Il tensore di inerzia è simmetrico
Salve a tutti,
sono alle prese con l’esame di Meccanica Razionale (il libro che sto utilizzando è “lezioni di meccanica razionale” di Rionero) e mi sono imbattuta in una Proposizione la quale afferma che “il tensore di inerzia è simmetrico” e la dimostrazione è la seguente:
Sia $ sigma :urarr I\cdot u AA u $ con u vettore di $ E_3 $ un’applicazione lineare
( con $ \cdot $ ho indicato il prodotto scalare)
Per la linearità di $ sigma $ risulta
$ a\cdot I \cdot b = a\cdot sigma(b) = b\cdot sigma(a) = b\cdot I\cdota $ $ AA a,b $
Ciò che non mi è chiaro è proprio la parte centrale di questa relazione
Perché $a\cdot sigma(b) = b\cdot sigma(a)$ per la linearità di $ sigma $?
Le proprietà delle applicazioni lineare riguardano la somma tra vettori e la moltiplicazione per uno scalare ma non è questo il caso, cosa mi sfugge?
Spero possiate aiutarmi
sono alle prese con l’esame di Meccanica Razionale (il libro che sto utilizzando è “lezioni di meccanica razionale” di Rionero) e mi sono imbattuta in una Proposizione la quale afferma che “il tensore di inerzia è simmetrico” e la dimostrazione è la seguente:
Sia $ sigma :urarr I\cdot u AA u $ con u vettore di $ E_3 $ un’applicazione lineare
( con $ \cdot $ ho indicato il prodotto scalare)
Per la linearità di $ sigma $ risulta
$ a\cdot I \cdot b = a\cdot sigma(b) = b\cdot sigma(a) = b\cdot I\cdota $ $ AA a,b $
Ciò che non mi è chiaro è proprio la parte centrale di questa relazione
Perché $a\cdot sigma(b) = b\cdot sigma(a)$ per la linearità di $ sigma $?
Le proprietà delle applicazioni lineare riguardano la somma tra vettori e la moltiplicazione per uno scalare ma non è questo il caso, cosa mi sfugge?
Spero possiate aiutarmi
Risposte
E' tutto senza senso. Il tensore di inerzia è un tensore costruito, è simmetrico per costruzione. Prova a postare le immagini della spiegazione intera del libro.
Sembra solo una questione di associatività del prodotto tra matrici. \(I\) è la matrice identità?
Il fatto che $ I\cdot = sigma $ deriva
No, chiedo scusa per non averlo scritto prima ma con $ I $ il mio libro indica il tensore di inerzia
Come detto, secondo me non dimostra un bel nulla, tutta la questione sta nella costruzione del tensore. La proprietà $a*tau(b)=tau(a)*b$ non vale in generale per ogni tensore (se no sarebbero tutti simmetrici), ma vale per il tensore d'inerzia per costruzione, probabilmente ti sei perso la parte in cui lo dimostra.
Devo dimostrare che il tensore di inerzia $ I $ è simmetrico in accordo con questa definizione
Purtroppo questo libro fa pochissime dimostrazioni dando tutto molto per scontato, purtroppo però all’esame il prof vuole ogni singolo passaggio che egli stesso lascia per esercizio
Qual è la definizione di tensore d'inerzia che ti da il libro?
Il tensore di inerzia viene definito nel modo seguente
$ I = sum_(i = 1)^(n) m_i { (P_i-O)^^ [a^^ (P_i-O)]} $
( con $ ^^ $ ho indicato il prodotto vettoriale)
con $ P_i $ generico punto di massa $ m_i $ del sistema materiale discreto $ S $, $ O $ un punto si $ S $ e $ a $ un generico vettore
$ I = sum_(i = 1)^(n) m_i { (P_i-O)^^ [a^^ (P_i-O)]} $
( con $ ^^ $ ho indicato il prodotto vettoriale)
con $ P_i $ generico punto di massa $ m_i $ del sistema materiale discreto $ S $, $ O $ un punto si $ S $ e $ a $ un generico vettore
Quella direi che è il modo in cui il tensore d'inerzia agisce sul vettore $a$:
$Ia=sum m_i(P_i-O) xx [a xx (P_i-O)]$ (ossia è la sua definizione in pratica, perché molto spesso in matematica non si deinisce una cosa ma si definisce il modo in cui opera)
Sfruttando la proprietà del doppio prodotto vettoriale:
$x xx (y xx z)=y(x*z)-z(x*y)$ si ottiene:
$Ia=summ_i{(P_i-O)^2a-(P_i-O)[a*(P_i-O)]}$
Da qui è facile verificare che $b*Ia=a*Ib$
$Ia=sum m_i(P_i-O) xx [a xx (P_i-O)]$ (ossia è la sua definizione in pratica, perché molto spesso in matematica non si deinisce una cosa ma si definisce il modo in cui opera)
Sfruttando la proprietà del doppio prodotto vettoriale:
$x xx (y xx z)=y(x*z)-z(x*y)$ si ottiene:
$Ia=summ_i{(P_i-O)^2a-(P_i-O)[a*(P_i-O)]}$
Da qui è facile verificare che $b*Ia=a*Ib$
Potresti aiutarmi a verificarlo per favore? Perché non mi viene
"Vulplasir":
Quella direi che è il modo in cui il tensore d'inerzia agisce sul vettore $a$:
$Ia=sum m_i(P_i-O) xx [a xx (P_i-O)]$ (ossia è la sua definizione in pratica, perché molto spesso in matematica non si deinisce una cosa ma si definisce il modo in cui opera)
Sfruttando la proprietà del doppio prodotto vettoriale:
$x xx (y xx z)=y(x*z)-z(x*y)$ si ottiene:
$Ia=summ_i{(P_i-O)^2a-(P_i-O)[a*(P_i-O)]}$
Da qui è facile verificare che $b*Ia=a*Ib$
Puoi aiutarmi a verificarlo per favore? Perché non mi viene
Devi fare dei prodotti scalari...sforzati un po', che studiate a fare meccanica razionale se no...
"Vulplasir":
Devi fare dei prodotti scalari...sforzati un po', ce studiate a fare meccanica razionale se no...
Allora, devo calcolare
$ b\cdot {sum m_i ((P_i-O)^2a-[(P_i-O)\cdot a](P_i-O)) } $
Per la proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma dovrei poter scrivere
$ sum m_i b\cdot{(P_i-O)^2a-[(P_i-O)\cdot a](P_i-O) } $
ancora per la proprietà distributiva
$ sum m_i {b\cdot(P_i-O)^2a- b\cdot{ [(P_i-O)\cdot a ](P_i-O) }} $
Essendo il prodotto scalare tra due vettori uno scalare, per l’omogeneità possiamo scrivere
$b\cdot{[(P_i-O)\cdot a](P_i-O) }= [P_i-O)\cdot a][b\cdot(P_i-O)]$
Da cui
$ sum m_i {b\cdot(P_i-O)^2a-[(P_i-O)\cdot a][b\cdot(P_i-O)]} $
È corretto fin qui? A questo punto cosa dovrei fare?
Si vabbè lasciamo stare omogeneità, ditributività e altre amenità...insomma perché quell'espressione finale che hai ottenuto, che corrisponde a $b*Ia$ è uguale a $a*Ib$...qual è l'espressione di $a*Ib$?
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