I Campi Vettoriale tempo-varianti non sono conservativi. Perche'?
Caro Forum,
Penso di avere compreso bene la definizione di campo vettoriale conservativo. Un campo F(x,y,z) e' conservativo se:
a) Il suo rotore e' nullo;
b) E' esprimibile come gradiente di un campo scalare Psi(x,y,z);
c) Il suo integrale di cammino dipende solo dal punto iniziale e finale (non conta la lunghezza o la forma del cammino;
d) L'integrale di cammino su di un percorso chiuso e'sempre zero;
Detto questo, perche' un campo vettoriale tempo variante come G(x,y,z,t) non puo' essere conservativo? Non si potrebbe avere un campo che e' conservativo ad un certo istante e non conservativo in un altro?
So che i campi di forza conservativi sono importanti per la conservazione dell'energia meccanica (cinetica+potenziale) e che il lavoro delle forze conservative puo' variare sia l'energia cinetica sia quella potenziale ma non variera' l'energia meccanica totale...
Grazie,
astruso83
Penso di avere compreso bene la definizione di campo vettoriale conservativo. Un campo F(x,y,z) e' conservativo se:
a) Il suo rotore e' nullo;
b) E' esprimibile come gradiente di un campo scalare Psi(x,y,z);
c) Il suo integrale di cammino dipende solo dal punto iniziale e finale (non conta la lunghezza o la forma del cammino;
d) L'integrale di cammino su di un percorso chiuso e'sempre zero;
Detto questo, perche' un campo vettoriale tempo variante come G(x,y,z,t) non puo' essere conservativo? Non si potrebbe avere un campo che e' conservativo ad un certo istante e non conservativo in un altro?
So che i campi di forza conservativi sono importanti per la conservazione dell'energia meccanica (cinetica+potenziale) e che il lavoro delle forze conservative puo' variare sia l'energia cinetica sia quella potenziale ma non variera' l'energia meccanica totale...
Grazie,
astruso83
Risposte
Supponiamo, per semplicita, di avere un campo di forze dipendenti dalla posizione x e dal tempo t: $F=F(x,t)$ e supponiamo che esso sia conservativo.
Cio' significa ammettere che esiste una funzione V (il potenziale), tale che $grad*V=F(x,t)$ (e' la condizione (b) del tuo testo).
Il differenziale esatto di V si puo' scrivere
Dunque $dV= (partialV)/(partial x) dx +(partialV)/(partial t)dt=gradV* dx +(partialV)/(partial t)dt$ il che implica che
$dV=F(x,t) dx +(partialV)/(partial t)dt$ che riarrangiata ci fornisce:
$F(x,t) dx = dV -(partialV)/(partial t)dt$ (1)
D'altra parte, indipendentemente dal fatto che il campo sia conservativo o no, vale il teorema delle forze vive. Cioe', in ogni caso, vale che la variazione di energia cinetica eguaglia il lavoro delle forze
$d(E_k)=F(x,t)dx$ che tenendo conto di (1)
$d(E_k)=dV -(partialV)/(partial t)dt$
che diventa, semplicemente, $d(E_k-V)= -(partialV)/(partial t)dt$
Definita l' energia potenziale U come l'opposto del potenziale (U=-V), quest' ultima equazione si riscrive come:
$d(E_k+U)= (partialU)/(partial t)dt$
Il termine tra parentesi e' l'energia meccanica. Il secondo termine ti assicura che l'energia meccanica si conserva solo se la variazione di U nel tempo (dU/dt) e' nulla, cioe se U (e quindi il campo F) sono indipendenti dal tempo.
Cio' significa ammettere che esiste una funzione V (il potenziale), tale che $grad*V=F(x,t)$ (e' la condizione (b) del tuo testo).
