcolo di integrali . Dato un quadrato di lato $l$ , e tracciati due assi $(x,y)$ baricentrici paralleli ai lati , si ha :
$I_x =I_y = 1/(12)l^3*l = l^4/(12)$
Essendo il quadrato un dominio piano , il momento di inerzia polare rispetto al centro , che è uguale al momento di inerzia rispetto all'asse $z$ perpendicolare al quadrato nel centro , è dato da :
$I_z = I_x +I_y = 2*l^4/(12) = l^4/6 $
Se ora moltiplichiamo per l'altezza del cubo , ancora uguale a $l$ , otteniamo il momento di inerzia di volume del cubo rispetto all'asse $z$ :
$I_z = l^5/6$
per ottenere il m.i. di massa , basta ora moltiplicare per la densità $rho = M/V = M/l^3 $ :
$I_(massa) =1/6 M/l^3 * l^5 = 1/6Ml^2 $
e questa formula si trova in tutti i manuali; tieni presente che il cubo è particolare: il m.i. rispetto a qualunque asse , pure inclinato , passante per il baricentro, è costante, ed ha il valore detto. Ora non ti resta che applicare Steiner , come hai detto . Il risultato finale che dovresti avere è scritto qui, seconda formula :
Nel caso del cubo , prendi una terna cartesiana con origine nel CM , e assi $(x,y,z)$ paralleli agli spigoli . Supponi di voler calcolare il momento di inerzia di volume rispetto all'asse $z$ ; il piano $(x,y)$ è perpendicolare a $z$ . Il volume elementare :
$dV = dxdydz$
ha distanza : $r^2 = x^2 +y^2$ dall'asse $z$ , e naturalmente distanza $z$ dal piano coordinato $(x,y)$ . La coordinata $z$ varia da $-l/2$ a $+l/2$ . Analoghi sono gli intervalli di variazione delle coordinate $x$ e $y$ .
Il momento di inerzia di volume rispetto all'asse $z$ è dato da :
$I = \int_Vr^2dV = \int_(-l/2) ^(+l/2) dz \int\int_A (x^2 +y^2) dxdy $
spero di aver scritto bene l'integrale triplo, è un bel po' che non scrivo queste formule! . In esso, il dominio di integrazione piano A è il quadrato nel piano $(x,y)$ , intersezione del piano con le 4 facce laterali del cubo parallele a $z$.
Ma non occorre impegolarsi nel calcolo di integrali . Dato un quadrato di lato $l$ , e tracciati due assi $(x,y)$ baricentrici paralleli ai lati , si ha :
$I_x =I_y = 1/(12)l^3*l = l^4/(12)$
Essendo il quadrato un dominio piano , il momento di inerzia polare rispetto al centro , che è uguale al momento di inerzia rispetto all'asse $z$ perpendicolare al quadrato nel centro , è dato da :
$I_z = I_x +I_y = 2*l^4/(12) = l^4/6 $
Se ora moltiplichiamo per l'altezza del cubo , ancora uguale a $l$ , otteniamo il momento di inerzia di volume del cubo rispetto all'asse $z$ :
$I_z = l^5/6$
per ottenere il m.i. di massa , basta ora moltiplicare per la densità $rho = M/V = M/l^3 $ :
$I_(massa) =1/6 M/l^3 * l^5 = 1/6Ml^2 $
e questa formula si trova in tutti i manuali; tieni presente che il cubo è particolare: il m.i. rispetto a qualunque asse , pure inclinato , passante per il baricentro, è costante, ed ha il valore detto. Ora non ti resta che applicare Steiner , come hai detto . Il risultato finale che dovresti avere è scritto qui, seconda formula :
Posso vedere i passaggi per arrivare a $2/3ml^2$ ?
Grazie.
Grazie.
Applica il teorema di Steiner . LA distanza tra lo spigolo e l'asse baricentrico parallelo vale : $ d = sqrt2/2l$ .
Quindi : $I_s = 1/6Ml^2 + Ml^2/2 = 2/3 Ml^2$
Quindi : $I_s = 1/6Ml^2 + Ml^2/2 = 2/3 Ml^2$
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