Impulso in intervalli di tempo nulli
Chiedo aiuto con un problema proposto l'anno scorso a un esame di Fisica I del Polito.
Il testo è il seguente:
"Un carrello di massa M porta all'estremità destra della sua superficie piana orizzontale scabra un corpo puntiforme di massa m. C'è attrito radente tra i due. All'istante iniziale $ t_(0-)=0 $ il carrello M riceve un impulso di brevissima durata, per cui all'istante $ t_(0+)=0 $ esso parte con velocità pari a \( \overrightarrow{V_0} \) verso destra rispetto al riferimento R della strada, mentre m è ancora istantaneamente fermo rispetto ad esso. Ma l'attrito radente mette in moto m rispetto ad R, dato che il carrello lo trascina. Comunque m scivola verso sinistra rispetto al carrello R'.
a) Calcolare accelerazione di m rispetto a R' e R
b) Se il carrello è lungo d, quanto tempo impiega m a compere tutto il percorso d, cadendo fuori dal carrello? Perché?
c) Quanto vale la massa ridotta del sistema (M, m)?
DATI: M; m; Vo; coefficiente d'attrito dinamico; accelerazione di gravità g; lunghezza d del carrello."
Al punto c) ho risposto subito: \((M*m)\over (m+M) \)
Il punto a) mi causa difficoltà. Come faccio a ricavare l'accelerazione a cui è soggetto il carrello nel sistema di riferimento R della strada?
L'impulso è pari alla variazione della quantità di moto, quindi: \( \Delta p=M*\overrightarrow{V_o} \) e \( J=\Delta p \) , so anche che \( J=\int_{t(0-)}^{t_(o+)} \overrightarrow{F} \, dt \). Ma come faccio a ricavare F se ho un intervallo di tempo nullo?
Sbaglio procedimento? La strada da seguire è un'altra?
Il testo è il seguente:
"Un carrello di massa M porta all'estremità destra della sua superficie piana orizzontale scabra un corpo puntiforme di massa m. C'è attrito radente tra i due. All'istante iniziale $ t_(0-)=0 $ il carrello M riceve un impulso di brevissima durata, per cui all'istante $ t_(0+)=0 $ esso parte con velocità pari a \( \overrightarrow{V_0} \) verso destra rispetto al riferimento R della strada, mentre m è ancora istantaneamente fermo rispetto ad esso. Ma l'attrito radente mette in moto m rispetto ad R, dato che il carrello lo trascina. Comunque m scivola verso sinistra rispetto al carrello R'.
a) Calcolare accelerazione di m rispetto a R' e R
b) Se il carrello è lungo d, quanto tempo impiega m a compere tutto il percorso d, cadendo fuori dal carrello? Perché?
c) Quanto vale la massa ridotta del sistema (M, m)?
DATI: M; m; Vo; coefficiente d'attrito dinamico; accelerazione di gravità g; lunghezza d del carrello."
Al punto c) ho risposto subito: \((M*m)\over (m+M) \)
Il punto a) mi causa difficoltà. Come faccio a ricavare l'accelerazione a cui è soggetto il carrello nel sistema di riferimento R della strada?
L'impulso è pari alla variazione della quantità di moto, quindi: \( \Delta p=M*\overrightarrow{V_o} \) e \( J=\Delta p \) , so anche che \( J=\int_{t(0-)}^{t_(o+)} \overrightarrow{F} \, dt \). Ma come faccio a ricavare F se ho un intervallo di tempo nullo?
Sbaglio procedimento? La strada da seguire è un'altra?
Risposte
Up!
Ci sto impazzendo, qualcuno mi aiuti, per favore
Ci sto impazzendo, qualcuno mi aiuti, per favore
Provo con un altro up 
Ci credo che ci stai impazzendo. Io dal testo ho difficoltà a capire!
Ad ogni modo, non è vero che l'intervallo di tempo è nullo. Infatti il testo dice che "il carrello riceve un impulso di brevissima durata" . Dunque la "durata" c'è , e vale $\Deltat = t_(0+) - t_(0-)$ . In questo $\Deltat$, la velocità di tutto il sistema, cioè della massa $(M + m)$, passa da $0$ a $vecV$.
Ma detto questo, che altro si può aggiungere? C'è qualcosa che sfugge in questo esercizio....
Si può aggiungere forse questo : la forza impulsiva sulla massa $m$ deve essere tale da superare la massima forza di attrito statico tra corpo puntiforme e carrello: infatti il corpo puntiforme si mette in moto rispetto al carrello, e si puo assumere che la forza di attrito dinamico sia costante...
Ma non faccio passi avanti...non riesco ad imbastire alcuna equazione. Mi spiace.
Ad ogni modo, non è vero che l'intervallo di tempo è nullo. Infatti il testo dice che "il carrello riceve un impulso di brevissima durata" . Dunque la "durata" c'è , e vale $\Deltat = t_(0+) - t_(0-)$ . In questo $\Deltat$, la velocità di tutto il sistema, cioè della massa $(M + m)$, passa da $0$ a $vecV$.