Il differenziale esatto di V si puo' scrivere
Dunque $dV= (partialV)/(partial x) dx +(partialV)/(partial t)dt=gradV* dx +(partialV)/(partial t)dt$ il che implica che
$dV=F(x,t) dx +(partialV)/(partial t)dt$ che riarrangiata ci fornisce:
$F(x,t) dx = dV -(partialV)/(partial t)dt$ (1)
D'altra parte, indipendentemente dal fatto che il campo sia conservativo o no, vale il teorema delle forze vive. Cioe', in ogni caso, vale che la variazione di energia cinetica eguaglia il lavoro delle forze
$d(E_k)=F(x,t)dx$ che tenendo conto di (1)
$d(E_k)=dV -(partialV)/(partial t)dt$
che diventa, semplicemente, $d(E_k-V)= -(partialV)/(partial t)dt$
Definita l' energia potenziale U come l'opposto del potenziale (U=-V), quest' ultima equazione si riscrive come:
$d(E_k+U)= (partialU)/(partial t)dt$
Il termine tra parentesi e' l'energia meccanica. Il secondo termine ti assicura che l'energia meccanica si conserva solo se la variazione di U nel tempo (dU/dt) e' nulla, cioe se U (e quindi il campo F) sono indipendenti dal tempo.
Una piccola aggiunta.
Le condizioni c e d sono praticamente equivalenti.
Le 4 condizioni a,b, c e d non devono essere tutte soddisfatte nel senso che se si verifica una, le altre sono soddisfatte automaticamente.
Qundi, se ti capita un esercizio dove ti si richiede di verificare se un campo e' conservativo, basta verificare che il rotore e' nullo senza fare altro.
Le condizioni c e d sono praticamente equivalenti.
Le 4 condizioni a,b, c e d non devono essere tutte soddisfatte nel senso che se si verifica una, le altre sono soddisfatte automaticamente.
Qundi, se ti capita un esercizio dove ti si richiede di verificare se un campo e' conservativo, basta verificare che il rotore e' nullo senza fare altro.
Grazie Professorkappa!
Proprio quello che cercavo.Vorrei aggiungere qualche commento.
Nonostante sia il gradiente sia il rotore siano operatori puntuali,cioe' che agiscono su di campo vettoriale in un preciso punto spaziale $P(x,y,z)$, il concetto di "conservativita'" sembra avere senso solo su di un dominio D di punti. Penso che dire che un campo vettoriale e' conservativo in un punto spaziale e non in un altro non abbia molto senso. Perche'?
In genere, un campo vettoriale conservativo compie lavoro meccanico $L$ che e' sempre uguale alla variazione dell'energia potenziale U. Questo non significa pero' che il lavoro di una forza conservativa non possa variare solamente l'energia cinetica del sistema, vero?
Il lavoro delle forze conservartive puo' causare una variazione dell'energia cinetica o anche l'energia potenziale mantenendo pero' l' energia meccanica totale $E_{mec} = E_k + V $ costante nel tempo. Anche le forze non conservative (come quelle dissipative) compiono lavoro che puo' causare una variazione dell'energia cinetica $E_k$ o dell'energia potenziale $V$. Ma si dice che la funzione energia potenziale e' solo "associata" alle forze conservative. Cosa significa questa "associazione"? Significa forse e solamente che il lavoro delle forze conservative e' esprimibile in termini dell'energia potenziale $V$?
La funzione energia potenziale $V$ e le forze non conservative sono concetti che coesistono anche se non sono "associati" fra loro: le forze non conservative possano modificare il valore della funzione $V$. Pero' quando le forze conservative cambiano l'energia cinetica del sistema, automaticamente cambiano anche in equal quantita' l'energia potenziale (segno opposto). Le forze non conservative (come la spinta di un razzo) possono variare, per esempio aumentare, sia l'energia cinetica sia quella potenziale allo stesso tempo non mantenendo l'energia meccanica totale invariata.
Grazie!
Astruso83
Proprio quello che cercavo.Vorrei aggiungere qualche commento.
Nonostante sia il gradiente sia il rotore siano operatori puntuali,cioe' che agiscono su di campo vettoriale in un preciso punto spaziale $P(x,y,z)$, il concetto di "conservativita'" sembra avere senso solo su di un dominio D di punti. Penso che dire che un campo vettoriale e' conservativo in un punto spaziale e non in un altro non abbia molto senso. Perche'?
