Hamiltoniana e trasformazioni canoniche
Salve mi ritrovo nella palude delle trasformazioni canoniche leggendo sul Goldstein questo capitolo mi sono ritrovato ad affrontare un nemico di vecchia data, un ragionamento che ancora non riesco ad afferraree vorrei sapere se qualcuno può aiutarmi 
.
Tale problema è questo:
data una certa Hamiltoniana \(\displaystyle H(p,q,t) \) considero la funzione generatrice: \(\displaystyle F=F_1(q,Q,t) \) .
Ora se io considero che data una certa trasformazione \(\displaystyle Q_i=Q_i(q,p,t) \) e \(\displaystyle P_i=P_i(q,p,t) \) che individua una nuova Hamiltoniana chiamata Hamiltoniana trasformata \(\displaystyle K \), dal principio di Hamilton modificato ottengo:
\(\displaystyle p_i \dot q_i -H=P_i \dot Q_i-K +\frac{\partial F_1}{\partial t} +\frac{\partial F_1}{\partial q_i} \dot q_i+\frac{\partial F_1}{\partial Q_i} \dot Q_i \)
Il problema è che ora dice: dato che le \(\displaystyle q_i \) e le\(\displaystyle Q_i \) sono indipendenti l'equazione sopra può valere identicamente solo se \(\displaystyle \dot q_i \) e \(\displaystyle \dot Q_i \)sono identicamente nulla
non capisco proprio come si può dedurre una cosa del genere dalle ipotesi.inoltre le q e le Q sono indipendenti rispetto a cosa? . Perché se Q=Q(q,p,t) essi sono in una certa relazione essendo q e p indipendenti nel formalismo Hamiltoniano.
Gia che ci sono metto un'altro problema che avevo:(però in elettromagnetismo)
Quando si studia il metodo delle cariche immagini si considerano anche due sfere conduttrici che interagiscono ad una certa distanza \(\displaystyle d \), quando si considera la prima apprssimazione (cioè la prima interazione elettrostatica , in sostanza si prende in considerazione la prima carica immagine) si arriva a un'equazione che è fatta così:
\(\displaystyle q^2(a^2+x^2-2ax cos(\alpha))= (q_i)^2 (a^2+b^2-2ax cos(\alpha)) \) dove \(\displaystyle q_i \) è la carica immagine che cerchiamo e \(\displaystyle x \) è la posizione della carica imagine lungo la congiungente dei centri delle sfere.
Qui si dice: Dato che questa condizione deve essere valida \(\displaystyle \forall \alpha \) allora possiamo "scoppiare" l'equazione in due equazioni:
\(\displaystyle (1) q^2 (a^2+x^2 ) =(q')^2 (a^2+b^2) \)
\(\displaystyle (2) q^2(-2ax cos ( \alpha)) = (q')^2 (-2ab cos(\alpha)) \).
Grazie anticipatamente a tutti voi.
.Tale problema è questo:
data una certa Hamiltoniana \(\displaystyle H(p,q,t) \) considero la funzione generatrice: \(\displaystyle F=F_1(q,Q,t) \) .
Ora se io considero che data una certa trasformazione \(\displaystyle Q_i=Q_i(q,p,t) \) e \(\displaystyle P_i=P_i(q,p,t) \) che individua una nuova Hamiltoniana chiamata Hamiltoniana trasformata \(\displaystyle K \), dal principio di Hamilton modificato ottengo:
\(\displaystyle p_i \dot q_i -H=P_i \dot Q_i-K +\frac{\partial F_1}{\partial t} +\frac{\partial F_1}{\partial q_i} \dot q_i+\frac{\partial F_1}{\partial Q_i} \dot Q_i \)
Il problema è che ora dice: dato che le \(\displaystyle q_i \) e le\(\displaystyle Q_i \) sono indipendenti l'equazione sopra può valere identicamente solo se \(\displaystyle \dot q_i \) e \(\displaystyle \dot Q_i \)sono identicamente nulla
non capisco proprio come si può dedurre una cosa del genere dalle ipotesi.inoltre le q e le Q sono indipendenti rispetto a cosa? . Perché se Q=Q(q,p,t) essi sono in una certa relazione essendo q e p indipendenti nel formalismo Hamiltoniano.