Ma detto questo, che altro si può aggiungere? C'è qualcosa che sfugge in questo esercizio....
Si può aggiungere forse questo : la forza impulsiva sulla massa $m$ deve essere tale da superare la massima forza di attrito statico tra corpo puntiforme e carrello: infatti il corpo puntiforme si mette in moto rispetto al carrello, e si puo assumere che la forza di attrito dinamico sia costante...
Ma non faccio passi avanti...non riesco ad imbastire alcuna equazione. Mi spiace.
Eh, ma il testo dà \( t_0+ \) e \( t_0- \) entrambi uguali a 0. Quindi l'intervallo di tempo è nullo. 
Pure io avevo pensato a impulso=variazione di quantità di moto, ma a parte tutte queste difficoltà come si procede?
Vediamo se qualcuno ci illumina, altrimenti io assumo che il problema abbia qualche fallo
Pure io avevo pensato a impulso=variazione di quantità di moto, ma a parte tutte queste difficoltà come si procede?
Vediamo se qualcuno ci illumina, altrimenti io assumo che il problema abbia qualche fallo
Non è fisicamente possibile che un impulso abbia durata nulla, Iacopo. Per quanto piccolissima, la durata di un impulso è pur sempre finita, maggiore di zero.
Se la durata fosse rigorosamente zero, l'accelerazione sarebbe infinita : $ a = (\Deltav)/(\Deltat) = infty $ , e questo è veramente assurdo. Chiunque conosca un po' di Fisica e di Matematica non potrà dirti diversamente, sta tranquillo.
No, decisamente questo esercizio è quanto meno male impostato.
Ma naturalmente questo è soltanto il mio parere.
Se la durata fosse rigorosamente zero, l'accelerazione sarebbe infinita : $ a = (\Deltav)/(\Deltat) = infty $ , e questo è veramente assurdo. Chiunque conosca un po' di Fisica e di Matematica non potrà dirti diversamente, sta tranquillo.
No, decisamente questo esercizio è quanto meno male impostato.
Ma naturalmente questo è soltanto il mio parere.
Sì, che sia fisicamente impossibile non ho alcun dubbio 
e visto che quella è la richiesta io concludo che l'esercizio sia scritto male. A meno che non ci sia un altro modo di svolgerlo che non richiede l'utilizzo di quei dati, ma io non vedo altra strada.
e visto che quella è la richiesta io concludo che l'esercizio sia scritto male. A meno che non ci sia un altro modo di svolgerlo che non richiede l'utilizzo di quei dati, ma io non vedo altra strada.
Ho pensato che si potrebbe fare così.
Non c'è bisogno di considerare la forza impulsiva.
Il sistema $(M+m)$ subisce una variazione di velocità $\DeltaV$ da zero a $V$ in avanti, supponiamo verso destra rispetto al rif. terrestre (la strada). Quindi la variazione di qdm vale $(M +m)*\DeltaV$ .
La massa puntiforme $m$ posta sul pianale tende, per inerzia, a rimanere ferma rispetto al rif. terrestre (la strada)
Supponiamo che rimanga proprio ferma inizialmente, rispetto alla strada.
Percio, rispetto al rif. mobile (il carrello), la massa $m$ è dotata di una velocità iniziale pari in modulo ancora a $V$ , ma diretta all'indietro ( da destra a sinistra del disegno, per capirci).
La massa $m$ ha quindi, nel rif. mobile, una qdm iniziale $mV$ diretta come detto, e una energia cinetica iniziale $1/2mV^2$ .
Se si suppone che la forza di attrito dinamico sia costante durante il moto di $m$ rispetto al carello, questo moto è uniformemente decelerato, e il modulo della decelerazione vale : $a = \mu_d*g$ (infatti la forza di attrito dinamico vale : $F_a = mg*\mu_d$ ) .
A questo punto, sono note nel rif. mobile sia la velocita iniziale $V$ che la decelerazione $a$.
Percio con le formule del moto unif. decelerato si possono ricavare la velocità con cui $m$ abbandona il carrello e il tempo impiegato a percorrere la distanza $d$ :
$ V_f = V -a*t$
$d = V*t - 1/2*a*t^2 $
Ricava prima $t$ dalla seconda sostituisci nella prima se vuoi $V_f$ .
In effetti, se è assegnata la velocita $V$, la massa del carrello $M$ non interessa proprio. Potrebbe essere un treno o un carrellino giocattolo di un bambino, a parità di lunghezza $d$, di massa $m$, e di coefficiente $\mu_d$.
Che ne dici ? Potrebbe andare ? Ho detto qualche corbelleria ? Certo che qualche perplessità ce l'ho ancora....
Non sono sicuro del comportamento di $m$....