In genere, un campo vettoriale conservativo compie lavoro meccanico $L$ che e' sempre uguale alla variazione dell'energia potenziale U. Questo non significa pero' che il lavoro di una forza conservativa non possa variare solamente l'energia cinetica del sistema, vero?
Il lavoro delle forze conservartive puo' causare una variazione dell'energia cinetica o anche l'energia potenziale mantenendo pero' l' energia meccanica totale $E_{mec} = E_k + V $ costante nel tempo. Anche le forze non conservative (come quelle dissipative) compiono lavoro che puo' causare una variazione dell'energia cinetica $E_k$ o dell'energia potenziale $V$. Ma si dice che la funzione energia potenziale e' solo "associata" alle forze conservative. Cosa significa questa "associazione"? Significa forse e solamente che il lavoro delle forze conservative e' esprimibile in termini dell'energia potenziale $V$?
La funzione energia potenziale $V$ e le forze non conservative sono concetti che coesistono anche se non sono "associati" fra loro: le forze non conservative possano modificare il valore della funzione $V$. Pero' quando le forze conservative cambiano l'energia cinetica del sistema, automaticamente cambiano anche in equal quantita' l'energia potenziale (segno opposto). Le forze non conservative (come la spinta di un razzo) possono variare, per esempio aumentare, sia l'energia cinetica sia quella potenziale allo stesso tempo non mantenendo l'energia meccanica totale invariata.
Grazie!
Astruso83
"astruso83":
Grazie Professorkappa!
Proprio quello che cercavo.Vorrei aggiungere qualche commento.
Nonostante sia il gradiente sia il rotore siano operatori puntuali,cioe' che agiscono su di campo vettoriale in un preciso punto spaziale $P(x,y,z)$, il concetto di "conservativita'" sembra avere senso solo su di un dominio D di punti. Penso che dire che un campo vettoriale e' conservativo in un punto spaziale e non in un altro non abbia molto senso. Perche'?
Perche' ha senso parlare di campi conservativi, cioe' di regioni chiuse dello spazio in cui per tutti i punti si possa definire un potenziale.
E' lo stesso motivo per cui hai derivabilita di una funzione su un intervallo, anche se la derivata assume valori puntuali diversi.
"astruso83":
In genere, un campo vettoriale conservativo compie lavoro meccanico $L$ che e' sempre uguale alla variazione dell'energia potenziale U. Questo non significa pero' che il lavoro di una forza conservativa non possa variare solamente l'energia cinetica del sistema, vero?
No: il lavoro delle forze di un campo conservativo varia sempre l'energia potenziale del corpo: non si puo' avere solo variazione di energia cinetica, proprio perche' l'energia meccanica si conserva. Quindi, a una variazione di en. cin., corrisponde sempre una variazione di en. pot.
Se lo spostamento avvenisse tra due punti equipotenziali, da qualche parte deve agire una forza esterna che deve fare lavoro (negativo o positivo): un corpo su un piano senza attrito sta li. Se si sposta sul piano, il campo gravitaziionale non fa lavoro, quindi deve esserci una forza esterna a spostare il corpo. In questo caso, per esempio, varierebbe solo l'energia cinetica e, di conseguenza, dato che l'energia potenziale non varia, varia anche l'energia meccanica.
"astruso83":
Il lavoro delle forze conservartive puo' causare una variazione dell'energia cinetica o anche l'energia potenziale mantenendo pero' l' energia meccanica totale $E_{mec} = E_k + V $ costante nel tempo. Anche le forze non conservative (come quelle dissipative) compiono lavoro che puo' causare una variazione dell'energia cinetica $E_k$ o dell'energia potenziale $V$. Ma si dice che la funzione energia potenziale e' solo "associata" alle forze conservative. Cosa significa questa "associazione"? Significa forse e solamente che il lavoro delle forze conservative e' esprimibile in termini dell'energia potenziale $V$?
