I punti di Lagrange
Salve a tutti,
Sono nuovo del forum e mi sono giá presentato nella sezione opportuna...
Sono al terzo anno di liceo, e sto facendo una ricerca / relazione sui punti di lagrange come da titolo...
Io ho guardato su vari siti, e i concetti sono riuscito a capirli, ma sono un pò di ore che io e un mio compagno stiamo provando a creare una formula che ci permetta di trovare questi punti, considerando ad esempio sole e terra, dato che se facessimo terra luna magari ci sarebbe stato qualche problema per la presenza del sole, anche se non dovrebbe cambiare molto.
Ad esempio del primo punti l1 abbiamo capito che la forza d'attrazione della terra fa si che in quel punto si abbassi il livello della forza centripeta causata dalla presenza del sole, così che la forza sia pari a quella che ci sarebbe ad una distanza della terra, e quindi un relativo periodo di rivoluzione uguale data la terza legge di keplero.
Noi però pur impostando una equazione che soddisfasse ciò siamo rimasti con due incognite, cioè le distanze del punto dalla terra e del punto dal sole, ovviamente al quadrato dato ciò che abbiamo eguagliato...poi magari dopo che ho trmpo vi scrivo la formula...abbbiamo quindi pensato ad un sistema, ma non riuscivamo a pensare ad un'altra equazione che ci permettesse di risolvere il sistema...
Qualcuno potrebbe aiutarci spiegandoci magari proprio come ci è arrivato lagrange? Ho visto un sito dove spiega qualcosa ( no wikipedia) , ma parla di una costante k che è il rapporti tra masse del sole e della terra...o viceversa, non ricordo, ma non dice perchè..please, aiuto....se ci spiegaste anche come trovare gli altri punti sarebbe fantastico...solo che, anche se è magari pesante per chi potrebbe rispondere, a noi piacerebbe capire bene il tutto, senza fare calcoli a caso con una formula...
Spero di essermi spiegato bene..
Ciao, e grazie
Sono nuovo del forum e mi sono giá presentato nella sezione opportuna...
Sono al terzo anno di liceo, e sto facendo una ricerca / relazione sui punti di lagrange come da titolo...
Io ho guardato su vari siti, e i concetti sono riuscito a capirli, ma sono un pò di ore che io e un mio compagno stiamo provando a creare una formula che ci permetta di trovare questi punti, considerando ad esempio sole e terra, dato che se facessimo terra luna magari ci sarebbe stato qualche problema per la presenza del sole, anche se non dovrebbe cambiare molto.
Ad esempio del primo punti l1 abbiamo capito che la forza d'attrazione della terra fa si che in quel punto si abbassi il livello della forza centripeta causata dalla presenza del sole, così che la forza sia pari a quella che ci sarebbe ad una distanza della terra, e quindi un relativo periodo di rivoluzione uguale data la terza legge di keplero.
Noi però pur impostando una equazione che soddisfasse ciò siamo rimasti con due incognite, cioè le distanze del punto dalla terra e del punto dal sole, ovviamente al quadrato dato ciò che abbiamo eguagliato...poi magari dopo che ho trmpo vi scrivo la formula...abbbiamo quindi pensato ad un sistema, ma non riuscivamo a pensare ad un'altra equazione che ci permettesse di risolvere il sistema...
Qualcuno potrebbe aiutarci spiegandoci magari proprio come ci è arrivato lagrange? Ho visto un sito dove spiega qualcosa ( no wikipedia) , ma parla di una costante k che è il rapporti tra masse del sole e della terra...o viceversa, non ricordo, ma non dice perchè..please, aiuto....se ci spiegaste anche come trovare gli altri punti sarebbe fantastico...solo che, anche se è magari pesante per chi potrebbe rispondere, a noi piacerebbe capire bene il tutto, senza fare calcoli a caso con una formula...
Spero di essermi spiegato bene..
Ciao, e grazie
Risposte
allora, per aggiungere io e i miei amici siamo arrivati a scrivere questo, che non è molto complesso, ma credo corretto:
$ (GM)/[(r-R)(r-R)]-(Gm)/(R*R)= (GM)/(r*r) $
scusate se non ho messo alla seconda le distanze ma non capivo bene come fare, quindi ho fatto dei prodotti...
per capirci:
r= distanza sole terra
R= distanza punto terra
r-R = è quindi distanza sole punto....
M= massa sole
m=massa terra
In sè, ho fatto sì che il campo gravitazionale sul punto del sole meno il campo della terra è uguale a quello che il sole eserciterebbe sulla terra....questo perchè, come dice Lagrange dato che c'è la terra che tira verso di sè, la forza centripeta del sole totale sarebbe minore, e per avere lo stesso periodo di rivoluzione deve avere un ipotetica distanza dal sole uguale alla terra, anche se a noi interessa R e r-R e non r, quindi alla fine si dovrebbe ricavare qualcosa...
Sapreste darmi una mano per continuare?
CIao, Andrea
$ (GM)/[(r-R)(r-R)]-(Gm)/(R*R)= (GM)/(r*r) $
scusate se non ho messo alla seconda le distanze ma non capivo bene come fare, quindi ho fatto dei prodotti...
per capirci:
r= distanza sole terra
R= distanza punto terra
r-R = è quindi distanza sole punto....
