Il momento angolare e' arbitrario?
Caro forum,
la velocita' e altre quantita' vettoriali dipendono dal sistema di riferimento in cui si osservano.....
Il momento angolare si calcola sciegliendo il punto di rotazione. Quindi anche nello stesso sistema di riferimento c'e variazione del momento angolare...
Come mai? Di che tipo di variazione si tratta? Una variazione di natura diversa da quella dovuta la cambiamento di sist. di rif....
grazie
antennaboy
la velocita' e altre quantita' vettoriali dipendono dal sistema di riferimento in cui si osservano.....
Il momento angolare si calcola sciegliendo il punto di rotazione. Quindi anche nello stesso sistema di riferimento c'e variazione del momento angolare...
Come mai? Di che tipo di variazione si tratta? Una variazione di natura diversa da quella dovuta la cambiamento di sist. di rif....
grazie
antennaboy
Risposte
Antennaboy,
Francamente non capisco come possano venire certi dubbi.
Il momento angolare non è “arbitrario” : che cosa vuol dire “arbitrario” ?
Il momento angolare è una grandezza meccanica, suscettibile di rappresentazione vettoriale, come tante altre grandezze , ad esempio il momento di una forza rispetto ad un polo : è un “momento” , quindi (a parità di quantità di moto) varia quando varia il polo , pur rimanendo nello stesso sistema di riferimento.
Infatti, per una particella materiale avente q.d.m. $\vecp$ in un riferimento dato, che supponiamo inerziale, se O ed O’ sono due poli e calcoliamo i due momenti angolari $\vecL_o=\vecrX\vecp$ e $vecL_(o')=\vecr'X\vecp$ , risulta che : $\vecL_o=\vecL_(o')+\vec(OO')X\vecp$ ( con $X$ indico il prodotto vettoriale)
La variabilità nello stesso riferimento non è una peculiarità del momento angolare. Se calcoli il momento di una forza rispetto a due poli, hai la stessa relazione ora vista tra essi.
Occorre precisare quanto segue:
è un errore pensare che il momento angolare sia associato solo ad un moto rotatorio ( ma è un errore che fanno in tanti). Se abbiamo un punto materiale di massa $m$ che si muove con velocità $\vecv=cost$ (costante vettoriale!), e un polo O che supponiamo fisso, a distanza$d$ dalla retta su cui giace $\vecv$ , esiste un momento angolare $\vecL$ rispetto ad O , il cui vettore è normale al foglio ( è un prodotto vettoriale ) , e il cui modulo è dato da $L=mvd$ . Il verso del vettore $\vecL$ dipende dal verso di $\vecp$ e dal verso del raggio vettore che unisce il polo O ad un punto della retta . Ma l'intensità è costante. Come vedi O non è un “centro di rotazione” , è un polo ; e se prendiamo un altro polo O' sulla parallela per O al vettore $\vecp$ , il momento angolare rispetto ad O' ha lo stesso valore di quello rispetto ad O : è un risultato del calcolo vettoriale.
Se su un punto materiale, che ha quantità di moto e quindi momento angolare rispetto ad un polo O, agisce il momento di una forza rispetto allo stesso polo, questo momento è causa di "variazione del momento angolare nel tempo" . Si dimostra con una semplice derivazione di prodotto vettoriale. Questo si estende poi ai sistemi di particelle, inclusi i corpi rigidi, fatte le dovute ipotesi sulle forze interne : “ La variazione nel tempo del momento angolare di un sistema, rispetto ad un polo, è uguale al momento delle forze esterne agenti sul sistema , rispetto allo stesso polo” . Questa è una delle Equazioni fondamentali della Dinamica.
Francamente non capisco come possano venire certi dubbi.
Il momento angolare non è “arbitrario” : che cosa vuol dire “arbitrario” ?
Il momento angolare è una grandezza meccanica, suscettibile di rappresentazione vettoriale, come tante altre grandezze , ad esempio il momento di una forza rispetto ad un polo : è un “momento” , quindi (a parità di quantità di moto) varia quando varia il polo , pur rimanendo nello stesso sistema di riferimento.
