Il problema generale del tiro
Io dalle leggi generali:
$v(t) = v_0 + at$ ed $s(t) =s_0 + v_0t + 1/2 at^2$
Ho trovato che
$v_x(t) = v_0 \cos \alpha$ senza accelerazione perchè la componente si muove di moto rettilineo uniforme giusto?
$v_y(t) = v_0\sin \alpha -(g) t$ qui ho sempre dei dubbi, l'accelerazione è rivolta verso il basso giusto? quindi bisogna cambiare segno...? di conseguenza:
$x(t) = v_0t\cos \alpha$ ed $y(t) = v_0t \sin \alpha - 1/2 (g)t^2$
Grazie
Se volessi trovare la traiettoria del proiettile? Come posso fare?
Risposte
"davidedesantis":
l'accelerazione è rivolta verso il basso giusto? quindi bisogna cambiare segno...? di conseguenza:
$x(t) = v_0t\cos \alpha$ ed $y(t) = v_0t \sin \alpha - 1/2 (g)t^2$
Si esatto.
"davidedesantis":
Se volessi trovare la traiettoria del proiettile? Come posso fare?
Devi eliminare la dipendenza del tempo dalle l.orarie, trovando un'equazione del tipo $y(x)$ ti lascio questo link in cui è spiegato:
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... 070802984/
Grazie mille, ma il link per il pdf non me lo apre...se volessi concettualmente capire il motivo per cui bisogna eliminare dalle legge orarie dei moti componenti la dipendenza oraria sapresti aiutarmi? 
Un generale moto parabolico, di velocità iniziale nota, che inizia nell'origine degli assi, ha leggi orarie:
$x(t)=v_0\cos\theta \cdot t \ \ (1)$
$y(t)=v_0\sin\theta\cdot t -\frac{1}{2}g t^2 \ \ (2)$
Sull'asse $x$ il moto è rettilineo uniforme (in accordo col fatto che $a_x=0$)mentre sull'asse $y$ è uniformemente accelerato.
Per determinare la traiettoria (cioè il luogo dei punti occupato dal punto durante il suo moto) eliminiamo il tempo dalle leggi orarie in modo da ottenere una $y(x)$.
Dalla (1) ricaviamo $t=\frac{x}{v_0\cos\theta}$ che sostituito nella (2) ci fornisce:
$y(x)=x\tan\theta-\frac{x^2g}{2v_0^2\cos^2\theta}$
che è evidentemente l'equazione di una parabola. (Se vedi ha concavità rivolta verso il basso e delle 2 radici una è proprio in $x=0$ in accordo col moto parabolico.
$x(t)=v_0\cos\theta \cdot t \ \ (1)$
$y(t)=v_0\sin\theta\cdot t -\frac{1}{2}g t^2 \ \ (2)$
Sull'asse $x$ il moto è rettilineo uniforme (in accordo col fatto che $a_x=0$)mentre sull'asse $y$ è uniformemente accelerato.
Per determinare la traiettoria (cioè il luogo dei punti occupato dal punto durante il suo moto) eliminiamo il tempo dalle leggi orarie in modo da ottenere una $y(x)$.
Dalla (1) ricaviamo $t=\frac{x}{v_0\cos\theta}$ che sostituito nella (2) ci fornisce:
$y(x)=x\tan\theta-\frac{x^2g}{2v_0^2\cos^2\theta}$
che è evidentemente l'equazione di una parabola. (Se vedi ha concavità rivolta verso il basso e delle 2 radici una è proprio in $x=0$ in accordo col moto parabolico.
perfetto, molto chiaro, solo una cosa, il moto sull'asse $y$ non è uniformemente decelerato?
Trovando le radici, quella uguale a zero ovviamente la scarto, l'altra sarebbe il punto in cui cade il proiettile giusto? mi viene
$x_c = (2\ v_0^2\ \sin \alpha\ \cos \alpha )/ g$
Se volessi trovare la gittata come posso fare?
Forse ho trovato...siccome $2 \sin \alpha\ \cos \alpha = \sin 2\alpha$ il seno è uguale a $1$ in $\pi/2$ quindi $\alpha$ deve essere uguale a $\pi/4$
Per trovare l'altezza massima, posso sempre dire che si trova dimezzando la gittata? essendo la parabola una funzione pari? o simmetrica...? io troverei che
$h_{\mathbb{max}} = (v_0 \sin 2\alpha) / (2g) $ però ho un dubbio...l'inclinazione affinchè l'altezza sia massima non dovrebbe essere $\pi/2$? però ho $\sin 2 \alpha$ che per essere $1$, $\alpha$ deve fare $\pi/4$....dove è la fregatura? oppure è giusto così? ho un dubbio sinceramente
Grazie
Trovando le radici, quella uguale a zero ovviamente la scarto, l'altra sarebbe il punto in cui cade il proiettile giusto? mi viene
$x_c = (2\ v_0^2\ \sin \alpha\ \cos \alpha )/ g$
Se volessi trovare la gittata come posso fare?
