Hamiltoniana ed equazione di hamilton - jacobi
ho un dubbio che non riesco a levarmi (classico dubbio di quello che pensa di aver capito, ma in verità non ha capito un c***o 
), abbiamo introdotto l'equazione di Hamilton Jacobi (HJ) l'altro ieri, ma nutro qualche dubbio...
facciamo un caso scemo: voglio studiare il moto di un pendolo fisico di lunghezza $l$.
L'unico mio grado di libertà è $theta$ che è l'angolo che il pendolo forma con la verticale.
Le coordiante del baricentro sono $G=(l/2sintheta,l/2costheta)$ allora avrò che, detto O il punto in cui è imperniata l'asta alla parete,
$T=1/2I_O dottheta=1/6ml^2dottheta$
$U=mgl^2costheta$ ottengo quindi
$L=1/6ml^2dottheta-mgl/2costheta$ quindi la mia bella Hamiltoniana risulta essere, essendo $p_{theta}=(delL)/(deltheta)=1/3ml^2dottheta$, $H=dotthetaP_{theta}-L=3/{2ml^2}p_{theta}^2+mgl/2costheta$
le equazioni del moto risultano essere ${(dottheta=(3p_{theta})/(ml^2)),(dotp_{theta}=-(delH)/(deltheta)=mgl/2sinthetadottheta):}
visto che sono pigro non voglio risolverle, ma voglio $S$
. Essendo che $(delH)/(delt)=0$ per trovare la soluzione all'HJ $H+(delS)/(delt)=0$ cerco una funzione del tipo $S=W-ET$ con $W=W(theta,E)$ con $E$ una costante. Essendo che penso la soluzione come una trasformazione canonica di seconda specie, ho che $p_{theta}=(delS)/(deltheta)=(dW)/(d theta)$. Ottengo quindi che $3/{2ml^2}((delS)/(deltheta))^2+mgl/2costheta+(delS)/(deltheta)=0=> 3/{2ml^2}((dW)/(d theta))^2+mgl/2costheta-E=0=> ((dW)/(d theta))^2=ml^2/3(2E-mlgcostheta)=>W=int_{theta_0}^{theta}(ml^2/3(2E-mlgcosbartheta))^(1/2)dbartheta=Omega(theta)
In conclusione ho ottenuto che $S=Omega(theta)-Et$
Quindi $p_{theta}=(dW)/(d theta)=(dOmega(theta))/(d theta)=(ml^2/3(2E-mlgcostheta))^(1/2)=>dotp_{theta}=d/(dt)((ml^2/3(2E-mlgcostheta))^(1/2))=(m^2gl^3/3sinthetadottheta)/((ml^2/3(2E-mlgcostheta))^(1/2))
Riassumendo, mettendo insieme il risultato che ho ottenuto dall'Hamiltoniana e quello che ho ottenuto dall'equazione HJ per $dotp_{theta}$ è
$dotp_{theta}=(m^2gl^3/3sinthetadottheta)/((ml^2(2E-mlg/3costheta))^(1/2))=mgl/2sinthetadottheta$ che sono risultati diversi. Come mai? lo so che è una cavolata che sbaglio... però potreste chiarirmi un attimo questo punto?
grazie mille
), abbiamo introdotto l'equazione di Hamilton Jacobi (HJ) l'altro ieri, ma nutro qualche dubbio...facciamo un caso scemo: voglio studiare il moto di un pendolo fisico di lunghezza $l$.
L'unico mio grado di libertà è $theta$ che è l'angolo che il pendolo forma con la verticale.
Le coordiante del baricentro sono $G=(l/2sintheta,l/2costheta)$ allora avrò che, detto O il punto in cui è imperniata l'asta alla parete,
$T=1/2I_O dottheta=1/6ml^2dottheta$
$U=mgl^2costheta$ ottengo quindi
$L=1/6ml^2dottheta-mgl/2costheta$ quindi la mia bella Hamiltoniana risulta essere, essendo $p_{theta}=(delL)/(deltheta)=1/3ml^2dottheta$, $H=dotthetaP_{theta}-L=3/{2ml^2}p_{theta}^2+mgl/2costheta$
le equazioni del moto risultano essere ${(dottheta=(3p_{theta})/(ml^2)),(dotp_{theta}=-(delH)/(deltheta)=mgl/2sinthetadottheta):}
visto che sono pigro non voglio risolverle, ma voglio $S$
. Essendo che $(delH)/(delt)=0$ per trovare la soluzione all'HJ $H+(delS)/(delt)=0$ cerco una funzione del tipo $S=W-ET$ con $W=W(theta,E)$ con $E$ una costante. Essendo che penso la soluzione come una trasformazione canonica di seconda specie, ho che $p_{theta}=(delS)/(deltheta)=(dW)/(d theta)$. Ottengo quindi che $3/{2ml^2}((delS)/(deltheta))^2+mgl/2costheta+(delS)/(deltheta)=0=> 3/{2ml^2}((dW)/(d theta))^2+mgl/2costheta-E=0=> ((dW)/(d theta))^2=ml^2/3(2E-mlgcostheta)=>W=int_{theta_0}^{theta}(ml^2/3(2E-mlgcosbartheta))^(1/2)dbartheta=Omega(theta)In conclusione ho ottenuto che $S=Omega(theta)-Et$
Quindi $p_{theta}=(dW)/(d theta)=(dOmega(theta))/(d theta)=(ml^2/3(2E-mlgcostheta))^(1/2)=>dotp_{theta}=d/(dt)((ml^2/3(2E-mlgcostheta))^(1/2))=(m^2gl^3/3sinthetadottheta)/((ml^2/3(2E-mlgcostheta))^(1/2))
Riassumendo, mettendo insieme il risultato che ho ottenuto dall'Hamiltoniana e quello che ho ottenuto dall'equazione HJ per $dotp_{theta}$ è
$dotp_{theta}=(m^2gl^3/3sinthetadottheta)/((ml^2(2E-mlg/3costheta))^(1/2))=mgl/2sinthetadottheta$ che sono risultati diversi. Come mai? lo so che è una cavolata che sbaglio... però potreste chiarirmi un attimo questo punto?
