Induzione magnetica in un condensatore

[cicciero]

Salve ed eccomi di nuovo con un altro problemuccio dove penso ci vada qualche equazione di maxwell ma questo argomento mi è proprio ostile..
viene applicata una d.d.t. tra le armature di un condesatore a facce piane e parallele di forma circolare e distanti d.
Calcolare l'induzione magnetica B che si stabilisce internamente al condensatore a distanza r dal suo asse di simmetria.
V(t)= Vo+sen(wt)
Grazie anticipatamente

[elgiovo]

Calcoliamo dapprima il campo $vecE$ (che si suppone uniforme) all'interno del condensatore:
come superficie di Gauss va bene un cilindro di raggio $r$ con l'asse sovrapposto a quello del
condensatore e con una base al di fuori ed una dentro di esso. Dunque, per il teorema di Gauss,
si può scrivere $int_(Sigma) vecE cdot dSigma=Q_(mbox(int))/varepsilon_0$, da cui $Epir^2= Q_(mbox(int))/varepsilon_0$. Per trovare $Q_(mbox(int))$, usiamo la legge del
condensatore: $C=Q/V$. Poichè $C=varepsilon_0 Sigma/d=varepsilon_0 (pi r^2)/d$, si ha che $Q=(pir^2 varepsilon_0 V)/d$, da cui $E=V/d$.
Ora, la quarta equazione di Maxwell, scritta in forma integrale, è $oint_C vecBcdot d vecC=mu_0varepsilon_0 d/(dt) int_(Sigma_C) vec E cdot hat n d Sigma$
dal momento che il termine "amperiano" $mu_0 I$ è nullo (in un condensatore non c'è corrente).
Il campo magnetico (o induzione magnetica) $vecB$ sarà costante su delle circonferenze di raggio $r$
centrate sull'asse del condensatore, dunque si può scrivere $B 2pir=mu_0varepsilon_0 d/(dt) int_Sigma (V(t))/d d Sigma$,
nonchè $B2pir=mu_0varepsilon_0 (dV(t))/(dt) (pir^2)/d$, da cui $B=(mu_0 varepsilon_0 (dV(t))/(dt) r)/(2d)=mu_0 varepsilon_0(romega cos(omega t))/(2d)$.