Se ci sono regioni di campo non conservative, il campo non e' conservativo. Punto. Quindi non ha senso parlare di potenziale, e pertanto non vale quello che dici tu: il lavoro delle forze NC non cambiano l'energia potenziale del corpo, perche essa non e' definita. Causano solo variazione di energia cinetica. Ecco cosa si intende con Energia Potenziale "associata" alle forze conservative.
"astruso83":
La funzione energia potenziale $V$ e le forze non conservative sono concetti che coesistono anche se non sono "associati" fra loro: le forze non conservative possano modificare il valore della funzione $V$. Pero' quando le forze conservative cambiano l'energia cinetica del sistema, automaticamente cambiano anche in equal quantita' l'energia potenziale (segno opposto). Le forze non conservative (come la spinta di un razzo) possono variare, per esempio aumentare, sia l'energia cinetica sia quella potenziale allo stesso tempo non mantenendo l'energia meccanica totale invariata.
Non so cosa vuol dire che il potenziale e le forze NC coesistono anche se non associati. Se interpreto quello che intendi dire tu, allora la mia risposta e': sbagli, i due concetti non coesistono; l'esistenza di forze non conservative in una regione di spazio implica la non esistenza della funzione potenziale.
Comunque mi sembrano elucubrazioni fini a se stesse. I punti fermi sono
Se il campo e' conservativo
Energia meccanica si conserva
La variazione di energia potenziale e' pari al lavoro delle forze del campo (di contro, il campo e' definito come derivata del potenziale)
Su un percorso chiuso, il lavoro totale e' nullo (circuitazione nulla del campo conservativo)
In un campo non conservativo, nulla di quanto sopra vale. Vale pero' che Il lavoro delle forze del campo e' pari alla variazione di energia cinetica.
Grazie Professore.
tutto molto piu' limpido.
Ma nel caso di un razzo che che sale verso l'alto, la forza di spinta, che e' una forza non conservativa, sembra aumenti sia l'energia cinetica sia l'energia gravitazionale potenziale del razzo stesso mentre Lei sostiene che le forze NC non cambiano l'energia potenziale...Non e' cosi'?
grazie,
Astruso83
tutto molto piu' limpido.
Ma nel caso di un razzo che che sale verso l'alto, la forza di spinta, che e' una forza non conservativa, sembra aumenti sia l'energia cinetica sia l'energia gravitazionale potenziale del razzo stesso mentre Lei sostiene che le forze NC non cambiano l'energia potenziale...Non e' cosi'?
grazie,
Astruso83
Il problema per cui tu ti stai intavanando in ragionamenti astrui, o Astruso, e' che quando si dice "forza conservativa", si usa un modo di dire improprio. Non esiste una forza conservativa. La conservativita' e' una proprieta' di un campo, non di una singola forza.
Asserire che il razzo ha una spinta non conservativa (perche mai, poi? perche la spinta varia col tempo?) non ha dunque senso.
Il campo conservativo e' quello della gravita, assunto costante sulla regione di spazio considerata. Le forze che costituiscono questo campo fanno lavoro nullo per qualsiasi percorso chiuso tu scelga.
Se introduci la spinta del razzo, questa non appartiene al campo di forze, anche se tale spinta fosse costante (e quindi, a tuo modo di vedere, conservativa).
E' allora evidente che nel suo moto dovuto alla spinta, il corpo, si, varia energia potenziale e cinetica, ma cambia anche l'energia meccanica, indicazione del fatto che l'introduzione di una forza esterna "distorce" il campo e quindi parlare di potenziale diventa rischioso.
In altre parole, immagina che l'accelerazione dovuta alla spinta sia costante lungo la traiettoria, e chiamiamola F. Sia F>g.
Il razzo sia nell'origine. Il piano di appoggio sia il piano x-z, l'asse verticale sia y.
