Incomprensione passaggio esercizio (urto pallina contro asta

[Luca.mat1]

Un sasso di 5 kg e` scagliato contro una lastra rigida, di forma quadrata, lato 2 m e massa 25 kg.
La pietra incide, con una velocita` di 20 m/s, nel centro della struttura, che e` vincolata a ruotare
intorno ad un asse passante per una sua estremita` (asse z, in figura). Determinare la velocita'
angolare della lastra, subito dopo l’urto, nei due casi limite di collisione centrale elastica e di
collisione completamente anelastica



SOLUZIONE:

nell'urto elastico si conservano: il momento angolare e l'energia cinetica:

Momento angolare: \(\displaystyle 1/2lmV0=1/2lmV1+Izw \)

Energia Cinetica: \(\displaystyle 1/2mV0^2=1/2mV1^2+1/2Izw^2 \)


com'è strutturata la conservazione del momento angolare in questo caso?...poi mi spiegate per favore come è giunto alla formula della velocità finale? ho provato in tutti i modi a ricavarla ma non riesco

\(\displaystyle V1=(ml^2-4Iz)/(ml^2+4Iz)V0 \)

[Luca.mat1]

qualcuno sa nulla a riguardo?

[chiaraotta1]

Mi sembra che dovrebbe funzionare così ....

1) Se l'urto è elastico .....
Date le due equazioni
${(1/2lmv_0=1/2lmv_1+Iomega, text(conservazione momento angolare)), (1/2mv_0^2=1/2mv_1^2+1/2Iomega^2, text(conservazione energia)):}$,
si può ricavare $omega$ dalla prima e sostituirla nella seconda, moltiplicata per $2$:
${(omega=(lm)/(2I)(v_0-v_1)), (mv_0^2=mv_1^2+I((lm)/(2I)(v_0-v_1))^2):}$.

La seconda equazione è di 2° grado in $v_1$:
$mv_0^2=mv_1^2+I((lm)/(2I)(v_0-v_1))^2->mv_0^2=mv_1^2+I(l^2m^2)/(4I^2)(v_0-v_1)^2->$
$v_0^2=v_1^2+(l^2m)/(4I)(v_0-v_1)^2->4Iv_0^2=4Iv_1^2+l^2m(v_0^2-2v_0v_1+v_1^2)->$
$(4I+l^2m)v_1^2-2l^2mv_0v_1+(l^2m-4I)v_0^2=0$.
Risolvendo l'equazione si ha
$Delta/4=(l^2mv_0)^2-(4I+l^2m)(l^2m-4I)v_0^2=l^4m^2v_0^2+16I^2v_0^2-l^4m^2v_0^2=$
$16I^2v_0^2=(4Iv_0)^2$
e le soluzioni sono
$v_11 =(l^2mv_0-4Iv_0)/(4I+l^2m)=(l^2m-4I)/(4I+l^2m)v_0$,
$v_12 =(l^2mv_0+4Iv_0)/(4I+l^2m)=(l^2m+4I)/(4I+l^2m)v_0=v_0$, che non è accettabile.
Da cui
$omega=(lm)/(2I)(v_0-v_1)=(lm)/(2I)(v_0-(l^2m-4I)/(4I+l^2m)v_0)=$
$(lm)/(2I)(4I+l^2m-l^2m+4I)v_0/(4I+l^2m)=4(lm)/(4I+l^2m)v_0$.


2) Se l'urto è completamente anelastico e il sasso rimane attaccato alla lastra .....
Date le due equazioni
${(1/2lmv_0=1/2lmv_1+Iomega, text(conservazione momento angolare)), (v_1=omega l/2, text(relazione velocità lineare-angolare)):}$,
basta sostituire $v_1$ della seconda nella prima equazione:
$1/2lmv_0=1/2lml/2 omega+Iomega->(1/4l^2m +I)omega=1/2lmv_0->$
$(l^2m +4I)omega=2lmv_0->omega=2(lm)/(l^2m +4I)v_0$.
Infine
$v_1=omega l/2=2(lm)/(l^2m +4I)v_0 l/2=(l^2m)/(l^2m +4I)v_0$.

[Luca.mat1]

grazie, ora è tutto chiaro...e grazie pure per l'enorme pazienza nello scrivere tutto ciò