M= massa sole
m=massa terra
In sè, ho fatto sì che il campo gravitazionale sul punto del sole meno il campo della terra è uguale a quello che il sole eserciterebbe sulla terra....questo perchè, come dice Lagrange dato che c'è la terra che tira verso di sè, la forza centripeta del sole totale sarebbe minore, e per avere lo stesso periodo di rivoluzione deve avere un ipotetica distanza dal sole uguale alla terra, anche se a noi interessa R e r-R e non r, quindi alla fine si dovrebbe ricavare qualcosa...
Sapreste darmi una mano per continuare?
CIao, Andrea
riguardando quello che ho scritto non credo sia corretto, ma anche cercando su internet trovo cose confuse e non ben spiegate...
dopo una attenta rielaborazione siamo giunti a ciò...
$ 1/(1,49*10^11-x)^3 – (3,02*10^-6)/[x^2*(1,49*10^11-x)] = 1/(1,49*10^11)^3 $
credo sia corretto, ora non mi serve altro che risolverla...
$ 1/(1,49*10^11-x)^3 – (3,02*10^-6)/[x^2*(1,49*10^11-x)] = 1/(1,49*10^11)^3 $
credo sia corretto, ora non mi serve altro che risolverla...
Se la tua/vostra intenzione è calcolare il primo punto di Lagrange (cioè quello sulla congiungente tra Sole e Terra, ce ne sarebbero infatti altri due sulla stessa linea ma fuori dal segmento che congiunge Sole e Terra, oltre il Sole e oltre la Terra, e altri due ancora non allineati con la congiungente) procederei così.
Per prima cosa troviamo la distanza tra la Terra e il centro di massa Sole-Terra.
Questa sarà pari a:
$d_{CT}= \frac{M_S d}{M_S+M_T} = \frac{k d}{k+1}$ con $k equiv M_S/M_T$ e $d$ distanza tra la Terra e il Sole.
Mettiamoci poi in un sistema di riferimento centrato nel centro di massa del sistema Sole e Terra che ruota con velocità angolare pari a $\frac{2 pi}{T}$, con $T$ periodo che impiega la Terra a girare intorno al Sole.
In questo sistema di riferimento il Sole e la Terra sono fermi e per definizione i punti di Lagrange sono anch'essi fermi.
Per trovare allora il primo punto di Lagrange chiamiamo $x$ la sua distanza dalla Terra e imponiamo che la somma di tutte le forze che agiscono su di esso nel sistema di riferimento considerato siano nulle. Va considerata in questo calcolo la forza di inerzia centrifuga visto che non siamo in un sistema inerziale.
Si ha allora che deve essere:
$G \frac{m M_T}{x^2}-G \frac{m M_S}{(d-x)^2}+ m (\frac{2 pi}{T})^2(d_{CT}-x)=0$
per cui occorre risolvere la seguente equazione:
$G \frac{M_T}{x^2}-G \frac{M_S}{(d-x)^2}+(\frac{2 pi}{T})^2(\frac{k d}{k+1}-x)=0$
La soluzione di questa equazione si può fare con qualche metodo numerico (un metodo molto semplice, ma che richiede un po' di iterazioni è partire da un valore di tentativo di $x$, per esempio un $x=d/2$ e ricavare $x$ dall'ultimo termine della somma sostituendo il valore di tentativo negli altri due termini, col valore ricavato poi si ripete il calcolo fino a che il nuovo $x$ e il vecchio non siano pressoché uguali).
Per prima cosa troviamo la distanza tra la Terra e il centro di massa Sole-Terra.
Questa sarà pari a:
$d_{CT}= \frac{M_S d}{M_S+M_T} = \frac{k d}{k+1}$ con $k equiv M_S/M_T$ e $d$ distanza tra la Terra e il Sole.
Mettiamoci poi in un sistema di riferimento centrato nel centro di massa del sistema Sole e Terra che ruota con velocità angolare pari a $\frac{2 pi}{T}$, con $T$ periodo che impiega la Terra a girare intorno al Sole.
In questo sistema di riferimento il Sole e la Terra sono fermi e per definizione i punti di Lagrange sono anch'essi fermi.
Per trovare allora il primo punto di Lagrange chiamiamo $x$ la sua distanza dalla Terra e imponiamo che la somma di tutte le forze che agiscono su di esso nel sistema di riferimento considerato siano nulle. Va considerata in questo calcolo la forza di inerzia centrifuga visto che non siamo in un sistema inerziale.
Si ha allora che deve essere:
$G \frac{m M_T}{x^2}-G \frac{m M_S}{(d-x)^2}+ m (\frac{2 pi}{T})^2(d_{CT}-x)=0$
per cui occorre risolvere la seguente equazione:
$G \frac{M_T}{x^2}-G \frac{M_S}{(d-x)^2}+(\frac{2 pi}{T})^2(\frac{k d}{k+1}-x)=0$
La soluzione di questa equazione si può fare con qualche metodo numerico (un metodo molto semplice, ma che richiede un po' di iterazioni è partire da un valore di tentativo di $x$, per esempio un $x=d/2$ e ricavare $x$ dall'ultimo termine della somma sostituendo il valore di tentativo negli altri due termini, col valore ricavato poi si ripete il calcolo fino a che il nuovo $x$ e il vecchio non siano pressoché uguali).
Grazie mille per la risposta, anche se faccio fatica a capire bene i concetti dato che non ho un'alta conoscenza di questo ambito... Comunque appena riusciamo a concludere tutto vi farò vedere cosa siamo riusciti a fare
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo