Induttanza conduttore cilindrico percorso da corrente
Dato un conduttore cilindrico di raggio dato $a$ e lunghezza $h$ ,percorso da un'intensità $i$ uniformemente definito sulla sezione(circolare), calcolare l'induttanza del conduttore.
Per risolvere questo problema ovvero determinare l'induttanza di un conduttore cilindrico(circuito $RL$, in cui la resistività non serve per il calcolo) ho utilizzato la via "energetica" ricavandomi l'induttanza.
Per fare ciò ho calcolato usando Ampere il campo magnetico interno al conduttore in base al raggio di circuitazione e tenendo conto che l'intensità varia in base a tale raggio ottengo:
$B(r)=(mu_(0)i) /(2pia^2)r$
Fatto ciò definisco la densità di energia magnetica
$mu_m=(1/(2mu_0))B(r)^2=(mu_(0)i^2) /(8pi^2a^4)r^2$
Calcolo l'energia magnetica del conduttore integrando la densità sul volume e saltando i passaggi ottengo:
$U_m =((mu_0 )i^2 h )/(16pi)$
Infine usando la relazione propria degli induttori $U_m=1/2 L i^2$ ottengo che l'induttanza è $L=(u_0 h)/(8pi)$
Ho confrontato con gli appunti e credo sia giusto. Fatto ciò ho voluto provare "for fun" il metodo classico ovvero:
$L=(phi(B))/i$ l'induttanza è da definizione l'auto-flusso del campo magnetico $B$ in rapporto con l'intensità $i$
Disponendo già del campo magnetico devo quindi calcolare il flusso nel cilindro e quindi devo trovare delle superfici che siano perpendicolari in ogni punto al vettore campo magnetico o comunque superfici non parallele(per non avere flusso nullo).
Per come è definito il vettore campo magnetico sono , in base al raggio considerato all'interno del conduttore, delle circonferenze (il verso di percorrenza è in base alla regola mano destra), quindi il flusso sulla superficie laterale è ovviamente nullo però ho che internamente esistono sezioni perpendicolari alle circonferenze descritte dal campo magnetico e quindi per definire il flusso devo considerare delle superfici interne che siano , se possibile per semplificare i calcoli, perpendicolari in ogni punto alle linee di campo.
Il problema è che non riesco a definire una tale superficie a meno di considerare dei volumi e quindi non riesco a configurare i calcoli.
Avete qualche idea?
Per risolvere questo problema ovvero determinare l'induttanza di un conduttore cilindrico(circuito $RL$, in cui la resistività non serve per il calcolo) ho utilizzato la via "energetica" ricavandomi l'induttanza.
Per fare ciò ho calcolato usando Ampere il campo magnetico interno al conduttore in base al raggio di circuitazione e tenendo conto che l'intensità varia in base a tale raggio ottengo:
$B(r)=(mu_(0)i) /(2pia^2)r$
Fatto ciò definisco la densità di energia magnetica
$mu_m=(1/(2mu_0))B(r)^2=(mu_(0)i^2) /(8pi^2a^4)r^2$
Calcolo l'energia magnetica del conduttore integrando la densità sul volume e saltando i passaggi ottengo:
$U_m =((mu_0 )i^2 h )/(16pi)$
Infine usando la relazione propria degli induttori $U_m=1/2 L i^2$ ottengo che l'induttanza è $L=(u_0 h)/(8pi)$
Ho confrontato con gli appunti e credo sia giusto. Fatto ciò ho voluto provare "for fun" il metodo classico ovvero:
$L=(phi(B))/i$ l'induttanza è da definizione l'auto-flusso del campo magnetico $B$ in rapporto con l'intensità $i$
Disponendo già del campo magnetico devo quindi calcolare il flusso nel cilindro e quindi devo trovare delle superfici che siano perpendicolari in ogni punto al vettore campo magnetico o comunque superfici non parallele(per non avere flusso nullo).
Per come è definito il vettore campo magnetico sono , in base al raggio considerato all'interno del conduttore, delle circonferenze (il verso di percorrenza è in base alla regola mano destra), quindi il flusso sulla superficie laterale è ovviamente nullo però ho che internamente esistono sezioni perpendicolari alle circonferenze descritte dal campo magnetico e quindi per definire il flusso devo considerare delle superfici interne che siano , se possibile per semplificare i calcoli, perpendicolari in ogni punto alle linee di campo.
