Induzione elettrostatica

[gokusajan1]

Buongiorno a tutti, mi stavo chiedendo il motivo per cui, quando si è di fronte ad un caso di induzione completa (come due sfere concentriche [la prima di raggio $R_1$e la seconda$R_2=R_3$ si ha un flusso diverso da zero e dovuto alle cariche positive indotte distribuite su $R_3$.
Per capire meglio il dubbio: quando noi siamo di fronte a due lastre conduttrici indefinite cariche, con cariche uguali, ma di segni opposti si ha che nello spazio compreso fra le due vale il principio di sovrapposizione dei campi $E(x_1x_2)=0$, mentre questo non avviene nel caso di induzione completa. Non è difficile spiegare il motivo: l'induzione fa in modo che le cariche indotte ,di segno opposto alle cariche inducenti, si distribuiscano sulla parete interna del conduttore di modo che, assieme alle cariche positive della parete esterna diano, per il principio di sovrapposizione, campo nullo nel conduttore al fine di rendere la situazione "statica" (come se nel conduttore esterno, tra $R_2=R_3$ che non è nullo ma gli viene attribuito un campo che decresce come $1/r^2$. Da qui sorge la mia domanda: come è possibile che le cariche elettriche negative sulla superficie interna non diano alcun contributo al campo mentre quelle esterne agiscono in totale libertà? Io ho pensato che il campo all'esterno cominci ad agire solo quando colleghiamo con un filo la sfera interna con la superficie interna della seconda, in modo tale che le cariche negative su $R_2$ neutralizzandosi con quelle interne di $R_1$ non annullano più l'effetto del campo delle cariche positive poste sulla superficie esterna $R_3$!
Spero sia chiaro quanto detto. Grazie per l'attenzione.

[gokusajan1]

Aggiungo inoltre che forse l'esempio di induzione completa fra due conduttori sferici concentrici non è il caso migliore da cui partire per esporre il mio dubbio perché mi si potrebbe contestare il fatto che la non influenza delle cariche negative (indotte) è dovuto alla simmetria sferica, infatti in ogni punto interno di una sfera il campo dovuto alle cariche superficiali è nullo, il che conferma la legge di Coulomb: la forza fra due cariche è inversamente proporzionale al quadrato della distanza (quindi il flusso dipende solo dall'angolo solido). Ma come si estende il ragionamento al caso di un condensatore con armature piane?

[anonymous_0b37e9]

Se posso darti un consiglio, dovresti esporre le tue considerazioni in modo più comprensibile. Per esempio:

"Boomerang":
... la forza fra due cariche è inversamente proporzionale al quadrato della distanza (quindi dipende solo dall'angolo solido) ...

A rigore, il soggetto dell'implicazione tra parentesi deve essere considerata la forza. Ergo, stai sostenendo che la forza dipende solo dall'angolo solido, tesi evidentemente falsa. Molto probabilmente intendevi il flusso del campo elettrico. Ad ogni modo, anche il tuo primo messaggio è di difficile comprensione. Insomma, se ho ben compreso, sostieni che il modulo del campo elettrico all'interno della cavità sia costante. Invece, ha una dipendenza quadratica inversa dalla distanza dal centro del sistema.

[gokusajan1]

Avevo evidentemente tralasciato il soggetto.
Ad ogni modo il mio dubbio si riferisce al fatto che se io ho due lastre indefinite, la prima delle quali, essendo carica, induce una carica uguale ed opposta sull'altra, perché i campi nello spazio libero non si sommano (cosa che io ho espresso con: perché le cariche negative non danno alcun contributo al campo preesistente)? E dunque: perché le cariche negative indotte non generano un campo nella cavità, sebbene lo generino all'interno del conduttore per annullare il campo inducente?

[anonymous_0b37e9]

Stai parlando del caso in cui tu abbia delle lastre piane? Nel tuo primo messaggio, applicando il principio di sovrapposizione, hai ricavato un campo doppio rispetto alla lastra singola. Sempre che tu, con $[\sigma_-]$, non stia indicando una quantità negativa. In questo caso: $[E=\sigma_+/(2\epsilon_0)-\sigma_-/(2\epsilon_0)]$. Ad ogni modo, indipendentemente dal formalismo utilizzato, i campi, avendo lo stesso verso, si sommano e danno un campo risultante doppio diretto dall'armatura positiva a quella negativa.

P.S.
Se, giustamente, vuoi considerare il sistema senza trascurare lo spessore delle due lastre, è necessario argomentare in modo un po' più sottile. Ho capito bene?