A questo punto, se vogliamo, possiamo vedere questa regione di spazio come la somma (o l'unione, per essere piu' precisi) di 2 campi vettoriali: un campo $vecG_1$, definito come $vecG_1=(0,-g,0)$ in tutti i punti della regione di spazio, TRANNE che per x=0, z=0 (l'asse y); e un campo vettoriale $G_2=(0,f,0)$ nella regione x=0 e z=0, avendo definito per comodita' $f=F-g$
I due campi vettoriali $G_1$ e $G_2$ sono, se considerati separatamente, entrambi conservativi. Ma il campo $G=G_1+G_2$ NON e' piu conservativo, perche hai introdotto una "singolarita" nella funzione $G(x,y,z)$.
Per rendersene conto basta vedere il lavoro fatto dalle forze del campo G per un percorso cosi costituito:
Tratto AB: in verticale dall'origine a un'altezza h
Tratto BC: in orizzontale, parallelamente a x-z, in una qualsiasi direzione arbitraria
Tratto CD: in verticale da y=h fino a y=0
Tratto DA: a chiudere orizzontalmente
Il lavoro fatto, per unita' di massa del razzo, dalle forze del campo, e'
Per AB: fh
Per BC: 0
Per CD=gh
Per DA=0
Il lavoro totale, somma dei lavori per ogni singolo ramo della circuitazione, e' $L=(f+g)h$. Non essendo nullo, NON PUOI PIU PARLARE DI ESISTENZA DI POTENZIALE su tutto G. Non esiste piu' una funzione potenziale definibile sulla regione del campo G (anche se esistono 2 funzioni potenziali separate per $G_1$ e $G_2$), il che implica che l'energia meccanica del corpo su G, in generale, non si conservera'.
Asserire che il razzo ha una spinta non conservativa (perche mai, poi? perche la spinta varia col tempo?) non ha dunque senso.
Il campo conservativo e' quello della gravita, assunto costante sulla regione di spazio considerata. Le forze che costituiscono questo campo fanno lavoro nullo per qualsiasi percorso chiuso tu scelga.
Se introduci la spinta del razzo, questa non appartiene al campo di forze, anche se tale spinta fosse costante (e quindi, a tuo modo di vedere, conservativa).
E' allora evidente che nel suo moto dovuto alla spinta, il corpo, si, varia energia potenziale e cinetica, ma cambia anche l'energia meccanica, indicazione del fatto che l'introduzione di una forza esterna "distorce" il campo e quindi parlare di potenziale diventa rischioso.
In altre parole, immagina che l'accelerazione dovuta alla spinta sia costante lungo la traiettoria, e chiamiamola F. Sia F>g.
Il razzo sia nell'origine. Il piano di appoggio sia il piano x-z, l'asse verticale sia y.
A questo punto, se vogliamo, possiamo vedere questa regione di spazio come la somma (o l'unione, per essere piu' precisi) di 2 campi vettoriali: un campo $vecG_1$, definito come $vecG_1=(0,-g,0)$ in tutti i punti della regione di spazio, TRANNE che per x=0, z=0 (l'asse y); e un campo vettoriale $G_2=(0,f,0)$ nella regione x=0 e z=0, avendo definito per comodita' $f=F-g$
I due campi vettoriali $G_1$ e $G_2$ sono, se considerati separatamente, entrambi conservativi. Ma il campo $G=G_1+G_2$ NON e' piu conservativo, perche hai introdotto una "singolarita" nella funzione $G(x,y,z)$.
Per rendersene conto basta vedere il lavoro fatto dalle forze del campo G per un percorso cosi costituito:
Tratto AB: in verticale dall'origine a un'altezza h
Tratto BC: in orizzontale, parallelamente a x-z, in una qualsiasi direzione arbitraria
Tratto CD: in verticale da y=h fino a y=0
Tratto DA: a chiudere orizzontalmente
Il lavoro fatto, per unita' di massa del razzo, dalle forze del campo, e'
Per AB: fh
Per BC: 0
Per CD=gh
Per DA=0
Il lavoro totale, somma dei lavori per ogni singolo ramo della circuitazione, e' $L=(f+g)h$. Non essendo nullo, NON PUOI PIU PARLARE DI ESISTENZA DI POTENZIALE su tutto G. Non esiste piu' una funzione potenziale definibile sulla regione del campo G (anche se esistono 2 funzioni potenziali separate per $G_1$ e $G_2$), il che implica che l'energia meccanica del corpo su G, in generale, non si conservera'.