Forse ho trovato...siccome $2 \sin \alpha\ \cos \alpha = \sin 2\alpha$ il seno è uguale a $1$ in $\pi/2$ quindi $\alpha$ deve essere uguale a $\pi/4$
Per trovare l'altezza massima, posso sempre dire che si trova dimezzando la gittata? essendo la parabola una funzione pari? o simmetrica...? io troverei che
$h_{\mathbb{max}} = (v_0 \sin 2\alpha) / (2g) $ però ho un dubbio...l'inclinazione affinchè l'altezza sia massima non dovrebbe essere $\pi/2$? però ho $\sin 2 \alpha$ che per essere $1$, $\alpha$ deve fare $\pi/4$....dove è la fregatura? oppure è giusto così? ho un dubbio sinceramente
Grazie
no, la formula della gittata è proprio quella che hai scritto te.
$\alpha$ in teoria è un dato del problema e rappresenta l'angolo con cui viene lanciato il corpo
$\alpha$ in teoria è un dato del problema e rappresenta l'angolo con cui viene lanciato il corpo
Quindi anche $h_{\mathbb{max}}$ è giusta?
[quote=davidedesantis]perfetto, molto chiaro, solo una cosa, il moto sull'asse $y$ non è uniformemente decelerato?
Trovando le radici, quella uguale a zero ovviamente la scarto, l'altra sarebbe il punto in cui cade il proiettile giusto? mi viene
$x_c = (2\ v_0^2\ \sin \alpha\ \cos \alpha )/ g$
$x_m=(x_g)/2=x_c = ( v_0^2\ \sin \alpha\ \cos \alpha )/ g$
se sostituisci questa nella formula della traiettoria ottieni:
$y(x= (v_0^2\sin\alpha\cos\alpha)/ g)=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$
che corrisponde all'altezza massima. controlla se è uguale a quella che hai trovato te dalle relazioni trigonometriche
Trovando le radici, quella uguale a zero ovviamente la scarto, l'altra sarebbe il punto in cui cade il proiettile giusto? mi viene
$x_c = (2\ v_0^2\ \sin \alpha\ \cos \alpha )/ g$
$x_m=(x_g)/2=x_c = ( v_0^2\ \sin \alpha\ \cos \alpha )/ g$
se sostituisci questa nella formula della traiettoria ottieni:
$y(x= (v_0^2\sin\alpha\cos\alpha)/ g)=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$
che corrisponde all'altezza massima. controlla se è uguale a quella che hai trovato te dalle relazioni trigonometriche
non capisco come fa a venirti $sin^2 \alpha$
Comunque, se la formula della gitatta è giusta, per trovare l'altezza massima, cioè il vertice della parabola, non basterebbe dimezzare la formula della gittata massima? ed ho $h = (v_0^2 \sin 2 \alpha) / (2g)$ e non capisco perchè il libro m dia la formula $h = v_0^2/(2g) \sin^2 \alpha$ oppure sono uguali a meno di qualche formula trigonometrica? ovviamente è massima quando $\alpha$ mi permette di avere il $\sin$ uguale a $1$.
Grazie per la pazienza
Comunque, se la formula della gitatta è giusta, per trovare l'altezza massima, cioè il vertice della parabola, non basterebbe dimezzare la formula della gittata massima? ed ho $h = (v_0^2 \sin 2 \alpha) / (2g)$ e non capisco perchè il libro m dia la formula $h = v_0^2/(2g) \sin^2 \alpha$ oppure sono uguali a meno di qualche formula trigonometrica? ovviamente è massima quando $\alpha$ mi permette di avere il $\sin$ uguale a $1$.
Grazie per la pazienza
L'altezza risponde alla funzione $y$ mentre la gittata è funzione $x$ quindi non basta dimezzare $x$ per ottenere l'altezza massima.
Quando tu hai una parabola come fai a trovare il valore della parabola che corrisponde ad un valore di $x$?
Ad es. se volessi calcolare quanto vale $y$ con $x=2$ e la parabola ha la seguente funzione $y=x^2$ allora tu fai l'operazione di sostituire alla $x$ il valore $2$ quindi $y=2^2=4$
La stessa cosa la fai per trovare l'altezza massima, tu sai che essa è il valore della parabola che corrisponde a $(x_G)/2$ allora fai la stessa operazione di sostituire a $y(x)$ il valore di $(x_G)/2$ e sostituita al valore della traiettoria trovi $y(x)=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}=h_{\text{MAX}}$
Quindi è giusta quella del libro e corrisponde a quella che ti ho detto, probabilmente avrai fatto qualche errore di sostituzione. riprova e vedrai che ti risulta
Quando tu hai una parabola come fai a trovare il valore della parabola che corrisponde ad un valore di $x$?
Ad es. se volessi calcolare quanto vale $y$ con $x=2$ e la parabola ha la seguente funzione $y=x^2$ allora tu fai l'operazione di sostituire alla $x$ il valore $2$ quindi $y=2^2=4$
La stessa cosa la fai per trovare l'altezza massima, tu sai che essa è il valore della parabola che corrisponde a $(x_G)/2$ allora fai la stessa operazione di sostituire a $y(x)$ il valore di $(x_G)/2$ e sostituita al valore della traiettoria trovi $y(x)=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}=h_{\text{MAX}}$
Quindi è giusta quella del libro e corrisponde a quella che ti ho detto, probabilmente avrai fatto qualche errore di sostituzione. riprova e vedrai che ti risulta
Rispondo ora non perchè ci sia riuscito adesso, ma non ho avuto tempo...hai ragione ora mi esce!
Grazie mille
Grazie mille
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