Gia che ci sono metto un'altro problema che avevo:(però in elettromagnetismo)
Quando si studia il metodo delle cariche immagini si considerano anche due sfere conduttrici che interagiscono ad una certa distanza \(\displaystyle d \), quando si considera la prima apprssimazione (cioè la prima interazione elettrostatica , in sostanza si prende in considerazione la prima carica immagine) si arriva a un'equazione che è fatta così:
\(\displaystyle q^2(a^2+x^2-2ax cos(\alpha))= (q_i)^2 (a^2+b^2-2ax cos(\alpha)) \) dove \(\displaystyle q_i \) è la carica immagine che cerchiamo e \(\displaystyle x \) è la posizione della carica imagine lungo la congiungente dei centri delle sfere.
Qui si dice: Dato che questa condizione deve essere valida \(\displaystyle \forall \alpha \) allora possiamo "scoppiare" l'equazione in due equazioni:
\(\displaystyle (1) q^2 (a^2+x^2 ) =(q')^2 (a^2+b^2) \)
\(\displaystyle (2) q^2(-2ax cos ( \alpha)) = (q')^2 (-2ab cos(\alpha)) \).
Grazie anticipatamente a tutti voi.
Risposte
Rilancio: dati due polinomi $P_n (x)$ e $Q_n(x)$ qual è la condizione perché risultino uguali?
"DelCrossB":
Rilancio: dati due polinomi $P_n (x)$ e $Q_n(x)$ qual è la condizione perché risultino uguali?
Sia $P_n (x)= a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+...+ a_n$
e $Q_n (x)= b_0 x^n+b_1 x^{n-1}+...+ b_n$
allora sussiste l'uguaglianza se e solo se $a_i =b_i$ $\forall i=1,...,n$
Però non capisco comunque... che c'entrano i polinomi? l'equazione che coinvolge le hamiltoniane non è polinomiale tantomeno si ha a che fare con coefficienti.... Se ti riferisci alla mia seconda domanda la tua osservazione ha senso
Mi riferisco ad entrambi i problemi. È vero, qui non siamo in presenza di polinomi, ma il ragionamento è praticamente lo stesso.
Perdonami, ma qui credo ci sia un errore: non sono le $\dot q_i$ e le $\dot Q_i$ a dover essere identicamente nulle, bensì i loro coefficienti. E deve essere così perché quella uguaglianza sussista per ogni $\dot q_i$ e $\dot Q_i$.
"Ariz93":
\(\displaystyle p_i \dot q_i -H=P_i \dot Q_i-K +\frac{\partial F_1}{\partial t} +\frac{\partial F_1}{\partial q_i} \dot q_i+\frac{\partial F_1}{\partial Q_i} \dot Q_i \)
Il problema è che ora dice: dato che le \(\displaystyle q_i \) e le\(\displaystyle Q_i \) sono indipendenti l'equazione sopra può valere identicamente solo se \(\displaystyle \dot q_i \) e \(\displaystyle \dot Q_i \)sono identicamente nulla
Perdonami, ma qui credo ci sia un errore: non sono le $\dot q_i$ e le $\dot Q_i$ a dover essere identicamente nulle, bensì i loro coefficienti. E deve essere così perché quella uguaglianza sussista per ogni $\dot q_i$ e $\dot Q_i$.
"DelCrossB":
Mi riferisco ad entrambi i problemi. È vero, qui non siamo in presenza di polinomi, ma il ragionamento è praticamente lo stesso.
