Il pendolo
Un pendolo reale compie delle piccole oscillazioni attorno ad un asse
orizzontale e con pulsazione pari ad $omega_1$.
Arrestato il pendolo, si aggiunge, sotto l'asse e a distanza $L$ da esso, una
massa di valore $m$ sensibilmente minore di quella del pendolo.
Rimesso in movimento il pendolo,sempre per piccole oscillazioni,si nota
che risulta una diversa pulsazione $omega_2$.
Calcolare il momento d'inerzia del pendolo rispetto all'asse.
karl
orizzontale e con pulsazione pari ad $omega_1$.
Arrestato il pendolo, si aggiunge, sotto l'asse e a distanza $L$ da esso, una
massa di valore $m$ sensibilmente minore di quella del pendolo.
Rimesso in movimento il pendolo,sempre per piccole oscillazioni,si nota
che risulta una diversa pulsazione $omega_2$.
Calcolare il momento d'inerzia del pendolo rispetto all'asse.
karl
Risposte
Ci provo...
Come noto la pulsazione di un pendolo reale, per piccole oscillazione rispetto all'asse, è data da $omega=sqrt((mgh)/I)$ essendo $m$ la massa del pendolo, $I$ il momento di inerzia del pendolo rispetto all'asse di rotazione e $h$ la distanza di quest'ultimo dal centro di massa.
Nel nostro caso abbiamo inizialmente
$omega_(1)=sqrt((Mgh)/I)$ (1)
poichè $m$ è sensibilmente più piccola della massa $M$, la sua aggiunta non altera di molto la posizione del $c.d.m.$ del pendolo; quindi possiamo supporre $h_(i)~~h_(f)=h$ e $M_(f)~~M_(i)=M$. In questo modo per $omega_(2)$ otteniamo
$omega_(2)=sqrt((Mgh)/(I+mL^2))$ (2)
dividendo la (1) per la (2) e risolvendo:
$I=(omega_(2)^2mL^2)/(omega_(1)^2-omega_(2)^2)$
Come noto la pulsazione di un pendolo reale, per piccole oscillazione rispetto all'asse, è data da $omega=sqrt((mgh)/I)$ essendo $m$ la massa del pendolo, $I$ il momento di inerzia del pendolo rispetto all'asse di rotazione e $h$ la distanza di quest'ultimo dal centro di massa.
Nel nostro caso abbiamo inizialmente
$omega_(1)=sqrt((Mgh)/I)$ (1)
poichè $m$ è sensibilmente più piccola della massa $M$, la sua aggiunta non altera di molto la posizione del $c.d.m.$ del pendolo; quindi possiamo supporre $h_(i)~~h_(f)=h$ e $M_(f)~~M_(i)=M$. In questo modo per $omega_(2)$ otteniamo
$omega_(2)=sqrt((Mgh)/(I+mL^2))$ (2)
dividendo la (1) per la (2) e risolvendo:
$I=(omega_(2)^2mL^2)/(omega_(1)^2-omega_(2)^2)$
C'e' un errore nei calcoli e comunque non si puo'
prescindere del tutto dal momento di forza creato da m.
karl
prescindere del tutto dal momento di forza creato da m.
karl
Ho corretto
infatto ho aggiunto il contributo $mL^2$
"karl":
e comunque non si puo'
prescindere del tutto dal momento di forza creato da m.
karl
infatto ho aggiunto il contributo $mL^2$
Quello e' il momento d'inerzia:io parlavo invece del momento
di rotazione dovuto ad mg quando il pendolo ruota di un certo
angolo.
karl
di rotazione dovuto ad mg quando il pendolo ruota di un certo
angolo.
karl
allora, inizialmente $omega_(1)$ è data da
$omega_(1)=sqrt((Mgh)/I)$
e successivamente
$omega_(2)=sqrt(((M+m)g((Mh+mL)/(M+m)))/(I+mL^2))$ per la definizione di c.d.m.
(Il contributo dovuto al momento torcente generato dalla massa $m$ è "già presente" all'interno di questa formula perchè si ricava a partire dal fatto che in un moto armonico $tau=kappatheta$ e quindi sostanzialmente il momento torcente è già implicito nella formula). Ora dai dati del testo di deduce che $m$ è molto più piccola di $M$ per cui è lecito supporre $m/M~~0$, per cui
$omega_(2)=sqrt((M(1+m/M)g(((Mh)/M+(mL)/M)/(M/M+m/M)))/(I+mL^2))=sqrt((Mgh)/(I+mL^2))$
Dividendo e risolvendo
$I=(omega_(2)^2)/(omega_(1)^2-omega_(2)^2)mL^2$
da cui si vede che se $omega_(2)toomega_(1)$, $I$ diventa molto grande coerentemente con il fatto che un pendolo dotato di una grande componente inerziale manifesta variazioni del periodo trascurabili quando viene sottratta o aggiunta della massa molto minore della sua.
Non vedo cosa ci sia che non funziona.
$omega_(1)=sqrt((Mgh)/I)$
e successivamente
$omega_(2)=sqrt(((M+m)g((Mh+mL)/(M+m)))/(I+mL^2))$ per la definizione di c.d.m.