grazie mille
Risposte
Ci sono un po' di piccoli errori di calcolo e/o trascrizione, ti segnalo quelli fondamentali per risolvere la questione.
All'inizio quando hai calcolato $dot{p}_{theta}$ c'è un pezzo di troppo, deve essere $dot{p}_{theta} = {mgl}/2 \sin\theta$.
Nell'ultima invece il risultato del tuo conto risulta essere $dot{p}_{theta} = ({m^2gl^3}/6 \sin\theta\dot{\theta}) / ([{ml^2}/3 (2E - mgl\cos\theta)]^(1/2))$.
Ora, piccoli dettagli di conto a parte, il punto fondamentale sta nel fatto che nell'espressione che hai trovato per $dot{p}_{theta}$ c'è la costante $E$, che devi esplicitare se vuoi avere l'uguaglianza delle due espressioni.
Per esplicitarla basta notare che da $H + {\partialS}/{\partialt} = 0$ ottieni $H = E$. Devi quindi sostituire $E = 1/6ml^2\dot{\theta}^2 + mgl/2\cos\theta$.
Allora $dot{p}_{theta} = ({m^2gl^3}/6 \sin\theta\dot{\theta}) / ([{ml^2}/3 (1/3ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta -mlgcostheta)]^(1/2)) = ({m^2gl^3}/6 \sin\theta\dot{\theta}) / ((1/9 m^2l^4\dot{\theta}^2)^(1/2)) = {mgl}/2 \sin\theta$.
Tutto torna e siamo felici.
All'inizio quando hai calcolato $dot{p}_{theta}$ c'è un pezzo di troppo, deve essere $dot{p}_{theta} = {mgl}/2 \sin\theta$.
Nell'ultima invece il risultato del tuo conto risulta essere $dot{p}_{theta} = ({m^2gl^3}/6 \sin\theta\dot{\theta}) / ([{ml^2}/3 (2E - mgl\cos\theta)]^(1/2))$.
Ora, piccoli dettagli di conto a parte, il punto fondamentale sta nel fatto che nell'espressione che hai trovato per $dot{p}_{theta}$ c'è la costante $E$, che devi esplicitare se vuoi avere l'uguaglianza delle due espressioni.
Per esplicitarla basta notare che da $H + {\partialS}/{\partialt} = 0$ ottieni $H = E$. Devi quindi sostituire $E = 1/6ml^2\dot{\theta}^2 + mgl/2\cos\theta$.
Allora $dot{p}_{theta} = ({m^2gl^3}/6 \sin\theta\dot{\theta}) / ([{ml^2}/3 (1/3ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta -mlgcostheta)]^(1/2)) = ({m^2gl^3}/6 \sin\theta\dot{\theta}) / ((1/9 m^2l^4\dot{\theta}^2)^(1/2)) = {mgl}/2 \sin\theta$.
Tutto torna e siamo felici.
grazie mille!
mi ero perso in un bicchiere d'acqua se mi si presenteranno altri problemi tornerò eheh
ciao e ancora grazie!
ora proverò con sistemi a più gradi di libertà, almeno spero di vedere meglio all'opera le capacità della HJ
mi ero perso in un bicchiere d'acqua
se mi si presenteranno altri problemi tornerò ehehciao e ancora grazie!
ora proverò con sistemi a più gradi di libertà, almeno spero di vedere meglio all'opera le capacità della HJ
Prego. Se ci sono altri problemi proponili, così magari imparo qualcosa anch'io sul metodo di Hamilton-Jacobi.
Essenzialmente mi è stato introdotto due anni fa, ma fino a questo momento non l'ho mai visto applicato esplicitamente per un problema concreto.
Ciao.
Essenzialmente mi è stato introdotto due anni fa, ma fino a questo momento non l'ho mai visto applicato esplicitamente per un problema concreto.
Ciao.
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