Induzione 2 problemi......
Ciao raga posto 2 problemi di cui uno ho già provato a darne la soluzione e vorrei che qualcuno ci desse una guardata per dirmi cosa ne pensa;
del secondo farò alcune considerazioni poi nel pomeriggio proverò a risolverlo e posterò una mia ipotesi di soluzione....vi prego anche del secondo di dare una
guardata alle considerazioni che faccio per vedere se dico delle castronerie oppure approssimazioni corrette...
1) Un filo rettilineo è percorso da una corrente continua di 10 A. Esso giace nello stesso piano di una spira rettangolare di rame (a=10cm,b=5cm,sezione filo S=5mm^2),che si muove in direzione ortogonale al filo con velocità costante v=20 m/s in modo da tenere il lato b costantemente parallelo al filo stesso. Si calcoli:
a) la corrente indotta nella spira quando il suo lato più vicino al filo si trova ad una distanza d=5cm dal filo.
b) la forza che bisogna esercitare sulla spira per farla avanzare con velocità costante verso il filo
(si consideri la spira indeformabile; $rho=1.67*10^-8$ ohm m)
Evidentemente la simmetria del problema ci dice che il campo magnetico è ortogonale alla spira ed è costante sui lati corti (ma di modulo diverso):
si ha $vecB(vecr)=(\mu_0*i)/(2\pir)$ mentre per il calcolo della fem indotta $f_i = \int_L (vecv ^^ vecB) vec(dl)$ dove L è la linea del filo della spira
ora i due lati ortogonali al filo si elidono mentre rimane il calcolo dei lati paralleli al filo:$f_i = \int_(l1) (vecv ^^ vecB(d)) vec(dl) - \int_(l2) (vecv ^^ vecB(d+a)) vec(dl)$
sviluppando l'integrale si ottiene : $f_i=(vb\mu_0i)/(2\pi)(a/(d(d+a)))=27\muV$
Dobbiamo ancora calcolare la resistenza del filo ma per quella utilizziamo la seconda legge di ohm :$R=rhoL/S= 10^-3ohm$
Si ottiene I=27mA dalla prima legge di ohm (sapete come si scrive ohm in ASCImathML??? non l'ho trovato)
2)Un solenoide lungo e sottile di raggio b=5cm ha n=5spire/mm ed è percorso da una corrente che cresce nel tempo come i(t)=kt (k=0.001 A/s) fino al tempo t0 =1000 s e resta poi costante. Si calcoli all'istante t* = 600 s:
a) il valore del campo elettrico alle distanze r1=2cm e r2 = 8cm dall'asse del solenoide;
b)l'energia magnetica contenuta in un volume cilindrico coassiale di raggio b e lunghezza 50 cm
Quando la corrente è costante, un piccola spira piana quadrata di lato a=1cm e resistenza R=100 ohm viene portata da una grandce distanza fino dentro al solenoide fermandosi con il proprio asse parallelo all'asse del soleniode.
c) si calcoli la carica totale che fluisce nella spira durante questo movimento.
Faccio alcune considerazioni ed oggi pomeriggio spero di postare una mia ipotesi di soluzione corretta......
innanzitutto il testo specifica un solenoide "lungo e sottile" pertanto a mio avviso è ipotizzabile considerare direzione e verso costante del campo magnetico all'interno della bobina e circa nullo al suo esterno .....credo che le linee di campo debbano richiudersi su archi ellittici molto ampi quindi mi sembra coerente considerare B=0 subito fuori dal solenoide.
Per il punto a si sa che la fem indotta (quindi il campo elettrico) eguaglia la variazione di flusso del campo magnetico sulla stessa linea di circuitazione di E
$(-d(\phi(vecB)))/(dt) = \int_l vecE vec(dl)$ dove $\phi(vecB)$ indica il flusso del campo magnetico sulla superficie che ha come linea di contorno l
da cui si dovrebbe ricavare E all'interno del solenoide .... mentre all'esterno non dovrebbe esserci in buona approssimazione campo elettrico ma su questo punto spero di avere conferme da qualcuno...... forse per valori di r molto distanti dal solenoide si potrebbe ipotizzare di sostituire il tutto con un dipolo magnetico ed una funzione potenziale che descriva il campo ......ma non credo sia questo il caso richiesto dal problema
Per il punto b direi $U_h= 1/2B^2/\mu \tau$ visto e considerato il campo magnetico all'interno del solenoide costante cosa niente affatto scontata..... mentre tau indica il volume ove B è costante
infine per il puno c direi che si può utilizare la legge di felici.........oggi pom spero di riuscire a postare una soluzione ma voi che ne dite delle approssimazioni fatte sul punto a del problema 2 ed il primo problema vi sembra svolto correttamente?