Infatti, per una particella materiale avente q.d.m. $\vecp$ in un riferimento dato, che supponiamo inerziale, se O ed O’ sono due poli e calcoliamo i due momenti angolari $\vecL_o=\vecrX\vecp$ e $vecL_(o')=\vecr'X\vecp$ , risulta che : $\vecL_o=\vecL_(o')+\vec(OO')X\vecp$ ( con $X$ indico il prodotto vettoriale)
La variabilità nello stesso riferimento non è una peculiarità del momento angolare. Se calcoli il momento di una forza rispetto a due poli, hai la stessa relazione ora vista tra essi.
Occorre precisare quanto segue:
è un errore pensare che il momento angolare sia associato solo ad un moto rotatorio ( ma è un errore che fanno in tanti). Se abbiamo un punto materiale di massa $m$ che si muove con velocità $\vecv=cost$ (costante vettoriale!), e un polo O che supponiamo fisso, a distanza$d$ dalla retta su cui giace $\vecv$ , esiste un momento angolare $\vecL$ rispetto ad O , il cui vettore è normale al foglio ( è un prodotto vettoriale ) , e il cui modulo è dato da $L=mvd$ . Il verso del vettore $\vecL$ dipende dal verso di $\vecp$ e dal verso del raggio vettore che unisce il polo O ad un punto della retta . Ma l'intensità è costante. Come vedi O non è un “centro di rotazione” , è un polo ; e se prendiamo un altro polo O' sulla parallela per O al vettore $\vecp$ , il momento angolare rispetto ad O' ha lo stesso valore di quello rispetto ad O : è un risultato del calcolo vettoriale.
Se su un punto materiale, che ha quantità di moto e quindi momento angolare rispetto ad un polo O, agisce il momento di una forza rispetto allo stesso polo, questo momento è causa di "variazione del momento angolare nel tempo" . Si dimostra con una semplice derivazione di prodotto vettoriale. Questo si estende poi ai sistemi di particelle, inclusi i corpi rigidi, fatte le dovute ipotesi sulle forze interne : “ La variazione nel tempo del momento angolare di un sistema, rispetto ad un polo, è uguale al momento delle forze esterne agenti sul sistema , rispetto allo stesso polo” . Questa è una delle Equazioni fondamentali della Dinamica.
grazie peppensionato45,
hai ragione ovviamente: tutte le quantita' vettoriali definibili come un momento dipendono dalla scielta del polo dal quale poi si calcola il momento angolare....
Il momento angolare si puo' scomporre in due parti: spin e orbitale.....Ho letto che in meccanica quantistica uno di questi due, spin o orbitale, si mantiene costante anche al variare del polo....
Cercavo quindi di riflettere su cosa significa avere momento angolare per un corpo....Come tu hai detto, anche un corpo che va dritto con una certa q.d.m. puo' avere momento angolare rispetto ad un polo che non sia sulla sua retta di viaggio...
Associare rotazione e momento angolare sembra sbagliato quindi... potremmo dire che se un corpo ha un certo momento angolare ha quindi la potenzialita' di indurre in rotazione oggetti con cui collide, rotazione vista dal punto di vista di un'osservatore che si trova sul polo del momento angolare?
Faccio un po' fatica a separare l'idea di rotazione e quella momento angolare...
hai ragione ovviamente: tutte le quantita' vettoriali definibili come un momento dipendono dalla scielta del polo dal quale poi si calcola il momento angolare....
Il momento angolare si puo' scomporre in due parti: spin e orbitale.....Ho letto che in meccanica quantistica uno di questi due, spin o orbitale, si mantiene costante anche al variare del polo....
Cercavo quindi di riflettere su cosa significa avere momento angolare per un corpo....Come tu hai detto, anche un corpo che va dritto con una certa q.d.m. puo' avere momento angolare rispetto ad un polo che non sia sulla sua retta di viaggio...