Per esempio, potrebbe invece essere necessario considerare il fatto che il sistema, dopo l'impulso, è "isolato" e quindi si dovrebbe conservare la qdm ......Perciò , la variazione di velocità di $m$ si dovrebbe ricavare da :
$(M+m)*\DeltaV = m*\deltav$
e quindi ricavare che la variazione di velocità di $m$ è data da : $\deltav = (M+m)/m*\DeltaV $
e poi proseguire considerando il moto unif. decelerato come prima....
Ma il testo non aiuta a capire
Non c'è bisogno di considerare la forza impulsiva.
Il sistema $(M+m)$ subisce una variazione di velocità $\DeltaV$ da zero a $V$ in avanti, supponiamo verso destra rispetto al rif. terrestre (la strada). Quindi la variazione di qdm vale $(M +m)*\DeltaV$ .
La massa puntiforme $m$ posta sul pianale tende, per inerzia, a rimanere ferma rispetto al rif. terrestre (la strada)
Supponiamo che rimanga proprio ferma inizialmente, rispetto alla strada.
Percio, rispetto al rif. mobile (il carrello), la massa $m$ è dotata di una velocità iniziale pari in modulo ancora a $V$ , ma diretta all'indietro ( da destra a sinistra del disegno, per capirci).
La massa $m$ ha quindi, nel rif. mobile, una qdm iniziale $mV$ diretta come detto, e una energia cinetica iniziale $1/2mV^2$ .
Se si suppone che la forza di attrito dinamico sia costante durante il moto di $m$ rispetto al carello, questo moto è uniformemente decelerato, e il modulo della decelerazione vale : $a = \mu_d*g$ (infatti la forza di attrito dinamico vale : $F_a = mg*\mu_d$ ) .
A questo punto, sono note nel rif. mobile sia la velocita iniziale $V$ che la decelerazione $a$.
Percio con le formule del moto unif. decelerato si possono ricavare la velocità con cui $m$ abbandona il carrello e il tempo impiegato a percorrere la distanza $d$ :
$ V_f = V -a*t$
$d = V*t - 1/2*a*t^2 $
Ricava prima $t$ dalla seconda sostituisci nella prima se vuoi $V_f$ .
In effetti, se è assegnata la velocita $V$, la massa del carrello $M$ non interessa proprio. Potrebbe essere un treno o un carrellino giocattolo di un bambino, a parità di lunghezza $d$, di massa $m$, e di coefficiente $\mu_d$.
Che ne dici ? Potrebbe andare ? Ho detto qualche corbelleria ? Certo che qualche perplessità ce l'ho ancora....
Non sono sicuro del comportamento di $m$....
Per esempio, potrebbe invece essere necessario considerare il fatto che il sistema, dopo l'impulso, è "isolato" e quindi si dovrebbe conservare la qdm ......Perciò , la variazione di velocità di $m$ si dovrebbe ricavare da :
$(M+m)*\DeltaV = m*\deltav$
e quindi ricavare che la variazione di velocità di $m$ è data da : $\deltav = (M+m)/m*\DeltaV $
e poi proseguire considerando il moto unif. decelerato come prima....
Ma il testo non aiuta a capire
Sulla prima parte sono d'accordo.
Il testo dice che nel momento in cui M ha variazione di quantità di moto, m è istantaneamente ferma. Quindi ha quantità di moto mV e energia cinetica di conseguenza come hai detto tu.
Sull'accelerazione nel riferimento mobile poi pure secondo me dipende solo dalla forza d'attrito dinamico, però per calcolarla nel riferimento inerziale della strada, come mi è richiesto, mi serve conoscere l'accelerazione di trascinamento, cioè l'accelerazione del carrello e non vedo come trovarla senza conoscere la forza che l'ha prodotta :S
Il secondo punto è comunque risolto così, visto che utilizzando la velocità nel riferimento mobile non devo tener conto del contemporaneo movimento del carrello. Il terzo era già risolto con la formuletta se non erro. Rimane dunque quel primo punto...
Se lunedì mi capita un problema del genere mi faccio il segno della croce e prego Dio all'infinito
Il testo dice che nel momento in cui M ha variazione di quantità di moto, m è istantaneamente ferma. Quindi ha quantità di moto mV e energia cinetica di conseguenza come hai detto tu.
Sull'accelerazione nel riferimento mobile poi pure secondo me dipende solo dalla forza d'attrito dinamico, però per calcolarla nel riferimento inerziale della strada, come mi è richiesto, mi serve conoscere l'accelerazione di trascinamento, cioè l'accelerazione del carrello e non vedo come trovarla senza conoscere la forza che l'ha prodotta :S
Il secondo punto è comunque risolto così, visto che utilizzando la velocità nel riferimento mobile non devo tener conto del contemporaneo movimento del carrello. Il terzo era già risolto con la formuletta se non erro. Rimane dunque quel primo punto...
Se lunedì mi capita un problema del genere mi faccio il segno della croce e prego Dio all'infinito
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo