Il ponte del Golden Gate
Salve,
Mi aiutereste con questo problema sulla dilatazione? Ho qualche difficoltà sulla seconda parte:
La distanza tra le torri dell'arcata principale del ponte è di $1280 m$. Un cavo è teso tra queste due torri ed ha una freccia di $134 m$ a $15°C$. Assumere $\alpha=11,7*10^-6$ per $°C$ per il cavo e calcolarne la variazione di lunghezza tra le torri e la variazione della freccia a metà di esso se la temperatura varia tra $-30°C$ a $+55°C$.
Per la lunghezza è facile $\DeltaL=1280m*\alpha*(55+30)=1,3m$
Ma per la freccia? Qua sul libro c'è un disegno che che considera il tirante come un arco di crf. ma come si continua?
Mi aiutereste con questo problema sulla dilatazione? Ho qualche difficoltà sulla seconda parte:
La distanza tra le torri dell'arcata principale del ponte è di $1280 m$. Un cavo è teso tra queste due torri ed ha una freccia di $134 m$ a $15°C$. Assumere $\alpha=11,7*10^-6$ per $°C$ per il cavo e calcolarne la variazione di lunghezza tra le torri e la variazione della freccia a metà di esso se la temperatura varia tra $-30°C$ a $+55°C$.
Per la lunghezza è facile $\DeltaL=1280m*\alpha*(55+30)=1,3m$
Ma per la freccia? Qua sul libro c'è un disegno che che considera il tirante come un arco di crf. ma come si continua?
Risposte
Non credo che sia come hai pensato tu. LA freccia, o saetta, di un arco di circonferenza, è la quantità indicata con $h$ nella figura di Wikipedia :
https://it.wikipedia.org/wiki/Saetta_(geometria)
quindi, dovresti prima calcolare la lunghezza dell'arco corrispondente alla freccia data, poi considerare la dilatazione lineare di questa lunghezza, e ricalcolare la freccia con la nuova lunghezza.
Per inciso, una fune sospesa tra due punti in un campo gravitazionale uniforme assume la forma della catenaria , cioè un arco di $cosh$ (coseno iperbolico) . SE però alla fune è attaccato un carico che ha valore costante in ciascun punto, nel senso della lunghezza, cioè tot $(kg)/m$ dal primo al secondo punto ( per esempio, il ponte dove passano le auto), l'arco risulta essere un pezzo di parabola. Come dice nella dispensa prima citata :
Èvinteressante...la forma della curva quando la catena non è omogenea ma il suo peso aumenta proporzionalmente a x nella direzione orizzontale: In questo caso si ha una parabola .
Galileo, se non erro, aveva supposto che si trattasse di una parabola anche senza il carico sospeso, e questo non è corretto [nota]Spero di ricordare bene la storia.[/nota] .
Dispensa interessante.
In ogni caso, l'arco di circonferenza è una semplificazione. Questo è un problema di brassica oleracea .
https://it.wikipedia.org/wiki/Saetta_(geometria)
quindi, dovresti prima calcolare la lunghezza dell'arco corrispondente alla freccia data, poi considerare la dilatazione lineare di questa lunghezza, e ricalcolare la freccia con la nuova lunghezza.
Per inciso, una fune sospesa tra due punti in un campo gravitazionale uniforme assume la forma della catenaria , cioè un arco di $cosh$ (coseno iperbolico) . SE però alla fune è attaccato un carico che ha valore costante in ciascun punto, nel senso della lunghezza, cioè tot $(kg)/m$ dal primo al secondo punto ( per esempio, il ponte dove passano le auto), l'arco risulta essere un pezzo di parabola. Come dice nella dispensa prima citata :
Èvinteressante...la forma della curva quando la catena non è omogenea ma il suo peso aumenta proporzionalmente a x nella direzione orizzontale: In questo caso si ha una parabola .
Galileo, se non erro, aveva supposto che si trattasse di una parabola anche senza il carico sospeso, e questo non è corretto [nota]Spero di ricordare bene la storia.[/nota] .
Dispensa interessante.
In ogni caso, l'arco di circonferenza è una semplificazione. Questo è un problema di brassica oleracea .
Ok ho seguito il suggerimento.
Trovato il raggio della "circonferenza" prendendo come riferimeno l'inizio e la fine del cavo ed il punto a metà del ponte:
$r=("Freccia"^2+("corda crf"/2)^2)/(2*"Freccia")=1595m$
Dove la corda è naturalmente $1280m$
Da cui ottengo che la lunghezza dell'arco è:
$L_0=1317$
Quindi il mio $\DeltaL$ dovrebbe essere
$\DeltaL=1317*11,7*10^(-6)*(55+30)°C=1,310m$
$L=1317+1,310=1318m$
Però non ho capito a questo punto
come proseguire e fare questo ultimo passaggio.
[ot]
Per un momento ho pensato che fosse chissà quale curva
E grazie della segnalazione della dispensa[/ot]
Trovato il raggio della "circonferenza" prendendo come riferimeno l'inizio e la fine del cavo ed il punto a metà del ponte:
$r=("Freccia"^2+("corda crf"/2)^2)/(2*"Freccia")=1595m$
Dove la corda è naturalmente $1280m$
Da cui ottengo che la lunghezza dell'arco è:
$L_0=1317$
Quindi il mio $\DeltaL$ dovrebbe essere
$\DeltaL=1317*11,7*10^(-6)*(55+30)°C=1,310m$
$L=1317+1,310=1318m$
Però non ho capito a questo punto
"Shackle":
e ricalcolare la freccia con la nuova lunghezza
come proseguire e fare questo ultimo passaggio.
[ot]
"Shackle":
Questo è un problema di brassica oleracea .
Per un momento ho pensato che fosse chissà quale curva
E grazie della segnalazione della dispensa[/ot]
L’arco di lunghezza $L$ appartiene a un’altra circonferenza, avente un altro raggio, ma la stessa corda di prima. Quindi la freccia cambia.
Direi che la distanza tra le torri non cambia dato che le torri sono ancorate al suolo. La lunghezza della fune aumenta con legge delta l=alfa*l_0. La forma della fune si uò assumere a catenaria (o in prima approssimazione parabolica). Da qui con un po di geometria trovi la nuova freccia.
Tutto si può fare, adottando opportune ipotesi. Se il testo parla di circonferenza, io assumerei questa. Altrimenti, puoi pensare alle altre curve, ma alla fine la differenza è piccola. L’essenziale è che il problema è geometricamente definito.
Mi sa che c'è qualcosa che non va anche con il risultato del libro. La freccia viene minore, in particolare verrebbe $133,9m$ usando questo procedimento (e anche il risultato del libro è lo stesso).
Non dovrebbe risultare leggermente maggiore della freccia iniziale?
Non dovrebbe risultare leggermente maggiore della freccia iniziale?
LA freccia data dal testo è 134m a 15ºC . Tu stai calcolando la variazione di lunghezza quando la temperatura varia da -30ºC a +55ºC . Se si ammette sempre valida la variazione lineare della lunghezza, c'è un intervallo di temperature negative e uno di temperature positive , che agiscono in maniera diversa sul comportamento del cavo. Credo che sia questo il motivo del risultato ottenuto.
Si direi che è questo grazie a tutti
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