I limiti in Fisica
Buongiorno vorrei sapere cortesemente se ci sono applicazioni (abbastanza "semplici" comprensibili da un comun mortale) dei limiti in Fisica; ho letto che la velocità è un limite, che significa? come faccio a "dimostrarlo" con le formule? Inoltre ci sono concetti di Termodinamica o di Elettrostatica che si possono esprimere con i limiti?
Grazie infinite
Grazie infinite
Risposte
La domanda non mi pare chiara, oppure la risposta è troppo ovvia. La fisica è piena di derivate e ogni derivata è un limite, no?
Il vettore velocità, ad esempio, è il limite del rapporto incrementale tra il vettore posizione che varia nel tempo e il tempo stesso. Questa è la risposta ovvia. Se la domanda intendeva altro, allora non ho capito.
Il vettore velocità, ad esempio, è il limite del rapporto incrementale tra il vettore posizione che varia nel tempo e il tempo stesso. Questa è la risposta ovvia. Se la domanda intendeva altro, allora non ho capito.
Mi scusi allora per la domanda frequentando un liceo umanistico per me tante cose non sono scontate.
Comunque la domanda espressa male era che vuol dire che la velocità è un limite? E altra domanda era in Termodinamica per esempio c'è un esempio significativo di limite? Perdonate la mia ignoranza grazie mille
Comunque la domanda espressa male era che vuol dire che la velocità è un limite? E altra domanda era in Termodinamica per esempio c'è un esempio significativo di limite? Perdonate la mia ignoranza grazie mille
Tutte le volte in cui si cerca il rapporto tra la variazione di una grandezza rispetto alla variazione di una seconda grandezza, se la prima grandezza è variabile si pone il problema di dare un'idea la più precisa possibile di questo suo variare.
Se prendiamo ad esempio lo spazio percorso da un'automobile in 10 secondi a partire da un certo istante, e facciamo il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo trascorso, troviamo una terza grandezza che si chiama velocità media nei 10 secondi considerati a partire dall'istante di interesse. Questo dà una certa idea di quale sia la velocità dell'auto nell'istante di interesse, ma se in quei dieci secondi l'auto ha accelerato o rallentato, cioè se non è andata a velocità costante, allora l'idea della velocità media non dà una sensazione sufficientemente precisa della velocità dell'auto nell'istante in esame.
Ecco che allora serve rimpicciolire il tempo di esame, e quindi questo rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato diventa il rapporto tra due grandezze piccolissime, che però come rapporto dà un valore finito e quindi un'idea sempre più precisa della velocità nell'istante sotto analisi, perché diventa la media fatta in un intervallo di tempo piccolissimo.
Il salto logico è pensare di portare questo intervallo a livelli infinitesimi, cioè calcolare il limite di questo rapporto per intervallo di tempo tendente a zero. Il valore limite di questo rapporto a partire dall'istante in esame prende il nome generico di derivata dello spazio rispetto al tempo, e il nome specifico di velocità istantanea, o più brevemente velocità, in quell'istante, e costituisce il valore limite che assume la velocità media quando l'intervallo di tempo nel quale viene calcolata tende a zero.
La fisica è piena zeppa di esempi di questo tipo. In termodinamica è più frequente avere interesse a fare il calcolo inverso, che si chiama integrale, ed è anche quello un esempio di limite, anche se diverso dal precedente.
Tieni però presente che quello che ti dico è proprio in soldoni. Ti consiglio di trovare un buon libro di analisi matematica comprensibile al tuo livello che ti chiarisca questi concetti in modo più rigoroso. Poi capire la fisica sarà molto più semplice.
Se prendiamo ad esempio lo spazio percorso da un'automobile in 10 secondi a partire da un certo istante, e facciamo il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo trascorso, troviamo una terza grandezza che si chiama velocità media nei 10 secondi considerati a partire dall'istante di interesse. Questo dà una certa idea di quale sia la velocità dell'auto nell'istante di interesse, ma se in quei dieci secondi l'auto ha accelerato o rallentato, cioè se non è andata a velocità costante, allora l'idea della velocità media non dà una sensazione sufficientemente precisa della velocità dell'auto nell'istante in esame.