Grazie. Oggi ho imparato qualcosa di importante.
Non avevo mai visto/sentito questo tipo di discussione basata sui campi. Ha qualche testo, accessibile anche ad un principiante, da raccomandare? Ho sbirciato su alcuni testi di meccanica razionale ma non ho visto questo tipo di argomentazioni...
Quindi, il concetto di essere conservativo o meno si applica piu' propriamente non a punti spaziali singoli (ma a domini) ed a campi di forza. (non a forze localizzate). Molti testi di fisica di base, come gia' probabilmente Lei sa, discutono di forze conservative e forze non conservative (come l'attrito ed altre forze dissipative).
Esistono campi di forza (come quello gravitazionale, quello della forza elettrica, ecc.) ma ci sono anche forze puntuali (applicate in un punto, che sono un'astrazione) o distribuite (applicate su di una superficie estesa) che possono essere viste come anche campi in base all'esempio della spinta del razzo dove la spinta viene interpretate come un campo vettoriale localizzato.
Siamo d'accordo che la spinta del razzo cambi l'energia meccanica totale del sistema. La spinta del razzo e' una forza interna visto che il razzo fa parte del sistema (composto appunto dal razzo, i gas espulsi e la Terra),vero? La spinta del razzo e' la forza dovuta ai gas espulsi dal razzo (legge di azione e reazione).
Non avevo mai visto/sentito questo tipo di discussione basata sui campi. Ha qualche testo, accessibile anche ad un principiante, da raccomandare? Ho sbirciato su alcuni testi di meccanica razionale ma non ho visto questo tipo di argomentazioni...
Quindi, il concetto di essere conservativo o meno si applica piu' propriamente non a punti spaziali singoli (ma a domini) ed a campi di forza. (non a forze localizzate). Molti testi di fisica di base, come gia' probabilmente Lei sa, discutono di forze conservative e forze non conservative (come l'attrito ed altre forze dissipative).
Esistono campi di forza (come quello gravitazionale, quello della forza elettrica, ecc.) ma ci sono anche forze puntuali (applicate in un punto, che sono un'astrazione) o distribuite (applicate su di una superficie estesa) che possono essere viste come anche campi in base all'esempio della spinta del razzo dove la spinta viene interpretate come un campo vettoriale localizzato.
Siamo d'accordo che la spinta del razzo cambi l'energia meccanica totale del sistema. La spinta del razzo e' una forza interna visto che il razzo fa parte del sistema (composto appunto dal razzo, i gas espulsi e la Terra),vero? La spinta del razzo e' la forza dovuta ai gas espulsi dal razzo (legge di azione e reazione).
Esatto.
La classica molla per esempio, costituisce un campo unidimensionale (lungo l'asse della molla) di forze conservative: si puo' definire un' energia potenziale della molla: $U=-1/2kx^2+C$.
Su una piattaforma rotant, esiste un campo di forze centrifughe, che, anche se apparenti, e cioe' create dal fatto che la piattaforma non e' un sistema inerziale, formano un campo conservativo di la cui funzione potenziale associata e' $U=omega^2R^2/2 + C$
E cosi via.
La classica molla per esempio, costituisce un campo unidimensionale (lungo l'asse della molla) di forze conservative: si puo' definire un' energia potenziale della molla: $U=-1/2kx^2+C$.
Su una piattaforma rotant, esiste un campo di forze centrifughe, che, anche se apparenti, e cioe' create dal fatto che la piattaforma non e' un sistema inerziale, formano un campo conservativo di la cui funzione potenziale associata e' $U=omega^2R^2/2 + C$
E cosi via.
Bene, mille grazie per i chiarimenti e per la discussione. Cerchero' un testo che spiega le cose come le ha spiegate Lei professore.