un'ultima cosa non ho travato nella guida come si scrive l'integrale di circuitazione col simbolo circoletto....qualcuno sa come si fa???
molte molte grazie
del secondo farò alcune considerazioni poi nel pomeriggio proverò a risolverlo e posterò una mia ipotesi di soluzione....vi prego anche del secondo di dare una
guardata alle considerazioni che faccio per vedere se dico delle castronerie oppure approssimazioni corrette...
1) Un filo rettilineo è percorso da una corrente continua di 10 A. Esso giace nello stesso piano di una spira rettangolare di rame (a=10cm,b=5cm,sezione filo S=5mm^2),che si muove in direzione ortogonale al filo con velocità costante v=20 m/s in modo da tenere il lato b costantemente parallelo al filo stesso. Si calcoli:
a) la corrente indotta nella spira quando il suo lato più vicino al filo si trova ad una distanza d=5cm dal filo.
b) la forza che bisogna esercitare sulla spira per farla avanzare con velocità costante verso il filo
(si consideri la spira indeformabile; $rho=1.67*10^-8$ ohm m)
Evidentemente la simmetria del problema ci dice che il campo magnetico è ortogonale alla spira ed è costante sui lati corti (ma di modulo diverso):
si ha $vecB(vecr)=(\mu_0*i)/(2\pir)$ mentre per il calcolo della fem indotta $f_i = \int_L (vecv ^^ vecB) vec(dl)$ dove L è la linea del filo della spira
ora i due lati ortogonali al filo si elidono mentre rimane il calcolo dei lati paralleli al filo:$f_i = \int_(l1) (vecv ^^ vecB(d)) vec(dl) - \int_(l2) (vecv ^^ vecB(d+a)) vec(dl)$
sviluppando l'integrale si ottiene : $f_i=(vb\mu_0i)/(2\pi)(a/(d(d+a)))=27\muV$
Dobbiamo ancora calcolare la resistenza del filo ma per quella utilizziamo la seconda legge di ohm :$R=rhoL/S= 10^-3ohm$
Si ottiene I=27mA dalla prima legge di ohm (sapete come si scrive ohm in ASCImathML??? non l'ho trovato)
2)Un solenoide lungo e sottile di raggio b=5cm ha n=5spire/mm ed è percorso da una corrente che cresce nel tempo come i(t)=kt (k=0.001 A/s) fino al tempo t0 =1000 s e resta poi costante. Si calcoli all'istante t* = 600 s:
a) il valore del campo elettrico alle distanze r1=2cm e r2 = 8cm dall'asse del solenoide;
b)l'energia magnetica contenuta in un volume cilindrico coassiale di raggio b e lunghezza 50 cm
Quando la corrente è costante, un piccola spira piana quadrata di lato a=1cm e resistenza R=100 ohm viene portata da una grandce distanza fino dentro al solenoide fermandosi con il proprio asse parallelo all'asse del soleniode.
c) si calcoli la carica totale che fluisce nella spira durante questo movimento.
Faccio alcune considerazioni ed oggi pomeriggio spero di postare una mia ipotesi di soluzione corretta......
innanzitutto il testo specifica un solenoide "lungo e sottile" pertanto a mio avviso è ipotizzabile considerare direzione e verso costante del campo magnetico all'interno della bobina e circa nullo al suo esterno .....credo che le linee di campo debbano richiudersi su archi ellittici molto ampi quindi mi sembra coerente considerare B=0 subito fuori dal solenoide.
