II equazione cardinale in forma impulsiva

[RikoLivi]

Salve ragazzi, avrei un dubbio su un esercizio: Ho un asta di lunghezza 2L di massa trascurabile ad eccezione di tre punti A,B,C di uguale massa. Il punto C, che si trova nel punto medio dell'asta, è vincolato a scorrere lungo una guida orizzontale priva di attrito e l'asta può ruotare attorno al punto C (A e B sono agli estremi). All'istante iniziale il sistema è all'equilibrio con l'asta che forma un angolo $\theta=pi/4$ con l'asse delle x. Per $t=0$ un punto materiale di massa $m$ urta contro A (al di sotto dell'asse delle x) con velocità $v(0)$. L'urto ha durata trascurabile ed è anelastico. Trovare la velocità angolare dell'asta dopo l'urto in funzione di $v(0)$.
Il mio dubbioè sorto quando ho scritto la II cardinale. Ovvero, io l'ho impostata così (ho scelto C come polo):

$Delta vec L_C=0 rArr vec L_c(0)= vec L_c(tau)$ con ${(vec L_c(0)= vec (CA)^^m vec v_0), (vec L_c(tau)= I_(asta) vec omega(tau) + vec (CA)^^2m vec V_A + vec (CB)^^ mvec V_B):}$

Tuttavia guardando le soluzioni ho sbagliato a scriverla. Infatti la soluzione mi dà la stessa formula senza però considerare $omega(tau)$ quindi io mi chiedo: Non la considera perché si conserva il momento angolare rispetto al polo C?

[Shackle]

La soluzione del libro è giusta. Si tratta di applicare la definizione di momento angolare rispetto a un polo :

$vecL = vecr\timesmvecv$

che devi scrivere per A e per B rispetto al polo C, immediatamente dopo l'urto. Pensaci, il momento di inerzia e la velocita angolare sono “dentro” questa semplice formula, hai messo il termine $Iomega$ in più al secondo membro.
La conservazione del momento angolare ce l’hai uguagliando quello di prima a quello di dopo l’urto.

[RikoLivi]

"Shackle":La soluzione del libro è giusta. Si tratta di applicare la definizione di momento angolare rispetto a un polo :

$vecL = vecr\timesmvecv$

che devi scrivere per A e per B rispetto al polo C, immediatamente dopo l'urto. Pensaci, il momento di inerzia e la velocita angolare sono “dentro” questa semplice formula, hai messo il termine $Iomega$ in più al secondo membro.
La conservazione del momento angolare ce l’hai uguagliando quello di prima a quello di dopo l’urto.

dunque, considerando, nella II cardinale in forma impulsiva, il termine $I*omega$ al tempo $tau$ ho aggiunto un qualcosa che già era implicito nelle coordinate delle velocità di $vec v_A$ e $vec v_B$, che sono dipendenti dalla velocità di C e dalla velocità angolare dell'asta, se ho capito bene. Mentre se io andavo a calcolarmi la II cardinale scegliendo come polo il centro di massa, non più coincidente con il punto C avrei ottenuto una cosa del tipo:
$I_G vec omega - vec (GA)^^2mvec V_A(0)= vec (GC)^^vec J$ dove con $vec J$ intendo l'impulso esercitato dalla reazione sul punto C, vincolato a muoversi sulla guida orizzontale. Giusto? poi vabbé, $vec J$ me lo ricaverei dalla prima cardinale in forma impulsiva, considerando la componente $y$ (perché quella lungo x mi dà che $vec V_G=0$) $4mV_Gy(tau)=J$ e sostituendo questo valore di $vec J$ nella II cardinale, così da ottenere:
${(I_G vec omega - vec (GA)^^2mvec V_A(0)= vec (GC)^^4mvec V_G(tau)), (con vec V_G(tau)=V_C(tau)+omega^^vec(CG)):}$

Sperando di non aver detto una boiata ti ringrazio per avermi risposto

[Shackle]

...considerando, nella II cardinale in forma impulsiva, il termine I⋅ω al tempo τ ho aggiunto un qualcosa che già era implicito nelle coordinate delle velocità di v⃗A e v⃗B, che sono dipendenti dalla velocità di C e dalla velocità angolare dell'asta, se ho capito bene...

Mi sa che non hai ancora afferrato bene il punto. Perchè parli di "II cardinale in forma impulsiva” ? C’è un urto, d’accordo, poiché c’è un proiettile che colpisce l’asta in un estremo e ci si attacca. E questo che conseguenze ha? L’asta si mette a traslare, col suo punto C che scorre nella guida fissa senza attrito, e la velocità di traslazione la trovi con la conservazione della q.d.m. . Ma una volta trovata la velocità di traslazione, mettila da parte, assumi C come se fosse un polo fisso, e calcola il momento angolare del sistema rispetto a questo polo : ottieni la formula che ti dà il libro come soluzione. Uguagli questo momento angolare dopo l’urto a quello prima dell’urto, e hai finito.
Perchè complicarti la vita con il CM dopo l’urto ?

[RikoLivi]

"Shackle":

...considerando, nella II cardinale in forma impulsiva, il termine I⋅ω al tempo τ ho aggiunto un qualcosa che già era implicito nelle coordinate delle velocità di v⃗A e v⃗B, che sono dipendenti dalla velocità di C e dalla velocità angolare dell'asta, se ho capito bene...

Mi sa che non hai ancora afferrato bene il punto. Perchè parli di "II cardinale in forma impulsiva” ? C’è un urto, d’accordo, poiché c’è un proiettile che colpisce l’asta in un estremo e ci si attacca. E questo che conseguenze ha? L’asta si mette a traslare, col suo punto C che scorre nella guida fissa senza attrito, e la velocità di traslazione la trovi con la conservazione della q.d.m. . Ma una volta trovata la velocità di traslazione, mettila da parte, assumi C come se fosse un polo fisso, e calcola il momento angolare del sistema rispetto a questo polo : ottieni la formula che ti dà il libro come soluzione. Uguagli questo momento angolare dopo l’urto a quello prima dell’urto, e hai finito.
Perchè complicarti la vita con il CM dopo l’urto ?

Ah beh sì, hai ragionassimo in effetti.. Grazie infinite sia per la risposta che per la pazienza!