Il tensore energia-impulso
Il libro che sto studiando (M.Maggiore, A modern introduction to QFT), nell'ambito della teoria classica dei campi, definisce tensore energia-impulso \(\theta^{\mu \nu}\) la famiglia di 4-correnti ottenuta per mezzo del teorema di Noether a partire dalla simmetria di tutti i sistemi per traslazioni spazio-temporali. Si tratta quindi di un tensore con la proprietà che
\[\partial_{\mu}\theta^{\mu \nu}=0, \quad \forall \nu=0,1,2,3.\]
Il libro aggiunge la definizione di "4-momento":
\[P^{\nu}=\int d^3x \theta^{0 \nu}.\]
Come si interpreta questo oggetto? Per analogia con il caso elettrodinamico, io direi che \(\theta^{\mu \nu}\) va visto come \((\theta^{0, \nu}, \vec{\theta}^{\nu})\), e la prima entrata è una densità di "qualcosa" di scalare, la seconda è una densità di "qualche" corrente 3-vettoriale. Ma cos'è questo "qualcosa"?
\[\partial_{\mu}\theta^{\mu \nu}=0, \quad \forall \nu=0,1,2,3.\]
Il libro aggiunge la definizione di "4-momento":
\[P^{\nu}=\int d^3x \theta^{0 \nu}.\]
Come si interpreta questo oggetto? Per analogia con il caso elettrodinamico, io direi che \(\theta^{\mu \nu}\) va visto come \((\theta^{0, \nu}, \vec{\theta}^{\nu})\), e la prima entrata è una densità di "qualcosa" di scalare, la seconda è una densità di "qualche" corrente 3-vettoriale. Ma cos'è questo "qualcosa"?
Risposte
"dissonance":
Il libro aggiunge la definizione di "4-momento":
\[P^{\nu}=\int d^3x \theta^{0 \nu}.\]
Come si interpreta questo oggetto? Per analogia con il caso elettrodinamico, io direi che \(\theta^{\mu \nu}\) va visto come \((\theta^{0, \nu}, \vec{\theta}^{\nu})\), e la prima entrata è una densità di "qualcosa" di scalare, la seconda è una densità di "qualche" corrente 3-vettoriale. Ma cos'è questo "qualcosa"?
Beh, il primo non e' uno scalare, ma una densita' (quadri)vettoriale. Lo vedi anche dall'integrale che hai scritto immediatamente sopra. Se vedi le omologhe componenti del tensore energia-impulso del campo elettromagnetico, hai una cosa proporzionale al vettore di Poynting, quindi corrisponde alla densita' del quadrimpulso.
Le componenti tempo-tempo sono la densita' di energia, quelle tempo-spazio (o spazio-tempo) del tensore riguardano il flusso di energia (energia-impulso), mentre le componenti spazio-spazio sono la parte di stress (sforzi e pressione).
Si si credo di avere capito. Grazie!
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