Per il punto a si sa che la fem indotta (quindi il campo elettrico) eguaglia la variazione di flusso del campo magnetico sulla stessa linea di circuitazione di E
$(-d(\phi(vecB)))/(dt) = \int_l vecE vec(dl)$ dove $\phi(vecB)$ indica il flusso del campo magnetico sulla superficie che ha come linea di contorno l
da cui si dovrebbe ricavare E all'interno del solenoide .... mentre all'esterno non dovrebbe esserci in buona approssimazione campo elettrico ma su questo punto spero di avere conferme da qualcuno...... forse per valori di r molto distanti dal solenoide si potrebbe ipotizzare di sostituire il tutto con un dipolo magnetico ed una funzione potenziale che descriva il campo ......ma non credo sia questo il caso richiesto dal problema
Per il punto b direi $U_h= 1/2B^2/\mu \tau$ visto e considerato il campo magnetico all'interno del solenoide costante cosa niente affatto scontata..... mentre tau indica il volume ove B è costante
infine per il puno c direi che si può utilizare la legge di felici.........oggi pom spero di riuscire a postare una soluzione ma voi che ne dite delle approssimazioni fatte sul punto a del problema 2 ed il primo problema vi sembra svolto correttamente?
un'ultima cosa non ho travato nella guida come si scrive l'integrale di circuitazione col simbolo circoletto....qualcuno sa come si fa???
molte molte grazie
Risposte
posto la soluzione del secondo problema :
Come detto $-d/dt \int_S vecB vecn dS = \int_l vecE vec(dl)$ dove l è la linea di contorno di S che è una circonferenza con centro sull'asse del solenoide.
$B=\mu_oi(t)n=\mu_oktn$ allora possiamo scrivere $ -r^2\pi\mu_0kn=E2\pir$ data la simmetria del problema E è sempre tangente alla linea l quindi l'integrale è facile, mentre $vecn$ è il versore normale al piano di S ma in questo caso poichè B è ortogonale al piano è sempre parallelo a $vecn$.
Si ottiene $ E(r)=-r/2\mu_0kn$ per (0
punto b)
Il volume è un cilindro di base $r^2\pi$ e lunghezza d coassiale al solenoide quindi all'interno di questo volume B è costante in modulo in direzione e verso.
$U_h = 1/2 B^2/\mu_0 * \tau$ dove tau è il volume del cilindro. A me viene 22 mJ $U_h = 1/2\mu_0k^2(t^*)^2n^2r^2\pid$
punto c)
Ho supposto che per asse della spira si intendesse l'asse del rappresentativo dipolo magnetico che è ortogonale al piano della spira e passa per il suo centro.
$q=1/R(\phi_1-\phi_2)$ dove le due $\phi$ indicano lo stato iniziale e lo stato finale del flusso passante per la spira. La condizione iniziale è che la spira parta da molto lontano, quindi è ipotizzabile che il campo sia zero.....almeno penso mentre nell'istante finale ha il suo asse parallelo con quello del campo B quindi il flusso è massimo. Si ottiene 6.28 nC con corrente 1A (a regime).
Mi controllereste se ho sbagliato qualcosa???? GRAZIEEEEEEE
Come detto $-d/dt \int_S vecB vecn dS = \int_l vecE vec(dl)$ dove l è la linea di contorno di S che è una circonferenza con centro sull'asse del solenoide.
$B=\mu_oi(t)n=\mu_oktn$ allora possiamo scrivere $ -r^2\pi\mu_0kn=E2\pir$ data la simmetria del problema E è sempre tangente alla linea l quindi l'integrale è facile, mentre $vecn$ è il versore normale al piano di S ma in questo caso poichè B è ortogonale al piano è sempre parallelo a $vecn$.
Si ottiene $ E(r)=-r/2\mu_0kn$ per (0
punto b)
Il volume è un cilindro di base $r^2\pi$ e lunghezza d coassiale al solenoide quindi all'interno di questo volume B è costante in modulo in direzione e verso.
$U_h = 1/2 B^2/\mu_0 * \tau$ dove tau è il volume del cilindro. A me viene 22 mJ $U_h = 1/2\mu_0k^2(t^*)^2n^2r^2\pid$
punto c)
Ho supposto che per asse della spira si intendesse l'asse del rappresentativo dipolo magnetico che è ortogonale al piano della spira e passa per il suo centro.
$q=1/R(\phi_1-\phi_2)$ dove le due $\phi$ indicano lo stato iniziale e lo stato finale del flusso passante per la spira. La condizione iniziale è che la spira parta da molto lontano, quindi è ipotizzabile che il campo sia zero.....almeno penso mentre nell'istante finale ha il suo asse parallelo con quello del campo B quindi il flusso è massimo. Si ottiene 6.28 nC con corrente 1A (a regime).
Mi controllereste se ho sbagliato qualcosa???? GRAZIEEEEEEE
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