Il sistema di riferimento delle coordinate polari è inerziale?
Studiando l'espressione dell'accelerazione in coordinate polari mi è sorto il seguente dubbio: tale sistema di riferimento è da considerarsi non inerziale?
Esso è un sistema di riferimento rotante (dunque non dovrebbe essere inerziale) la cui particolarità è che il punto si trova sempre sull' "asse x" (che sarebbe l'asse indivituato dal versore $\hat{r}$). E' corretto vederlo così? Riporto l'espressione dell'accelerazione.
$\vec{a}=
( \ddot r - r\dot\varphi^2) \hat{r} +( r\ddot\varphi + 2\dot r \dot\varphi ) \hat{\varphi} \ $ (1)
Tale dubbio nasce dal fatto che, ad esempio, vi è un termine analogo a quello di Coriolis in (1), $ 2\dot r \dot\varphi $. Quello che non riesco a capire è se sia giusto dal punto di vista fisico considerare quel termine come l'esatto analogo del termine di Coriolis che compare nell'espressione generale dell'accelerazione per sistemi non inerziali rotanti (riporto di seguito tale espressione). In quel caso rappresenta un accelerazione dovuta a una forza fittizia, ma in quello delle coordinate polari? La forza è fittizia?
$\vec{a}=\vec{a}\'+2\vec{\omega}\times\vec{v}\'+\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\'+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}'\)$ (2)
Non avendo trovato fonte di chiarimento altrove, cito la pagina Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coo ... olis_terms (perdonate la carenza della traduzione
) e evidenzio le cose che più mi lasciano perplesso.
Sembrerebbe quindi che sia sbagliato considerare il sistema di riferimento delle coordinate polari come un sistema non inerziale, dal momento che si fa riferimento all'utilizzo di coordinate polari in un sistema inerziale, che è chiaramente in contrasto con la mia idea.
Mi chiedo allora come debbano essere interpretati tali termini ("coriolis" e centrifugo) nella (1), se il sistema è inerziale (e dunque non vi sono forze apparenti).
Nella citazione si spiega la presenza del termine "di Coriolis" (ammesso che sia corretto chiamarlo così) come una conseguenza della derivazione dell'espressione dell'accelerazione, dal momento che si prendono le derivate anche dei versori, non essendo questi fissi. Questa però è esattamente la stessa cosa che si fa quando si ricava l'espressione dell'accelerazione (2) per un (vero?) sistema non inerziale : allora anche in quel caso le forze fittizie sono "solo conseguenze della derivazione"?
Oltre a scoprire finalmente se il sistema della coordinate polari è inerziale o meno mi piacerebbe molto avere qualche chiarimento, specie a riguardo della corretta interpretazione dei termini che compaiono, nel caso in cui il sistema delle coordinate polari sia effettivamente inerziale.
Esso è un sistema di riferimento rotante (dunque non dovrebbe essere inerziale) la cui particolarità è che il punto si trova sempre sull' "asse x" (che sarebbe l'asse indivituato dal versore $\hat{r}$). E' corretto vederlo così? Riporto l'espressione dell'accelerazione.
$\vec{a}=
( \ddot r - r\dot\varphi^2) \hat{r} +( r\ddot\varphi + 2\dot r \dot\varphi ) \hat{\varphi} \ $ (1)
Tale dubbio nasce dal fatto che, ad esempio, vi è un termine analogo a quello di Coriolis in (1), $ 2\dot r \dot\varphi $. Quello che non riesco a capire è se sia giusto dal punto di vista fisico considerare quel termine come l'esatto analogo del termine di Coriolis che compare nell'espressione generale dell'accelerazione per sistemi non inerziali rotanti (riporto di seguito tale espressione). In quel caso rappresenta un accelerazione dovuta a una forza fittizia, ma in quello delle coordinate polari? La forza è fittizia?