Ok più ho meno ho capito dove vuoi arrivare ad esempio prese due funzioni\(\displaystyle f(x,y) \) e \(\displaystyle g(x,y) \) tali che \(\displaystyle f(x,y)= ax+by \) e
\(\displaystyle g(x,y) =cx+dy \)
sussiste l'uguaglianza \(\displaystyle f(x,y)=g(x,y) \) (nell'ipotesi dell'indipendenza di x e y) solo se c=a e d=b
[quote="DelCrossB"Perdonami, ma qui credo ci sia un errore: non sono le $\dot q_i$ e le $\dot Q_i$ a dover essere identicamente nulle, bensì i loro coefficienti. E deve essere così perché quella uguaglianza sussista per ogni $\dot q_i$ e $\dot Q_i$.[/quote]
non ho detto che le qi e le Qi siano nulle bensì q punto e Q punto debbano esserlo ...però in questo caso anche le Hamiltoniane stabiliscono relazioni con q e Q no? Devo considerare anche quello no?
Il punto sta lì: non devono essere nulle $\dot q_i$ e $\dot Q_i$, ma i loro coefficienti (per il motivo che hai detto sopra). Anche perché il caso $\dot q_i=0$ e $\dot Q_i=0$ equivale ad una non evoluzione delle coordinate naturali del sistema e mi pare abbastanza inutile introdurre le trasformazioni canoniche per studiare moti che non sono moti. 
Forse esprimendo le dipendenze funzionali delle varie quantità in gioco in quell'espressione ti sembrerà meno "strano" il ragionamento... c'è qualcosa che dipende da $\dot q_i$ e $\dot Q_i$?
P.s.: se non ti sto aiutando, scusami. Il fatto è che credo questi concetti si digeriscano in maniera diversa da persona a persona. Se qualcun altro ha un approccio diverso al problema, oppure ha qualcosa da aggiungere spero lo faccia
Forse esprimendo le dipendenze funzionali delle varie quantità in gioco in quell'espressione ti sembrerà meno "strano" il ragionamento... c'è qualcosa che dipende da $\dot q_i$ e $\dot Q_i$?
P.s.: se non ti sto aiutando, scusami. Il fatto è che credo questi concetti si digeriscano in maniera diversa da persona a persona. Se qualcun altro ha un approccio diverso al problema, oppure ha qualcosa da aggiungere spero lo faccia
Scusami per la questione sui coefficenti nulli ma ho avuto una svista io.
La questione è abbastanza complicata perché devo capire bene quali sono le variabili indipendenti e quelle dipendenti.
Allora io mi porto ad un'espressione del genere:
\( \displaystyle (p_i- \frac{\partial F_1}{\partial q_i} )\dot q_i+\dot Q_i(-P_i-\frac{\partial F_1}{\partial Q_i})= H-K+\frac{\partial F_1}{\partial t} \)
Ora io so che H, K e F sono funzioni di q,p,Q,P,t ...io problema che ho ora è che non riesco a giustificare ch si annullino i coefficienti in maniera rigorosa perché q punto e Q punto sono anch'esse funzioni di q e Q . Non riesco bene a capire perché dovrebbero essere in un qual senso indipendenti...in che senso? Cioè io posso variare a mio piacimento q punto e Q punto senza far variare nulla nell'espressione di destra?(questo non è possibile)
Non capisco se c'è qualche dipendenza delle Q punto q punto e di p,q,P,Q (anche separatamente) se non c'è è ovvia la conclusione ma se c'è(e ne sono convinto) allora la questione si fa più sottile perché immagino che intendi una "dipendenza esplicita" penso questo perché tu mi hai detto : dai un'occhiata c'è qualche altro temine in q punto e Q punto?
Se si parla di dipendenza esplicita cioè che compaiono esplicitamente q punto e Qpunto...mi sembra più un magheggio matematico che altro.
La questione è abbastanza complicata perché devo capire bene quali sono le variabili indipendenti e quelle dipendenti.
