Il dado

[TomSawyer1]

Un piccolo dado si trova nell'emisfero superiore di una superficie sferica liscia di raggio $R=1m$. Quando si trova a 45 gradi di latitudine gli si imprime una velocità $v_0$ rivolta verso il polo nord.
a) Per quali valori (massimo e minimo) di $v_0$ il dado raggiunge il polo nord?
b) Per $v_0=$velocità minima a che latitudine si stacca dalla sfera quando scende dall'altra parte del polo nord?

Grazie, saluti.

[cavallipurosangue]

Allora, è da un po' che non faccio più fisica, quindi non sono sicuro al cento per cento, ma solo al 99%
Io mi metterei subito in un sistema di versori solidale con il dado diretto verso destra e verso il basso (quando il dado si trova nel punto più alto), ricordandomi vivamente che a causa di questa scelta devo ricordarmi di aggiungere tra le forze in gioco anche la forza d'inerzia.
Le forze in gioco sono tre quindi e posso scrivere l'equazione di Newton: $vecP+vecN+vec{F_i}=mveca$
Scomponendo lungo il versore normale alla curva ottengo: $-mgsin\theta+N+mv_0^2/r=0$
Considerando anche la conservazione dell'energia meccanica si può scrivere:
${(-mgsin\theta+N+{mv_0^2}/r=0),(1/2mv_0^2=mgr(1-sin\theta_0)):}
Che io sappia la velocità minima si ricava semplicemente sfruttando la seconda equazione $v_0^2=2g(1-\sqrt2/2)=>v_0=-\sqrt{g(2-\sqrt2)}\approx-2.38m/s$
Chiaramente è negativa dato il mio sistema di riferimento...
Per trovare quella massima devi trovare quale è quella velocità che annulla la forza normale nel punto più alto, ossia dove $\theta=\pi/2$.
Quindi usando la prima equazione:
$N=mgsin\theta-{mv_0^2}/r=0=>v_0^2=rgsin\theta=>v_0=-\sqrt(g)\approx-3.13m/s$

Per risolvere l'ultimo punto imposti il seguente sistema:
${(-mgsin\theta+N+{mv^2}/r=0),(1/2mv^2=mgr(1-sin\theta)),(N=0):}=>-mgsin\theta+N+2mg(1-sin\theta)=0=>2mg(1-sin\theta)=mgsin\theta=>2(1-sin\theta)=sin\theta=>2/3=sin\theta=>\theta=\text{arcsin}(2/3)\approx0.729\text{rad}

Dato che l'altezza è $h=rsin\theta$ si ha che $h=2/3=0.67m$

[MaMo2]

"cavallipurosangue":Allora, è da un po' che non faccio più fisica, quindi non sono sicuro al cento per cento, ma solo al 99%
......
Per trovare quella massima devi trovare quale è quella velocità che annulla la forza normale nel punto più alto, ossia dove $\theta=\pi/2$.
.....
$

La velocità massima è quella che annulla la forza normale nel punto iniziale altrimenti il dado si stacca dalla superficie sferica.
Si ha:
$N=mgsintheta-mv_0^2/r=0 =>v=sqrt(grsintheta)=sqrt(g/sqrt2)=2,63$ m/s.

[cavallipurosangue]

Hai perfettamente ragione...
Infatti dato che la velocità decresce se trovo quella che annulla la forza normale nel punto più alto, significa che prima la velocità era più alta di questo valore e sicuramente non sarebbe potuta stare a contatto con la superficie...
Chiedo ancora scusa... Comunque sono un po' salvato da quell'1% che avevo detto...