Visto che menziona la forza centrifuga (che e' una forza apparente originata dall'accelerazione del sistema di riferimento noninerziale), vorrei sentire come andrebbe interpreta correttamente questa situazione: una bicicletta in curva si piega verso l'interno della curva senza cadere verso l'interno della curva stessa (cosa che accadrebbe se la bici non fosse in moto). La piega e' necessaria altrimenti si verrebbe catapultati verso "l'esterno" (meglio lungo la direzione tangenziale alla curva) della curva facendo perno sul punto di contatto ruota/pavimento. Le forze in gioco sono 3:
1) la forza peso applicata al centro di massa
2) la forza di contatto ruota/pavimento
3) la forza di attrito statico fra ruota/pavimento
La forza risultante nella direzione orizzontale (la forza centripeta) non e' nulla ed e' rappresentata dall'attrito statico. La forza risultante nella direzione verticale e' nulla. Se calcoliamo i momenti delle 3 forze rispetto al punto di contatto ruota/pavimento (il polo), l'unico momento non nullo e' quello dovuto alla forza peso applicata al centro di massa. Perche' la bici non cade/ruota sotto l'azione di questo momento non nullo e la bici rimane come "sospesa" nella piega? Forse la bici e' in continua caduta libera verso il pavimento?
Visto che menziona la forza centrifuga (che e' una forza apparente originata dall'accelerazione del sistema di riferimento noninerziale), vorrei sentire come andrebbe interpreta correttamente questa situazione: una bicicletta in curva si piega verso l'interno della curva senza cadere verso l'interno della curva stessa (cosa che accadrebbe se la bici non fosse in moto). La piega e' necessaria altrimenti si verrebbe catapultati verso "l'esterno" (meglio lungo la direzione tangenziale alla curva) della curva facendo perno sul punto di contatto ruota/pavimento. Le forze in gioco sono 3:
1) la forza peso applicata al centro di massa
2) la forza di contatto ruota/pavimento
3) la forza di attrito statico fra ruota/pavimento
La forza risultante nella direzione orizzontale (la forza centripeta) non e' nulla ed e' rappresentata dall'attrito statico. La forza risultante nella direzione verticale e' nulla. Se calcoliamo i momenti delle 3 forze rispetto al punto di contatto ruota/pavimento (il polo), l'unico momento non nullo e' quello dovuto alla forza peso applicata al centro di massa. Perche' la bici non cade/ruota sotto l'azione di questo momento non nullo e la bici rimane come "sospesa" nella piega? Forse la bici e' in continua caduta libera verso il pavimento?
Intanto, togli il Lei e il Professore. Il nick e' un omaggio al mio professore di fisica.
Io la vedo cosi (a mente, senza carta, quindi correggimi se sbaglio).
Intanto, la piega e' necessaria per non venire ribaltati all'esterno, radialmente, non tangenzialmente. La catapulta tangenziale accade se il pavimento diventa liscio.
La bici, come avrai avuto modo di sperimentare tu molte volte, rimane sospesa, non va in caduta libera.
Il paradosso di un momento non bilanciato nasce dal fatto che tu scegli un polo di momenti il cui asse varia (e' sempre tangenziale alla curva descritta dalla bici). In quelle condizioni, ti stai mettendo automaticamente nel sistema di riferimento non inerziale e devi tirare in ballo la forza centrifuga.
Nel sistema di riferimento mobile, fotografato a un istante, il sistema di forze e' quindi il seguente
Direzione radiale (attrito-forza centrifuga): $Fa-momega^2R=0$
Direzione verticale (reazione del piano - forza peso) $N-mg=0$
Momento sul punto di contatto: Momento della forza centrifuga - momento della forza peso: $momega^2*d*cosalpha-mg*d*sinalpha=0$
Io la vedo cosi (a mente, senza carta, quindi correggimi se sbaglio).
Intanto, la piega e' necessaria per non venire ribaltati all'esterno, radialmente, non tangenzialmente. La catapulta tangenziale accade se il pavimento diventa liscio.
La bici, come avrai avuto modo di sperimentare tu molte volte, rimane sospesa, non va in caduta libera.
