Indentita' di un tensore, vettore,....

antennaboy
Salve Forum

se un vettore o un tensore deve rimanere se stesso sotto certe trasformazioni, come si fa a verificare che e'rimasto effettivamente se stesso?

Si potrebbe calcolare il prodotto interno per vedere se il suo modulo e' lo stesso.....

Come si fa a determinare c he la sua direzione non e' effettivamente cambiata, ma solo il valore numerico delle componenti del vettore?
Si verifica forse se la sua relazione con altri vettori e' rimasta invariata attraverso il prodotto esterno (rotore)? Pero' anche se il rotore e' invariato, potrebbe essere che tutti i vettori si sono spostati....

Quale sono le trasformazione che si debbono considerare? Quelle di rotazione? Ma quelle cambiano la direzione del vettore.........

grazie,
antennaboy

Risposte
Falco5x
Se cambi il sistema di riferimento è evidente che le componenti del vettore cambiano, però ciò non vuol dire che la direzione assoluta del vettore sia cambiata, anzi le trasformazioni servono proprio a questo, a dire quali sono le nuove componenti ipotizzando che il vettore resti immutato.
Per fare un esempio semplice io proverei così.
Definisco un sistema di riferimento cartesiano assoluto. Rispetto a questo le componenti del vettore sono ben precise e fisse. Definisco poi un sistema di riferimento relativo. Trovo le componenti del vettore rispetto a questo sistema relativo. Le coordinate del sistema assoluto sono funzione delle coordinate del sistema relativo, dunque anche le componenti del vettore nel sistema assoluto sono in relazione con le componenti nel sistema relativo. Poi ruoto il sistema relativo e calcolo le nuove componenti del vettore nel sistema ruotato (usando le regole di trasformazione dei vettori/tensori). In base alla relazione tra le coordinate nel sistema assoluto e le coordinate del sistema relativo ruotato, posso verificare se le componenti del vettore nel sistema assoluto sono rimaste sempre le stesse.
Però non so se ho capito il dubbio...

antennaboy
Grazie Falco5x,

ho "quasi" capito.... un' ultimo sforzo.

Per vedere se qualcosa e' cambiato lo si deve confrontare con cio' che ero prima della trasformazione.
Di solito una trasformazione (lineare) cambia un vettore sia nel modulo sia nella direzione....(stessa idea vale per i tensori).

Ora, tu dici che fissando un sistema di coord. assoluto, il nostro vettore avra' componenti (a,b,c).
In un' altro sistema relativo, lo stesso vettore avra' (d, e,f). Si tratta sempre della stessa "freccetta", vista da un'altro punto di vista.

Tu dici di ruotare il sistema relativo di un certo angolo (anche traslarlo magari). Si ottiene un nuovo punto di vista nel quale il vettore ha nuove componenti (g, h i).

Ora, c'e' sempre una relazione tra le componenti di tutti e tre i sistemi di coordinate: talie relazioni ci dicono come si relazionano i vettori di base.

Ma perche', come si fa a dire che "posso verificare se le compoenenti del vettore nel sistema assoluto sono sempre le stesse"?
Non capisco questo ultimo (fondamentale passaggio).

Per esempio, tutti i tensori sono rappresentabili da matrici, ma non tutte le matrici possono rappresentare tensori....cosa sbagliano quelle matrici? Su certe operazioni devono fallire qualcosa?...?

grazie!

Falco5x
Usando le tue simbologie, le coordinate assolute si possono sempre scrivere come funzioni delle coordinate relative, cioè, prendendone solo una per brevità, si può scrivere a(d,e,f) e a(g,h,i). Supponiamo che nel sistema assoluto il vettore abbia componenti a-a', b-b', c-c'.
Se nel sistema relativo d,e,f il vettore ha componenti d-d', e-e', f-f' queste componenti si trasformano nel sistema ruotato nelle componenti g-g', h-h', i-i'. Però anche se queste componenti sono diverse da quelle del sistema relativo non ruotato, si può essere certi che nel sistema assoluto le componenti non sono cambiate, perché il vettore non ha ruotato, è il sistema di riferimento quello che ha ruotato. Allora, prendendo solo la prima componente per brevità, si ha a(d,e,f)-a(d',e',f')=a(g,h,i)-a(g',h',i')=a-a'.
Insomma qualunque trasformazione di sistema cambia il sistema, non l'oggetto vettore. Come dire che la freccia è sempre la stessa anche se la fotografo da diverse angolazioni ma non sposto la freccia rispetto alla stanza in cui si trova.
Però continuo a essere perplesso sul tuo dubbio, non capisco bene se ho risposto o no.
Rguardo a quali matrici possano rappresentare tensori non mi azzardo a rispondere, non ne so praticamente nulla.

antennaboy
Grazie Falco5x,

vedrai che ce la faccio a capirla sta cosa. Senza essere monotono, dato un vettore, esso e' rappresentabile in un determinato sistema di riferimento (in 3D) attraverso una tripla di numeri (a,b,c) che sono i pesi da dare ai vettori di base (supponiamo ortonormali).

Se si cambia sistema di riferimento, si cambiano i vettorini unitari di base, e di conseguenza anche le componenti. Si passa alla terna (b,c,d).
E cosi' via per ciascun, diverso sistema di riferimento.
Un cambiamento di sistema di riferimento puo' essere visto come una transformazione del vettore originale, nella quale il vettore rimane "lo stesso" ma la sua descrizione cambia. Questa trasformazione va da sistema di riferimento ad un' altro. E' un tipo di trasformazione diversa da una trasformazione all' interno di uno stesso sistema di riferimento, che potrebbe cambiare radicalmente l' identita' del vettore"........
Insomma sto cercando di capire cosa qualifica una terna di di valori come componenti di un vettore. Cioe' capire cosa e' un vettore capendo cio' che un vettore non e'?

una sola ultima precisazione: cosa sarebbero nella tua notazione a', b' e c' e tutte le altre coordinate con il superscript, nella frase "Supponiamo che nel sistema assoluto il vettore abbia componenti a-a', b-b', c-c'. " ?
Sono d'accordo che, prendendo una sola componente del vettore, quella a, essa sia esprimibile come combinazione lineare delle componenti negli altri sistemi di coordinate come dici tu: a(d,e,f) e a(g,h,i).

Non capisco ancora cosa intendi per a(d',e',f').... sarebbe la componente a del vettore visto nel sistema assoluto espressa come combinazione lineare delle componenti d',e',f' . Che differenza c'e' tra (d,e,f) e (d',e',f')

Falco5x
E' molto semplice. Ho rappresentato con apici le coordinate della "coda" del vettore, e senza apici le coordinate della "punta". La componente del vettore è la differenza tra la coordinata della punta e quella della coda.

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