[gokusajan1]

esatto @anonymous_0b37e9 hai colto il segno. Il caso del campo doppio però lo si ha quando su entrambe c'è un eccesso di carica (rispetto alla loro condizione neutra): l'una con eccesso di carica positiva e l' altra con un eccesso di carica negativa e $E_++E_(-)=2E=sigma/epsi_0$. Nel caso dell' induzione invece la prima ha un eccesso di carica positiva ma la seconda rimane neutra, sebbene vi sia una separazione di cariche sulle due facce. Allora perché la carica indotta negativa non da contributo nello spazio libero tra le due lastre (cioè non si somma al campo inducente) sebbene essa generi un campo che però agisce solo all'interno della superficie per annullare il campo indotto? E perché la carica positiva indotta che si porta sull'altra estremità della seconda lastra genera invece un campo esterno?
Scusami @anonymous_0b37e9 se non riesco ad essere più chiaro. Ti prego però di aiutarmi a capire, con un "pò" di pazienza...

[anonymous_0b37e9]

Ok. Appena possibile ti scrivo alcune considerazioni a proposito.

[gokusajan1]

Ti ringrazio!

[anonymous_0b37e9]

Considera la figura sottostante:




Caso 1. La lastra di sinistra possiede una carica $Q gt 0$ e la lastra di destra è neutra. Indicando con $Q_1 gt= 0$, $Q_2 gt= 0$, $Q_3 lt= 0$ e $Q_4 gt= 0$ le cariche superficiali delle quattro facce, si possono scrivere le quattro equazioni seguenti:

1. $Q_1+Q_2=Q$

2. $Q_3+Q_4=0$

3. $Q_1-Q_2-Q_3-Q_4=0$ (ricavata imponendo che il campo sia nullo all'interno della lastra di sinistra)

4. $Q_1+Q_2+Q_3-Q_4=0$ (ricavata imponendo che il campo sia nullo all'interno della lastra di destra)

Risolvendo il sistema, $Q_1=Q/2$, $Q_2=Q/2$, $Q_3=-Q/2$ e $Q_4=Q/2$. A questo punto, puoi ricavare il modulo del campo elettrico nelle tre regioni non occupate dalle lastre non solo, molto elegantemente, utilizzando il teorema di Coulomb, $[E=sigma/\epsilon_0=Q/(2Aepsilon_0)] ^^ [sigma gt 0]$, ma anche sovrapponendo i campi generati dalle quattro distribuzioni piane, sommando i quattro contributi da sinistra verso destra:

$E=sigma/(2\epsilon_0)+sigma/(2\epsilon_0)-sigma/(2\epsilon_0)+sigma/(2\epsilon_0)=sigma/\epsilon_0=Q/(2Aepsilon_0)$ (nella regione a sinistra)

$E=sigma/(2\epsilon_0)+sigma/(2\epsilon_0)+sigma/(2\epsilon_0)-sigma/(2\epsilon_0)=sigma/\epsilon_0=Q/(2Aepsilon_0)$ (nella regione al centro)

$E=sigma/(2\epsilon_0)+sigma/(2\epsilon_0)-sigma/(2\epsilon_0)+sigma/(2\epsilon_0)=sigma/\epsilon_0=Q/(2Aepsilon_0)$ (nella regione a destra)


Caso 2. La lastra di sinistra possiede una carica $Q gt 0$ e la lastra di destra una carica $-Q lt 0$. Indicando con $Q_1 gt= 0$, $Q_2 gt= 0$, $Q_3 lt= 0$ e $Q_4 lt= 0$ le cariche superficiali delle quattro facce, si possono scrivere le quattro equazioni seguenti:

1. $Q_1+Q_2=Q$

2. $Q_3+Q_4=-Q$

3. $Q_1-Q_2-Q_3-Q_4=0$ (ricavata imponendo che il campo sia nullo all'interno della lastra di sinistra)

4. $Q_1+Q_2+Q_3-Q_4=0$ (ricavata imponendo che il campo sia nullo all'interno della lastra di destra)

Risolvendo il sistema, $Q_1=0$, $Q_2=Q$, $Q_3=-Q$ e $Q_4=0$. Come nel caso precedente, puoi ricavare il modulo del campo elettrico nelle tre regioni non occupate dalle lastre utilizzando il teorema di Coulomb oppure sovrapponendo i campi generati dalle quattro distribuzioni piane:

$E=0$ (nella regione a sinistra)

$E=0+sigma/(2\epsilon_0)+sigma/(2\epsilon_0)+0=sigma/\epsilon_0=Q/(A\epsilon_0)$ (nella regione al centro)

$E=0$ (nella regione a destra)

"Boomerang":
... perché la carica indotta negativa non dà contributo nello spazio libero tra le due lastre (cioè non si somma al campo inducente) sebbene essa generi un campo che però agisce solo all'interno della superficie per annullare il campo indotto? E perché la carica positiva indotta che si porta sull'altra estremità della seconda lastra genera invece un campo esterno?