Il problema è che non riesco a definire una tale superficie a meno di considerare dei volumi e quindi non riesco a configurare i calcoli.
Avete qualche idea?
Risposte
Premesso che quella da te determinata rappresenta solo l'induttanza "interna" e non quella complessiva, somma dell'induttanza "interna" e dell'induttanza "esterna", le superfici da considerare per il calcolo via flusso concatenato, sono rappresentate dalle superfici rettangolari infinitesime, complanari al conduttore, di lunghezza h e larghezza dr ... ma procedendo nel calcolo, avrai di certo una "sorpresa". 
"RenzoDF":
Premesso che quella da te determinata rappresenta solo l'induttanza "interna" e non quella complessiva, somma dell'induttanza "interna" e dell'induttanza "esterna", le superfici da considerare per il calcolo via flusso concatenato, sono rappresentate dalle superfici rettangolari infinitesime, complanari al conduttore, di lunghezza h e larghezza dr ... ma procedendo nel calcolo, avrai di certo una "sorpresa".
Sisi mi ero dimenticato di dire che devo calcolare l'induttanza interna!
Scusami ma non ho ben capito cosa intendi per complanare, intendi sullo stesso piano? Perchè il conduttore è un volume
Intendi i rettangoli che sezionano il cilindro sull'altezza?
Ultima domanda se faccio il flusso sul piano infinesimo lo devo fare per ogni piano infinitesimo del cilindro? Mi spiego meglio, io avevo pensato di prendere un rettangolino $hdr$(parte dall'asse e ha lato $dr$) calcolarne il flusso integrando su $[0,a]$ e poi per estendere a tutto il cilindro far ruotare tale rettangolo di $360$ ovvero moltiplicare per $2pi$ è sbagliato come concetto di flusso?
p.s. ho provato anche a fare il flusso sul rettangolo di lati $[-a,a] , h$ ma non mi viene (ho tenuto conto del fatto che per metà fosse flusso uscente e per l'altra fosse entrante)
"stenford":
... non ho ben capito cosa intendi per complanare, intendi sullo stesso piano? Perchè il conduttore è un volume
Hai ragione, intendevo dire complanare all'asse del conduttore.
Ora, se andiamo a determinare il flusso infinitesimo che attraversa la suddetta sezione infinitesima rettangolare avremo che, a partire dalla generica B(r), sarà esprimibile come
$d\phi = B(r)hdr=\frac{\mu_0 i r h }{2\pi a^2}dr$
a questo punto dobbiamo però considerare che questo flusso infinitesimo non sarà concatenato con tutta la corrente $i$ circolante nel conduttore ma solo con una sua frazione $r^2/a^2$, ne segue che il flusso infinitesimo concatenato sarà solo una quotaparte del precedente, ovvero
$d\Phi _c=\frac{ r^2}{ a^2} d\phi =\frac{\mu_0 i h r^3 }{2\pi a^4}dr$
ed infine, per determinare il valore dell'induttanza interna, basterà integrarlo e dividerlo per la corrente
$L=\frac{\Phi _c}{i}=\int_{0}^{a}\frac{\mu_0 h r^3}{2\pi a^4}dr=\frac{\mu_0 h}{8\pi}$
se poi, si suppone (come abbiamo fatto noi) che la permeabilità relativa del conduttore sia (approssimativamente) unitaria, sarà anche possibile un'ulteriore semplificazione e scrivere
$L= \frac{h}{20}\ \ \mu \text (H) $
cavolo grazie mille!!!!
"RenzoDF":
[...]
$d\phi = B(r)hdr=\frac{\mu_0 i r h }{2\pi a^2}dr$
a questo punto dobbiamo però considerare che questo flusso infinitesimo non sarà concatenato con tutta la corrente $i$ circolante nel conduttore ma solo con una sua frazione $r^2/a^2$, ne segue che il flusso infinitesimo concatenato sarà solo una quotaparte del precedente, ovvero
$d\Phi _c=\frac{ r^2}{ a^2} d\phi$
Non ho capito bene questo passaggio. Cosa significa veramente concatenato? Cosa intendi quando affermi che il flusso infinitesimo non è concatenato con la corrente $i$? Da cosa deduci che è concatenato solo con quella frazione della corrente circolante nel conduttore?
Grazie infinite
"wanderer":
... Cosa significa veramente concatenato?