(Il contributo dovuto al momento torcente generato dalla massa $m$ è "già presente" all'interno di questa formula perchè si ricava a partire dal fatto che in un moto armonico $tau=kappatheta$ e quindi sostanzialmente il momento torcente è già implicito nella formula). Ora dai dati del testo di deduce che $m$ è molto più piccola di $M$ per cui è lecito supporre $m/M~~0$, per cui
$omega_(2)=sqrt((M(1+m/M)g(((Mh)/M+(mL)/M)/(M/M+m/M)))/(I+mL^2))=sqrt((Mgh)/(I+mL^2))$
Dividendo e risolvendo
$I=(omega_(2)^2)/(omega_(1)^2-omega_(2)^2)mL^2$
da cui si vede che se $omega_(2)toomega_(1)$, $I$ diventa molto grande coerentemente con il fatto che un pendolo dotato di una grande componente inerziale manifesta variazioni del periodo trascurabili quando viene sottratta o aggiunta della massa molto minore della sua.
Non vedo cosa ci sia che non funziona.
Niente autorizza a porre m/M=0 (all'incirca).
Ho detto solo che m e' piccola rispetto a quella del
pendolo.(Esempio:m=50g,massa pendolo=1kg).
Pertanto,per maggior precisione, il momento di mg lo aggiungerei.
Ed e' quello che fa il testo da cui ho tratto l'esercizio che pone
come risultato:
$I=mL^2*(omega_2^2-g/L)/(omega_1^2-omega_2^2)$
karl
Ho detto solo che m e' piccola rispetto a quella del
pendolo.(Esempio:m=50g,massa pendolo=1kg).
Pertanto,per maggior precisione, il momento di mg lo aggiungerei.
Ed e' quello che fa il testo da cui ho tratto l'esercizio che pone
come risultato:
$I=mL^2*(omega_2^2-g/L)/(omega_1^2-omega_2^2)$
karl
Va bene, però allora non capisco perchè il testo dice "sensibilmente minore".
Comunque ad occhio mi pare che senza tenere conto dell'approssimazione $M$ rimane, tu come hai fatto?
Comunque ad occhio mi pare che senza tenere conto dell'approssimazione $M$ rimane, tu come hai fatto?
@giuseppe
Se non ti dispiace ti rispondo al piu' tardi domani mattina.
Or ora ho finito di scrivere la soluzione per il quesito
di Lindoro sulla costruzione di un triangolo.
Questo MathPL ( o come si chiama ) sara' pure una bella invenzione ma a lungo andare stronca !!
karl
Se non ti dispiace ti rispondo al piu' tardi domani mattina.
Or ora ho finito di scrivere la soluzione per il quesito
di Lindoro sulla costruzione di un triangolo.
Questo MathPL ( o come si chiama ) sara' pure una bella invenzione ma a lungo andare stronca !!
karl
Si, ti capisco, non ti preoccupare.
Ecco la mia soluzione.
In assenza della massa m l'equazione del pendolo e' (per piccole oscillazioni):
$I(d^2theta)/(dt^2)=-Mgatheta$
(dove I e' il momento d'inerzia incognito , a e' la distanza del c.m. dall'asse
ed M la massa del pendolo)
Oppure:
$(d^2theta)/(dt^2)+(Mga)/I theta=0$
A cui corrisponde una pulsazione:
$omega_1^2=(Mga)/I$, da cui (1) $Iomega_1^2=Mga$
In presenza di m l'equazione del pendolo (e sempre per piccole
oscillazioni) si modifica in quanto
occorre considerare il momento d'inerzia $mL^2$ e il momento
di rotazione $-mgLtheta$ (che non possono essere a priori trascurati).
Pertanto l'equazione diventa:
$(I+mL^2)(d^2theta)/(dt^2)=-Mgatheta-mgLtheta$
Oppure:
$(d^2theta)/(dt^2)+(Mga+mgL)/(I+mL^2)theta=0$
A cui corrisponde una pulsazione:
$omega_2^2=(Mga+mgL)/(I+mL^2)$
Tenuto conto della (1), risulta:
$omega_2^2=(Iomega_1^2+mgL)/(I+mL^2)$
da cui infine si ricava I:
$I=mL^2*(omega_2^2-g/L)/(omega_1^2-omega_2^2)$
karl
In assenza della massa m l'equazione del pendolo e' (per piccole oscillazioni):
$I(d^2theta)/(dt^2)=-Mgatheta$
(dove I e' il momento d'inerzia incognito , a e' la distanza del c.m. dall'asse
ed M la massa del pendolo)
Oppure:
$(d^2theta)/(dt^2)+(Mga)/I theta=0$
A cui corrisponde una pulsazione:
$omega_1^2=(Mga)/I$, da cui (1) $Iomega_1^2=Mga$
In presenza di m l'equazione del pendolo (e sempre per piccole
oscillazioni) si modifica in quanto
occorre considerare il momento d'inerzia $mL^2$ e il momento
di rotazione $-mgLtheta$ (che non possono essere a priori trascurati).
Pertanto l'equazione diventa:
$(I+mL^2)(d^2theta)/(dt^2)=-Mgatheta-mgLtheta$
Oppure:
$(d^2theta)/(dt^2)+(Mga+mgL)/(I+mL^2)theta=0$
A cui corrisponde una pulsazione:
$omega_2^2=(Mga+mgL)/(I+mL^2)$
Tenuto conto della (1), risulta:
$omega_2^2=(Iomega_1^2+mgL)/(I+mL^2)$
da cui infine si ricava I:
$I=mL^2*(omega_2^2-g/L)/(omega_1^2-omega_2^2)$
karl
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