Insomma, nel calcolare il campo elettrico è necessario considerare, ovunque, tutte le distribuzioni superficiali.

[gokusajan1]

Non so proprio come ringraziarti S.Elias, mi hai tolto un dubbio che mi stava ammorbando.
Una spiegazione impeccabile.
Ne deduco quindi che la sovrapposizione dei campi nel caso dell'induzione ha come effetto quello di dare campi nulli nelle regioni interne ai conduttori e invariato nelle zone a spazio vuoto!
Avevo completamente dimenticato di sovrapporre tutti i campi in ogni regione (con il loro segno) e non riuscivo ad ottenere il risultato che tu, in maniera chiara e semplice, hai trovato. Hai tutta la mia stima, per quel che vale

[anonymous_0b37e9]

"Boomerang":
... la sovrapposizione dei campi nel caso dell'induzione ha come effetto quello di dare campi nulli nelle regioni interne ai conduttori ...

Su questo concordo pienamente.

"Boomerang":
... e invariato nelle zone a spazio vuoto ...

Immagino che tu ti stia riferendo al primo caso. Tuttavia, si tratta di un caso piuttosto particolare. Basta considerare il caso di una carica puntiforme positiva posta a una certa distanza da un piano conduttore neutro (risolvibile con il metodo delle immagini):



P.S.
Grazie per l'apprezzamento.

[gokusajan1]

Ho da farti un' ultima domanda (perdonami se continuo a interpellarti, prometto che è l'ultima ): il campo ellettrostatico nella regione di sinistra non dovrebbe essere negativo?
Inoltre ho provato a risolvere un' altra situazione utilizzando le tue linee guida: se ho tre lastre conduttrici di cui: la prima carica con $Q_+=Q_1+Q_2$, la seconda (posta nel mezzo) neutra $Q_3+Q_4=0$ e la terza carica con $Q_(-)=-Q_+=Q_5+Q_6$,${Q_1,Q_2}>0,Q_3<0,Q_4>0,{Q_5,Q_6}<0$ ho il seguente sistema lineare di 6 equazioni in 4 incognite(le prime tre sono gia scritte):
4)$Q_1-Q_2-Q_3-Q_4-Q_5-Q_6=0$
5)$Q_1+Q_2+Q_3-Q_4-Q_5-Q_6=0$
6)$Q_1+Q_2+Q_3+Q_4+Q_5-Q_6=0$
che risolte mi danno come risultato:
$Q_1=Q_6=0$,$Q_+=Q_2=-Q_5=-Q_-$,$Q_3=-Q_2=-Q_4$
E concluderei dicendo che il caso appena trattato si riconduce all'unione dei tuoi due casi precedenti.

[anonymous_0b37e9]

"Boomerang":
... il campo elettrostatico nella regione di sinistra non dovrebbe essere negativo?

Se ti riferisci al primo caso, in cui il campo elettrico è diverso da zero, esso è diretto verso sinistra. Ad ogni modo, per quanto riguarda le soluzioni relative al campo elettrico, mi sono sempre limitato al modulo. Il verso è semplicemente dettato dal segno della carica presente sulla superficie adiacente alle diverse regioni (possono essere anche due).

"Boomerang":
Inoltre ho provato a risolvere un'altra situazione ... concluderei dicendo che il caso appena trattato si riconduce all'unione dei tuoi due casi precedenti.

I conti sono corretti. Non so che cosa tu intenda per unione dei due casi precedenti, tuttavia, non credo valga la pena formalizzarlo.

[gokusajan1]

Con unione intendo che la situazione puo' essere vista come due condensatori messi in serie. Inoltre e' quest'ultimo il caso di induzione in cui, immettendo una lastra fra due conduttori carichi, le cariche indotte si dospongono in modo da lasciare invariato il campo nello spazio vuoto e renderlo nullo nelle zone doccupate dalle lastre.