Induzione elettromagnetica
Ciao a tutti. Ho il seguente problema da proporvi.
Una spira rettangolare di lati a (orizzontale) e h (verticale), è posta a distanza b=a da un filo verticale molto lungo, percorso da una corrente che varia nel tempo con legge i = k t ed è complanare ad esso. Calcolare la f.e.m. indotta nella spira.
Risultato corretto: f.e.m. = - µo h k ln 2 /(2π)
Ho svolto l'esercizio ragionando in questo modo...
Il filo e la spira stanno sullo stesso piano. La corrente nel filo scorre verso l'alto.
Ho ipotizzato che la distanza filo/centro spira sia quella indicata nel testo (b=a).
L'intensità del campo al centro della spira e prodotto dalla corrente che scorre nel filo è B=µo*i/2π*a (1).
Quindi sapendo che la F.e.m indotta nella spira è pari alla variazione di flusso del campo magnetico FB, ho calcolato questo flusso in questo modo:
FB= (integrale del campo magnetico B attraverso la superficie della spira (superficie piana e chiusa))= B*(a*h)*cos(ALPHA)
Dal momento che ho supposto che la normale alla superficie della spira sia parallela al vettore campo magnetico B al centro della spira, ho ottenuto la seguente espressione per il flusso: FB= B*(a*h).
sostituendo l'espressione (1) ottengo -> FB= µo*i*h/2π
F.e.m indotta nella spira = - d(FB)/dt =- d(µo*i*h/2π)/dt....la corrente è i=k*t .
quindi io ottengo F.e.m =- µo*k*h/2π
Come mai nel risultato che dà l'esercizio compare un logaritmo naturale???
Vorrei capire cosa sbaglio...grazie mille
Una spira rettangolare di lati a (orizzontale) e h (verticale), è posta a distanza b=a da un filo verticale molto lungo, percorso da una corrente che varia nel tempo con legge i = k t ed è complanare ad esso. Calcolare la f.e.m. indotta nella spira.
Risultato corretto: f.e.m. = - µo h k ln 2 /(2π)
Ho svolto l'esercizio ragionando in questo modo...
Il filo e la spira stanno sullo stesso piano. La corrente nel filo scorre verso l'alto.
Ho ipotizzato che la distanza filo/centro spira sia quella indicata nel testo (b=a).
L'intensità del campo al centro della spira e prodotto dalla corrente che scorre nel filo è B=µo*i/2π*a (1).
Quindi sapendo che la F.e.m indotta nella spira è pari alla variazione di flusso del campo magnetico FB, ho calcolato questo flusso in questo modo:
FB= (integrale del campo magnetico B attraverso la superficie della spira (superficie piana e chiusa))= B*(a*h)*cos(ALPHA)
Dal momento che ho supposto che la normale alla superficie della spira sia parallela al vettore campo magnetico B al centro della spira, ho ottenuto la seguente espressione per il flusso: FB= B*(a*h).
sostituendo l'espressione (1) ottengo -> FB= µo*i*h/2π
F.e.m indotta nella spira = - d(FB)/dt =- d(µo*i*h/2π)/dt....la corrente è i=k*t .
quindi io ottengo F.e.m =- µo*k*h/2π
Come mai nel risultato che dà l'esercizio compare un logaritmo naturale???
Vorrei capire cosa sbaglio...grazie mille
Risposte
L'errore sta nel fatto che tu consideri il campo magnetico come se fosse uguale in tutti i punti della superficie della spira. $B$ invece varia al variare della distanza dal filo, e quindi varia se ti sposti parallelamente al lato orizzontale della spira (mentre è costante se ti muovi parallelamente al lato verticale della spira). Ne segue che il flusso lo devi calcolare sommando i flussi su delle strisce verticali (di larghezza infinitesima...) in cui idealmente dividi la superficie della spira. Su ciascuna di queste strisce, puoi considerare $B$ come costante. Tieni presente inoltre che il testo va inteso nel senso che $b$ è la distanza del filo dal lato più vicino della spira, e non dal centro della spira.
Chiamiamo $r$ la distanza dal filo. Il campo magnetico vale:
\(\displaystyle B(r)= \frac{\mu_0 i}{2\pi r}\)
Il flusso infinitesimo $\Phi_{dS}(B)$ del campo magnetico attraverso una striscia verticale di larghezza $dr$ ed altezza $h$ (e quindi di superficie $dS=hdr$) è
\(\displaystyle \Phi_{dS}(B)=BdS=\frac{\mu_0 i}{2\pi r} hdr \)
Il flusso totale è allora:
\(\displaystyle \Phi_{S}(B)=\int \Phi_{dS}(B)=\int_b^{2b} B(r)dS=\int_b^{2b}\frac{\mu_0 i}{2\pi r} hdr =\frac{\mu_0 ih}{2\pi } \int_b^{2b}\frac{dr}{r}dr =\frac{\mu_0 ih}{2\pi }\ln 2\)
Poi derivi come hai fatto.
Chiamiamo $r$ la distanza dal filo. Il campo magnetico vale:
\(\displaystyle B(r)= \frac{\mu_0 i}{2\pi r}\)
Il flusso infinitesimo $\Phi_{dS}(B)$ del campo magnetico attraverso una striscia verticale di larghezza $dr$ ed altezza $h$ (e quindi di superficie $dS=hdr$) è
\(\displaystyle \Phi_{dS}(B)=BdS=\frac{\mu_0 i}{2\pi r} hdr \)
Il flusso totale è allora:
\(\displaystyle \Phi_{S}(B)=\int \Phi_{dS}(B)=\int_b^{2b} B(r)dS=\int_b^{2b}\frac{\mu_0 i}{2\pi r} hdr =\frac{\mu_0 ih}{2\pi } \int_b^{2b}\frac{dr}{r}dr =\frac{\mu_0 ih}{2\pi }\ln 2\)
Poi derivi come hai fatto.
"mathbells":
Ne segue che il flusso lo devi calcolare sommando i flussi su delle strisce verticali (di larghezza infinitesima...) in cui idealmente dividi la superficie della spira.
Non mi è chiaro perché chiami dr la base delle strisce verticali. Il motivo è perchè si varia la distanza r tra filo e lato più vicino della spira? Mi potresti dire come fanno rappresentati graficamente la spira e il filo?
Il flusso totale è allora:
\(\displaystyle \Phi_{S}(B)=\int \Phi_{dS}(B)=\int_b^{2b} B(r)dS=\int_b^{2b}\frac{\mu_0 i}{2\pi r} hdr =\frac{\mu_0 ih}{2\pi } \int_b^{2b}\frac{dr}{r}dr =\frac{\mu_0 ih}{2\pi }\ln 2\)
mi è tutto chiaro sino al penultimo passaggio dove sono presenti due termini dr dentro l'integrale. Come mai? Dovrebbe essere 1/r dr che integrato da log(r) ???????
Grazie in anticipo per la pazienza...
"Martinaina":
Non mi è chiaro perché chiami dr la base delle strisce verticali. Il motivo è perchè si varia la distanza r tra filo e lato più vicino della spira?
Il motivo è che, al variare della striscia che stiamo considerando, varia la distanza tra filo e striscia: tale distanza varia da un minimo di $r=b=a$ ad un massimo di $r=b+a=2b$.
"Martinaina":
mi è tutto chiaro sino al penultimo passaggio dove sono presenti due termini dr dentro l'integrale
....scusa..è un errore di "stampa"
"Martinaina":
Mi potresti dire come fanno rappresentati graficamente la spira e il filo?
Perfetto 
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