$\vec{a}=\vec{a}\'+2\vec{\omega}\times\vec{v}\'+\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\'+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}'\)$ (2)
Non avendo trovato fonte di chiarimento altrove, cito la pagina Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coo ... olis_terms (perdonate la carenza della traduzione
) e evidenzio le cose che più mi lasciano perplesso.Il termine $ r \ dot \ varphi ^ 2 $ è a volte indicato come il termine centrifugo, e il termine $ 2 \ dot r \ dot \ varphi $ come il termine di Coriolis. Anche se queste espressioni hanno qualche somiglianza nella forma agli effetti centrifughi e di Coriolis che si riscontrano nei sistemi di riferimento in rotazione, queste non sono la stessa cosa. In particolare, la velocità angolare che compare nell'espressione in coordinate polari è quella della particella sotto osservazione, $ \ dot {\ varphi} $, mentre nella meccanica classica newtoniana sarebbe la velocità angolare $ Ω $ del sistema di riferimento rotante. Le forze centrifughe e di Coriolis, dotate di un tale significato fisico, appaiono solo nei sistemi non inerziali. Al contrario, questi termini, che appaiono quando l'accelerazione è espressa in coordinate polari, sono una conseguenza matematica della derivazione; questi termini appaiono ovunque vengano usate le coordinate polari. In particolare, questi termini appaiono anche quando coordinate polari sono utilizzate in sistemi di riferimento inerziali, dove non compaiono forze centrifughe e di Coriolis.
Sembrerebbe quindi che sia sbagliato considerare il sistema di riferimento delle coordinate polari come un sistema non inerziale, dal momento che si fa riferimento all'utilizzo di coordinate polari in un sistema inerziale, che è chiaramente in contrasto con la mia idea.
Mi chiedo allora come debbano essere interpretati tali termini ("coriolis" e centrifugo) nella (1), se il sistema è inerziale (e dunque non vi sono forze apparenti).
Nella citazione si spiega la presenza del termine "di Coriolis" (ammesso che sia corretto chiamarlo così) come una conseguenza della derivazione dell'espressione dell'accelerazione, dal momento che si prendono le derivate anche dei versori, non essendo questi fissi. Questa però è esattamente la stessa cosa che si fa quando si ricava l'espressione dell'accelerazione (2) per un (vero?) sistema non inerziale : allora anche in quel caso le forze fittizie sono "solo conseguenze della derivazione"?
Oltre a scoprire finalmente se il sistema della coordinate polari è inerziale o meno mi piacerebbe molto avere qualche chiarimento, specie a riguardo della corretta interpretazione dei termini che compaiono, nel caso in cui il sistema delle coordinate polari sia effettivamente inerziale.
Risposte
Un sistema di riferimento non è di per sé né inerziale né non inerziale, è solo un modo per misurare le coordinate spaziali di un corpo, di solito messe in relazione col tempo.
Le caratteristiche cinematiche di un corpo, come il vettore velocità e il vettore accelerazione, possono essere pensate indipendenti dalle coordinate. Ad esempio la velocità può essere pensata come un vettore allineato con la direzione del corpo e lungo tanto quanto è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato in un intervallo dt. Così pure l'accelerazione è il rapporto tra la differenza dei vettori velocità in due istanti molto vicini, rapportata alla differenza di tempo dt.
Le leggi del moto vogliono che un corpo non soggetto a interazioni esterne (forze) prosegua il suo moto con vettore velocità costante e quindi vettore accelerazione zero.
Se adesso vogliamo esprimere questi vettori come funzioni di certe coordinate allora siamo obbligati a scegliere un sistema di coordinate.
Questo sistema di riferimento si definisce inerziale quando in esso le traiettorie, cioè le funzioni parametriche del tempo, del moto del corpo di cui sopra (cioè non soggetto a forze) sono delle rette e il modulo della velocità è in esso costante, cioè i tratti di retta percorsi in tempi diversi ma riferiti al medesimo tempuscolo dt sono sono sempre uguali.
Finora io non sono entrato nel merito di come siano fatti questi sistemi di coordinate, ho solo espresso delle caratteristiche in un certo senso intrinseche delle traiettorie osservate per i corpi liberi.
Entrando nel merito della tipologia del sistema di coordinate, scopriamo adesso che il sistema più semplice per misurare i parametri cinematici di un corpo non soggetto a forze è il sistema cartesiano, nel quale la velocità si scopre avere componenti $dotx$ e $doty$, e l'accelerazione $ddotx$ e $ddoty$. In un sistema inerziale cartesiano, dunque, un corpo non soggetto a forze si muove con coordinate $ddotx=0$ e $ddoty=0$, perché nel sistema cartesiano l'accelerazione cinematica coincide con la derivata seconda delle coordinate, in termini di componenti.