Ecco che allora serve rimpicciolire il tempo di esame, e quindi questo rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato diventa il rapporto tra due grandezze piccolissime, che però come rapporto dà un valore finito e quindi un'idea sempre più precisa della velocità nell'istante sotto analisi, perché diventa la media fatta in un intervallo di tempo piccolissimo.
Il salto logico è pensare di portare questo intervallo a livelli infinitesimi, cioè calcolare il limite di questo rapporto per intervallo di tempo tendente a zero. Il valore limite di questo rapporto a partire dall'istante in esame prende il nome generico di derivata dello spazio rispetto al tempo, e il nome specifico di velocità istantanea, o più brevemente velocità, in quell'istante, e costituisce il valore limite che assume la velocità media quando l'intervallo di tempo nel quale viene calcolata tende a zero.
La fisica è piena zeppa di esempi di questo tipo. In termodinamica è più frequente avere interesse a fare il calcolo inverso, che si chiama integrale, ed è anche quello un esempio di limite, anche se diverso dal precedente.
Tieni però presente che quello che ti dico è proprio in soldoni. Ti consiglio di trovare un buon libro di analisi matematica comprensibile al tuo livello che ti chiarisca questi concetti in modo più rigoroso. Poi capire la fisica sarà molto più semplice.
Due terzi di un corso di Analisi 1 sono dedicati allo studio di limiti di funzioni e successioni, derivate, serie numeriche.... è difficile spiegare in un post che cosa è un limite: esistono varie definizioni (a seconda del contesto in cui vengono introdotte), tutte richiedono una certa preparazione e per arrivare dalla definizione di limite a quella di derivata la strada è lunga.
Grazie infinite
Scusami scuola1234 se riesumo la discussione dopo il tuo congedo ma spero che le mie considerazioni siano utili.
Il problema deriva dalla asincronia tra la matematica e la fisica insegnate al liceo.
La fisica liceale si insegna senza derivate e senza integrali perché questi si studiano alla fine del programma di matematica, dopo i limiti che nell'analisi tradizionale sono considerati l'elemento fondamentale nonostante i limiti storicamente siano arrivati dopo le derivate e gli integrali (http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8728).
L'analisi matematica, nota anche come calcolo infinitesimale dato che tratta infiniti e infinitesimi (http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=2692), si insegna a fine liceo perché è considerata difficile proprio a causa della definizione formale di limite che risulta ostica.
Suppongo che tu sia stata sconcertata dalla definizione di limite e sia rimasta disorientata avendo letto che la velocità è un limite (mi sembra un modo strano di esprimersi; per favore riporta la frase esatta e cita la fonte: libro e paragrafo) e che questo strumento così astruso ha moltissime applicazioni in fisica, applicazioni che però non ricordi di aver mai visto nella fisica che avevi studiato prima d'ora.
La fisica universitaria usa a bizzeffe derivate e integrali mentre la fisica liceale li evita ed eventualmente li definisce in modo più intuitivo ma meno rigoroso, come ad esempio ti ha fatto vedere Falco5x. Oppure se ne illustrano le interpretazioni geometriche mostrando che la derivata fornisce la pendenza della tangente ad una curva e che l'integrale fornisce l'area sottesa ad una curva.
Ai miei tempi (laurea in Fisica nel 79) nei corsi universitari i fisici insegnavano calcolo infinitesimale alla maniera di Leibniz manipolando gli infinitesimi troppo disinvoltamente a detta dei puristi.
50 anni fa è arrivata l'analisi "non standard" (NSA) che definisce gli infinitesimi alla stregua di numeri e li manipola algebricamente pressapoco come faceva Leibniz (http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=13180).
Recentemente in Italia la NSA è stata sperimentata nella didattica, con successo dicono i suoi sostenitori, ma ci sono riserve ed esitazioni ad adottarla in via definitiva.
La fisica sperimentale, basata su osservazioni e misure, schiva gli infiniti e gli infinitesimi quando può.
