Indipendenza dal sistema di riferimento del tensore velocità di deformazione

[Idontknow4]

Salve, ho un problema riguardante i tensori.

Premessa: stiamo considerando una particella di fluido con velocità $\mathbf{u}$ e un vettore posizione $\mathbf{x}$; $S_{ij}$ è il tensore velocità di deformazione, definito in questo modo:

$S_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i}).$

OK, il problema è in questo paragrafo preso da Fluid Mechanics. Fifth Edition, P. K. Kundu, I. M. Cohen, D. R. Dowling, 2011, p. 78:

Here we also note that $S_{ij}$ is zero for any rigid body motion composed of translation at a spatially uniform velocity $\mathbf{U}$ and rotation at a constant rate $\mathbf{\Omega}$ (see Exercise 3.17).[ot]Come inserisco la nota a fondo pagina? Ho provato con il tag _{, ma non funziona.[/ot] Thus, $S_{ij}$ is independent of the frame of reference in which it is observed, even if $\mathbf{U}$ depends on time and the frame of reference is rotating.}

La mia domanda è: perché $S_{ij}$ è indipendente dal sistema di riferimento nel quale è osservato? Certo, è zero in ogni sistema di riferimento in cui il fluido trasla con velocità lineare $\mathbf{U}$ costante e ruota con velocità angolare $\mathbf{\Omega}$ costante, ma questo non spiega perché dovrebbe essere il caso "even if $\mathbf{U}$ depends on time and the frame of reference is rotating".

Questo è l'Esercizio 3.17:

For the flow field $\mathbf{u} = \mathbf{U} + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{x}$, where $\mathbf{U}$ and $\mathbf{\Omega}$ are constant linear- and angular-velocity vectors, use Cartesian coordinates to a) show that $S_{ij}$ is zero, and b) determine $R_{ij}$.

[$R_{ij}$ è il tensore di rotazione: $\frac{\partial u_i}{\partial x_j} -\frac{\partial u_j}{\partial x_i}$.]

[Sk_Anonymous]

Quando si studia il calcolo tensoriale in maniera un po' più approfondita, per esempio in Geometria differenziale o come importante premessa matematica alla Relativita Generale, si impara una cosa che, nei libri di Fluidodinamica o di Meccanica che fanno uso di certe quantità tensoriali senza peraltro entrare in troppi dettagli (che pure sarebbero necessari!) , non è detta ben chiaramente, o forse non è detta proprio, e cioè questa : le equazioni tensoriali sono valide indipendentemente dal sistema di riferimento nel quale esse sono scritte.

La tua è una equazione tensoriale a tutti gli effetti : al primo membro c'è un tensore, al secondo un altro, e l'equazione dice che sono uguali. Ebbene, se da coordinate $x_i$ passi a coordinate $x'_k$ , legate alle prime da trasformazioni generiche del tipo : $ x_i = x_i(x'_k)$ , applicando la trasformazione di coordinate ad entrambi i membri si vede che l'equazione tensoriale, nelle nuove coordinate, rimane uguale (scusa ma parlo in modo impreciso, ci sarebbero un sacco di precisazioni da fare!) alla precedente.
Non so se questo possa essere suffciente a soddisfare la tua legittima richiesta, che forse vuole una risposta più fisica che matematica.