Una linea di flusso (che è una linea chiusa) si dice concatenata con una corrente quando la corrente "passa" attraverso il suo interno, come avviene per gli anelli di una catena.
Ok, e come deduci quel rapporto tra il flusso infinitesimo e il flusso infinitesimo concatenato? Se il rettangolo infinitesimo è complanare all'asse del cilindro (e parallelo pertanto al vettore densità di corrente) allora non capisco come possa essere concatenato ad alcuna corrente...
PS: scusa per la raffica di domande, ma voglio proprio chiarirmi le idee
PS: scusa per la raffica di domande, ma voglio proprio chiarirmi le idee
"wanderer":
... come deduci quel rapporto tra il flusso infinitesimo e il flusso infinitesimo concatenato?
Quel flusso infinitesimo $d\phi$ è conacatenato sono con la frazione \(r^2/a^2\) della corrente complessiva e chiaramente rappresenterà solo una quota infinitesima $d\Phi_c$ del flusso concatenato totale.
"wanderer":
...Se il rettangolo infinitesimo è complanare all'asse del cilindro (e parallelo pertanto al vettore densità di corrente) allora non capisco come possa essere concatenato ad alcuna corrente......
Il rettangolo infinitesimo di superficie $d\Sigma=hdr$ è sì complanare all'asse del conduttore, ma essendo il campo magnetico normale a detta superficie, il flusso $d\Phi_c$ che la attraversa, sarà confinato nel tubo di flusso rappresentato dal guscio cilindrico infinitesimo, e andrà a "circondare" ovvero a "concatenarsi" solo con la suddetta frazione della corrente totale.
"RenzoDF":
Quel flusso infinitesimo $ d\phi $ è conacatenato sono con la frazione \( r^2/a^2 \) della corrente complessiva
Qui tutto ok.
"RenzoDF":
e chiaramente rappresenterà solo una quota infinitesima $d\Phi_c$ del flusso concatenato totale.
A me non è molto chiaro in fondo cosa sia $d \Phi_c$, e per estensione $\Phi_c$. Che differenza c'è da un punto di vista fisico tra $d\phi$ e $d\Phi_c$? Nel senso, sono entrambi flussi infinitesimi del campo magnetico calcolati rispetto alla stessa superficie infinitesima (?), ma quando moltiplichi per $r^2 // a^2$ il flusso infinitesimo $d \phi$, che ente fisico stai descrivendo?
E' proprio una definizione? Del tipo: \[ \Phi_c = \int_{S} \rho \ d\phi = \int_{S} \rho \ \vec{B} \cdot d\vec{\Sigma} \]
Dove $\rho$ rappresenta il rapporto tra la corrente concatenata dall'infinitesimo di flusso passante per $d \Sigma$ e la corrente totale che genera il campo magnetico?
"wanderer":
... non è molto chiaro in fondo cosa sia $d \Phi_c$, e per estensione $\Phi_c$. Che differenza c'è da un punto di vista fisico tra $d\phi$ e $d\Phi_c$?
Possiamo dire che il flusso $d \Phi_c$ è il flusso concatenato equivalente a $d\phi$, quando riferito all'intera corrente $i$ ovvero, visto che $d\phi$ porta ad un contributo per il coefficiente di autoinduzione \(dL=d\phi/i'\), e visto che l'induttanza fa invece riferimento all'intera corrente $i$, ricordando che \(i'/i=r^2/a^2\), potremo scrivere
$d\L=\frac{d\phi}{i'}=\frac{d\phi}{i}\frac{a^2}{r^2}=\frac{d\Phi_c}{i}$
e quindi nell'integrazione per $L$ avremo che l'intera corrente $i$ (costante) permetterà di conservare la definizione $L=\Phi_c/i$
NB C'è comunque un metodo alternativo per ricavare il coefficiente di autoinduzione interno ad un conduttore, che passa attraverso considerazioni energetiche; considerando infatti l'energia immagazzinata nel guscio cilindro infinitesimo, è possibile integrando ricavare l'intera energia immagazzinata nel campo magnetico interno al conduttore e da questa il valore del coefficiente di autoinduzione interno $L_i$.
Vedi per esempio
http://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=2&t=27907#p222939
Grazie infinite dell'aiuto! Rimane sempre qualcosa di fondo che non riesco a comprendere appieno, ma pazienza. Tra l'altro questo argomento specifico l'abbiamo trattato un po' en passant. Grazie ancora lo stesso.
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