Per elaborare le misure e confrontarle con le previsioni teoriche usa la matematica strumentalmente trascurandone le finezze matematiche e le elucubrazioni filosofiche, però curando il senso fisico.
Prendiamo ad esempio la velocità istantanea.
Derivare lo spazio rispetto al tempo significa eseguire una operazione matematica sulla funzione s(t) che rappresenta la legge oraria del moto: però prima di derivarla bisogna aver individuato una funzione che interpola le misure sperimentali tenendo conto sia delle incertezze di misura sia dei presupposti teorici.
Quindi la funzione s(t) deve essere continua e derivabile due volte perché così esige la matematica della cinematica e della dinamica.
E' sbagliato calcolare il rapporto tra la distanza misurata ed il tempo di percorrenza misurato quando questo tempo è vicino all'incertezza della misura (pragmaticamente lo possiamo chiamare infinitesimo) perché il rapporto calcolato ha una incertezza enorme e quindi nessun valore scientifico.
Il problema deriva dalla asincronia tra la matematica e la fisica insegnate al liceo.
La fisica liceale si insegna senza derivate e senza integrali perché questi si studiano alla fine del programma di matematica, dopo i limiti che nell'analisi tradizionale sono considerati l'elemento fondamentale nonostante i limiti storicamente siano arrivati dopo le derivate e gli integrali (http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8728).
L'analisi matematica, nota anche come calcolo infinitesimale dato che tratta infiniti e infinitesimi (http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=2692), si insegna a fine liceo perché è considerata difficile proprio a causa della definizione formale di limite che risulta ostica.
Suppongo che tu sia stata sconcertata dalla definizione di limite e sia rimasta disorientata avendo letto che la velocità è un limite (mi sembra un modo strano di esprimersi; per favore riporta la frase esatta e cita la fonte: libro e paragrafo) e che questo strumento così astruso ha moltissime applicazioni in fisica, applicazioni che però non ricordi di aver mai visto nella fisica che avevi studiato prima d'ora.
La fisica universitaria usa a bizzeffe derivate e integrali mentre la fisica liceale li evita ed eventualmente li definisce in modo più intuitivo ma meno rigoroso, come ad esempio ti ha fatto vedere Falco5x. Oppure se ne illustrano le interpretazioni geometriche mostrando che la derivata fornisce la pendenza della tangente ad una curva e che l'integrale fornisce l'area sottesa ad una curva.
Ai miei tempi (laurea in Fisica nel 79) nei corsi universitari i fisici insegnavano calcolo infinitesimale alla maniera di Leibniz manipolando gli infinitesimi troppo disinvoltamente a detta dei puristi.
50 anni fa è arrivata l'analisi "non standard" (NSA) che definisce gli infinitesimi alla stregua di numeri e li manipola algebricamente pressapoco come faceva Leibniz (http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=13180).
Recentemente in Italia la NSA è stata sperimentata nella didattica, con successo dicono i suoi sostenitori, ma ci sono riserve ed esitazioni ad adottarla in via definitiva.
La fisica sperimentale, basata su osservazioni e misure, schiva gli infiniti e gli infinitesimi quando può.
Per elaborare le misure e confrontarle con le previsioni teoriche usa la matematica strumentalmente trascurandone le finezze matematiche e le elucubrazioni filosofiche, però curando il senso fisico.
Prendiamo ad esempio la velocità istantanea.
Derivare lo spazio rispetto al tempo significa eseguire una operazione matematica sulla funzione s(t) che rappresenta la legge oraria del moto: però prima di derivarla bisogna aver individuato una funzione che interpola le misure sperimentali tenendo conto sia delle incertezze di misura sia dei presupposti teorici.
Quindi la funzione s(t) deve essere continua e derivabile due volte perché così esige la matematica della cinematica e della dinamica.
E' sbagliato calcolare il rapporto tra la distanza misurata ed il tempo di percorrenza misurato quando questo tempo è vicino all'incertezza della misura (pragmaticamente lo possiamo chiamare infinitesimo) perché il rapporto calcolato ha una incertezza enorme e quindi nessun valore scientifico.
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