Allora io mi porto ad un'espressione del genere:
\( \displaystyle (p_i- \frac{\partial F_1}{\partial q_i} )\dot q_i+\dot Q_i(-P_i-\frac{\partial F_1}{\partial Q_i})= H-K+\frac{\partial F_1}{\partial t} \)
Ora io so che H, K e F sono funzioni di q,p,Q,P,t ...io problema che ho ora è che non riesco a giustificare ch si annullino i coefficienti in maniera rigorosa perché q punto e Q punto sono anch'esse funzioni di q e Q . Non riesco bene a capire perché dovrebbero essere in un qual senso indipendenti...in che senso? Cioè io posso variare a mio piacimento q punto e Q punto senza far variare nulla nell'espressione di destra?(questo non è possibile)
Non capisco se c'è qualche dipendenza delle Q punto q punto e di p,q,P,Q (anche separatamente) se non c'è è ovvia la conclusione ma se c'è(e ne sono convinto) allora la questione si fa più sottile perché immagino che intendi una "dipendenza esplicita" penso questo perché tu mi hai detto : dai un'occhiata c'è qualche altro temine in q punto e Q punto?
Se si parla di dipendenza esplicita cioè che compaiono esplicitamente q punto e Qpunto...mi sembra più un magheggio matematico che altro.
Sono riuscito a dimostrarlo in maniera rigorosa dal punto di vista matematico, sfrutta una buona definizione di. trasformazione canonica ma è lunga e concettualmente abbastanza complessa
Hai voglia di darci l'incipit o un riferimento alla dimostrazione? Pura curiosità 
Innanzitutto ti do la definizione di trasformazione canonica che in qualche modo ho trovato a posteriori . Innanzitutto presa una qualsiasi Hamiltoniana H sappiamo che individuo già una curva nello spazio delle fasi per esistenza e unicità alldella soluzione al problema a di cauchy. Quindi quando fissi un'Hamiltoniana trovi già p(t) e q(t) la trasformazione manda (p,q) ->(P,Q) quindi data una trasformazione (anche non canonica) se fisso un 'Hamiltoniana ho già le nuove variabili P,Q.
Un trasformazione si dice canonica quando: per ogni Hamiloniana H(una qualsiasi) riesco sempre a trovare una funzione
K( P,Q ) (ricordo che data H e la trasformazione riesco già a trovare P e Q) tale che essa è Hamiltoniana per queste due variabili.
Questa è un'ottima definizione infatti ci spiega diverse cose: la prima è che definisce in maniera rigorosa quello che (almeno tutti i libri che ho trovato fino ad ora) viene detto "la trasformazione conserva la forma dell'equazioni di Hamilton" che personalmente non mi da un modo operativo e rigoroso di pensare.
La seconda è abbastanza stupefacente, infatti la trasf . canonica non dipende dall'Hamiltoniana( poiché deve valere per ognuna di esse).Questo è verificato infatti quando fai la verifica se una certa trasf. è canonica usi le parentesi di Poisson relazionando le variabili vecchie e nuove p,q e P,Q e le Hamiltoniane non compaiono affatto.
Ora dopo tutto stò popò de roba ecco la dimostrazione.(la metto in spoiler per chi vuole cimentarvisi):
Un trasformazione si dice canonica quando: per ogni Hamiloniana H(una qualsiasi) riesco sempre a trovare una funzione
K( P,Q ) (ricordo che data H e la trasformazione riesco già a trovare P e Q) tale che essa è Hamiltoniana per queste due variabili.
Questa è un'ottima definizione infatti ci spiega diverse cose: la prima è che definisce in maniera rigorosa quello che (almeno tutti i libri che ho trovato fino ad ora) viene detto "la trasformazione conserva la forma dell'equazioni di Hamilton" che personalmente non mi da un modo operativo e rigoroso di pensare.
La seconda è abbastanza stupefacente, infatti la trasf . canonica non dipende dall'Hamiltoniana( poiché deve valere per ognuna di esse).Questo è verificato infatti quando fai la verifica se una certa trasf. è canonica usi le parentesi di Poisson relazionando le variabili vecchie e nuove p,q e P,Q e le Hamiltoniane non compaiono affatto.
Ora dopo tutto stò popò de roba ecco la dimostrazione.(la metto in spoiler per chi vuole cimentarvisi):
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