Associare rotazione e momento angolare sembra sbagliato quindi... potremmo dire che se un corpo ha un certo momento angolare ha quindi la potenzialita' di indurre in rotazione oggetti con cui collide, rotazione vista dal punto di vista di un'osservatore che si trova sul polo del momento angolare?
Faccio un po' fatica a separare l'idea di rotazione e quella momento angolare...
"antennaboy":
Associare rotazione e momento angolare sembra sbagliato quindi... potremmo dire che se un corpo ha un certo momento angolare ha quindi la potenzialita' di indurre in rotazione oggetti con cui collide, rotazione vista dal punto di vista di un'osservatore che si trova sul polo del momento angolare?
Faccio un po' fatica a separare l'idea di rotazione e quella momento angolare...
Associare rotazione e momento angolare non è sbagliato, è solamente "limitativo" , come ti ho già detto, cioè non include tutti i casi : basta riflettere sulla definizione ( la più semplice, quella relativa ad un punto materiale dotato di velocità : $\vecL=\vecrX\vecp$) .
Quello che occorre capire è che il momento angolare non è altro che un "momento" , e quindi si comporta come tale : perciò è definito anche quando la velocità del punto materiale mobile è costante (vettoriale!).
Ti faccio un esempio, che risponde anche al tuo quesito . Considera un pendolo semplice, con una massa sferica $m$ attaccata al filo. Tieni in orizzontale il filo sostenendo la massa . Sotto al pendolo , su un piano orizzontale (senza attrito, questo ora non ci interessa) , c’è una altra massa , uguale alla prima , ferma. Lascia andare la massa pendolare : esso colpirà la sfera ferma , ( che è a distanza adeguata dal punto di sospensione per avere un urto centrato) e se l’urto è perfettamente elastico , e le due masse sono uguali, il pendolo si ferma , la massa sul piano prende tutta la quantità di moto della massa pendolare , e parte su una traiettoria rettilinea . Ti pare che la massa cha va in moto descriva una curva ? No . Le due masse si sono scambiate la q.d.m. ma la seconda non acquisisce velocità angolare rispetto al punto di sospendita del pendolo . Possiamo dire che c’è uno scambio anche di momento angolare ? Sì. Anzi in questo caso si può dire che il sistema delle due masse “ conserva” il momento angolare totale ( urto perfettamente elastico).
Considera ora la situazione simmetrica , cioè : pendolo fermo , e massa in moto con velocità orizzontale costante , a distanza giusta dal polo affinchè l’urto sia centrato. Dopo l ‘urto, nelle stesse condizioni di prima ( urto perfettamente elastico) , la massa in moto si ferma e il pendolo acquista q.d.m. e quindi velocità , che ora è velocità periferica di un moto circolare. Ovviamente anche qui c’è scambio della q.d.m. e quindi del momento angolare che, nel sistema delle due masse, si conserva ( sempre per il motivo che non ci sono perdite di energia nell’urto). (è’ ovvio che poi la massa pendolare rallenta per effetto della gravità , ma questo ora non ci interessa )
Lascio a te il compito di capire quale è, per ciascuna massa, la forza il cui momento ha causato la variazione del momento angolare.
"peppensionato45":
......
Anzi in questo caso si può dire che il sistema delle due masse “ conserva” il momento angolare totale ( urto perfettamente elastico).
ovviamente, il fatto che l'urto sia perfettamente elastico non ha niente a che fare con la conservazione del momento angolare. Nell'esempio, la questione chiave è quella che viene chiamata ipotesi di urto centrale (oltre a quella di solito implicita che l'urto sia istantaneo, o ipotesi impulsiva). In questo caso, durante l'interazione d'urto, le risultanti verticali delle forze esterne al sistema agenti sulle due masse sono identicamente nulle e, per tale ragione, il momento angolare si conserva. La conservazione si avrebbe anche se, per esempio, l'urto fosse centrale e impulsivo ma completamente anelastico, con le masse che dopo rimangono incollate.
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