Se invece vogliamo rappresentare il moto del corpo in altre coordinate, ad esempio polari, troviamo che l'espressione della velocità e della accelerazione non sono così semplici, ma sono abbastanza complicate perché in questo caso l'accelerazione cinematica non coincide con la derivata seconda delle coordinate, in termini di componenti.
Io direi che la storia finisce qui, il resto è analisi matematica.
Quando invece ci troviamo di fronte a sistemi di coordinate rotanti, e quindi sicuramente non inerziali, allora abbiamo bisogno di relazioni che mettano in reciproca corrispondenza l'accelerazione cinematica assoluta (cioè quella misurata in un sistema inerziale) con l'accelerazione relativa misurata nel sistema rotante, e allora ecco che compaiono i termini correttivi centrifugo e di Coriolis. Ma questo è tutto un altro discorso, e la somiglianza deriva dal fatto che il sistema rotante viene caratterizzato da una velocità angolare che è la derivata temporale di una coordinata polare, cioè un angolo. Ma le somiglianze finiscono qui.
Le caratteristiche cinematiche di un corpo, come il vettore velocità e il vettore accelerazione, possono essere pensate indipendenti dalle coordinate. Ad esempio la velocità può essere pensata come un vettore allineato con la direzione del corpo e lungo tanto quanto è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato in un intervallo dt. Così pure l'accelerazione è il rapporto tra la differenza dei vettori velocità in due istanti molto vicini, rapportata alla differenza di tempo dt.
Le leggi del moto vogliono che un corpo non soggetto a interazioni esterne (forze) prosegua il suo moto con vettore velocità costante e quindi vettore accelerazione zero.
Se adesso vogliamo esprimere questi vettori come funzioni di certe coordinate allora siamo obbligati a scegliere un sistema di coordinate.
Questo sistema di riferimento si definisce inerziale quando in esso le traiettorie, cioè le funzioni parametriche del tempo, del moto del corpo di cui sopra (cioè non soggetto a forze) sono delle rette e il modulo della velocità è in esso costante, cioè i tratti di retta percorsi in tempi diversi ma riferiti al medesimo tempuscolo dt sono sono sempre uguali.
Finora io non sono entrato nel merito di come siano fatti questi sistemi di coordinate, ho solo espresso delle caratteristiche in un certo senso intrinseche delle traiettorie osservate per i corpi liberi.
Entrando nel merito della tipologia del sistema di coordinate, scopriamo adesso che il sistema più semplice per misurare i parametri cinematici di un corpo non soggetto a forze è il sistema cartesiano, nel quale la velocità si scopre avere componenti $dotx$ e $doty$, e l'accelerazione $ddotx$ e $ddoty$. In un sistema inerziale cartesiano, dunque, un corpo non soggetto a forze si muove con coordinate $ddotx=0$ e $ddoty=0$, perché nel sistema cartesiano l'accelerazione cinematica coincide con la derivata seconda delle coordinate, in termini di componenti.
Se invece vogliamo rappresentare il moto del corpo in altre coordinate, ad esempio polari, troviamo che l'espressione della velocità e della accelerazione non sono così semplici, ma sono abbastanza complicate perché in questo caso l'accelerazione cinematica non coincide con la derivata seconda delle coordinate, in termini di componenti.
Io direi che la storia finisce qui, il resto è analisi matematica.
Quando invece ci troviamo di fronte a sistemi di coordinate rotanti, e quindi sicuramente non inerziali, allora abbiamo bisogno di relazioni che mettano in reciproca corrispondenza l'accelerazione cinematica assoluta (cioè quella misurata in un sistema inerziale) con l'accelerazione relativa misurata nel sistema rotante, e allora ecco che compaiono i termini correttivi centrifugo e di Coriolis. Ma questo è tutto un altro discorso, e la somiglianza deriva dal fatto che il sistema rotante viene caratterizzato da una velocità angolare che è la derivata temporale di una coordinata polare, cioè un angolo. Ma le somiglianze finiscono qui.
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