Il paradosso di un momento non bilanciato nasce dal fatto che tu scegli un polo di momenti il cui asse varia (e' sempre tangenziale alla curva descritta dalla bici). In quelle condizioni, ti stai mettendo automaticamente nel sistema di riferimento non inerziale e devi tirare in ballo la forza centrifuga.
Nel sistema di riferimento mobile, fotografato a un istante, il sistema di forze e' quindi il seguente
Direzione radiale (attrito-forza centrifuga): $Fa-momega^2R=0$
Direzione verticale (reazione del piano - forza peso) $N-mg=0$
Momento sul punto di contatto: Momento della forza centrifuga - momento della forza peso: $momega^2*d*cosalpha-mg*d*sinalpha=0$
Grazie!
" In quelle condizioni, ti stai mettendo automaticamente nel sistema di riferimento non inerziale e devi tirare in ballo la forza centripeta. "
Penso tu abbia inteso "forza centrifuga" visto che parli di sistema non inerziale. Ma quando si fa il diagramma di corpo libero per un corpo che segue una traiettoria circolare, si presume che il sistema di coordinate locale sia inerziale visto che si discutono solo le forze reali e non quelle fittizie come la forza centrifuga...
Cosa causa il ribaltamento verso l'esterno radialmente dal punto di vista di un sistema di riferimento inerziale? L'inerzia del corpo? Ho sempre pensato che l'inerzia facesse proseguire lungo la tangente alla traiettoria. La forza d'attrito e' una forza reale che svolge il ruolo della forza centripeta...
" In quelle condizioni, ti stai mettendo automaticamente nel sistema di riferimento non inerziale e devi tirare in ballo la forza centripeta. "
Penso tu abbia inteso "forza centrifuga" visto che parli di sistema non inerziale. Ma quando si fa il diagramma di corpo libero per un corpo che segue una traiettoria circolare, si presume che il sistema di coordinate locale sia inerziale visto che si discutono solo le forze reali e non quelle fittizie come la forza centrifuga...
Cosa causa il ribaltamento verso l'esterno radialmente dal punto di vista di un sistema di riferimento inerziale? L'inerzia del corpo? Ho sempre pensato che l'inerzia facesse proseguire lungo la tangente alla traiettoria. La forza d'attrito e' una forza reale che svolge il ruolo della forza centripeta...
Si, ho corretto.
Il ribaltamento e' causato dall'inerzia del centro di massa.
Il corpo parte per la tangente se cessa la forza di attrito. E siccome cessa anche l'inerzia centrifuga del centro di massa, la bici casca verso l'interno per effetto della coppia $Mgdsintheta$
Il ribaltamento e' causato dall'inerzia del centro di massa.
Il corpo parte per la tangente se cessa la forza di attrito. E siccome cessa anche l'inerzia centrifuga del centro di massa, la bici casca verso l'interno per effetto della coppia $Mgdsintheta$
ciao professorkappa,
grazie ancora per l'aiuto con i campi conservativi. La tua dimostrazione che campi tempo varianti non possono essere conservativi e' molto chiara. Ora sto imparando i primi fondamenti della meccanica Lagrangiana.
Ho letto riguardo al teorema di Noether ed alla legge di simmetria riguardo all'energia. Sembra che se l'energia cambia nel tempo, cioe' se il campo di forza e' tempo variante, non e' possibile riportare l'oggetto nella sua posizione iniziale e conservare l'energia. Vorrei capire meglio questi passaggi e come si allineano con il teorema di Noerther se hai tempo di fare qualche chiarimento in merito.
grazie!
grazie ancora per l'aiuto con i campi conservativi. La tua dimostrazione che campi tempo varianti non possono essere conservativi e' molto chiara. Ora sto imparando i primi fondamenti della meccanica Lagrangiana.
Ho letto riguardo al teorema di Noether ed alla legge di simmetria riguardo all'energia. Sembra che se l'energia cambia nel tempo, cioe' se il campo di forza e' tempo variante, non e' possibile riportare l'oggetto nella sua posizione iniziale e conservare l'energia. Vorrei capire meglio questi passaggi e come si allineano con il teorema di Noerther se hai tempo di fare qualche chiarimento in merito.
grazie!
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