Guida rettilinea mobile
Ciao a tutti,
Una guida rettilinea di massa M = 9.0 Kg, inizialmente ferma, è libera di muoversi senza
attrito su un piano orizzontale. Un punto materiale P, di massa m = 1.2 Kg, viene fatto
scivolare con velocità iniziale v0 =1.0 m/s sulla faccia superiore della guida, caratterizzata
di un coefficiente di attrito dinamico µ = 0.1. Si calcoli:
a) il tempo t durante il quale P scivola sulla guida;
b) la velocità finale di P;
c) lo spazio percorso da P rispetto alla guida.
Provo a risolvere cosi:
a) $-μmg*d=-1/2mv_0^2$ -> $d=v_0^2/2μg$ dove d è la distanza percorsa del punto rispetto alla guida.
$-F_a=ma_t$ -> $-μg=a_t$ -> $d=-1/2μg(t^2)+v_0(t)$ da cui ricavo il tempo.
b) La velocità finale la ricavo:
$v_f^2=v_0^2+2a_td$
Non ho utilizzato M della guida, che mi fa pensare di ignorare qualcosa sui moti relativi. Grazie per un eventuale aiuto
Una guida rettilinea di massa M = 9.0 Kg, inizialmente ferma, è libera di muoversi senza
attrito su un piano orizzontale. Un punto materiale P, di massa m = 1.2 Kg, viene fatto
scivolare con velocità iniziale v0 =1.0 m/s sulla faccia superiore della guida, caratterizzata
di un coefficiente di attrito dinamico µ = 0.1. Si calcoli:
a) il tempo t durante il quale P scivola sulla guida;
b) la velocità finale di P;
c) lo spazio percorso da P rispetto alla guida.
Provo a risolvere cosi:
a) $-μmg*d=-1/2mv_0^2$ -> $d=v_0^2/2μg$ dove d è la distanza percorsa del punto rispetto alla guida.
$-F_a=ma_t$ -> $-μg=a_t$ -> $d=-1/2μg(t^2)+v_0(t)$ da cui ricavo il tempo.
b) La velocità finale la ricavo:
$v_f^2=v_0^2+2a_td$
Non ho utilizzato M della guida, che mi fa pensare di ignorare qualcosa sui moti relativi. Grazie per un eventuale aiuto
Risposte
Sul sistema guida + punto materiale non agiscono forze esterne orizzontali e quindi dovrà conservarsi la quantità di moto, ovvero la soluzione dovrà soddisfare in ogni istante alla relazione:
$m*v + M*v_text(guida)=m*v_0$
Prova a rivedere l'esercizio tenendo conto di questo fatto. E tieni anche presente che il punto materiale si "ferma" quando la sua velocità relativa rispetto alla guida è nulla e non quando è nulla la velocità assoluta.
$m*v + M*v_text(guida)=m*v_0$
Prova a rivedere l'esercizio tenendo conto di questo fatto. E tieni anche presente che il punto materiale si "ferma" quando la sua velocità relativa rispetto alla guida è nulla e non quando è nulla la velocità assoluta.
Quindi per b, $mv_0=(M+m)v_(guida)$ la velocità relativa rispetto alla guida si azzera, quando la forza d'attrito "ferma" il punto.
Per il punto a, $−μmg⋅d=1/2(M+m)v_f^2−1/2mv_0^2$ il lavoro della forza d'attrito, è uguale alla variazione d'energia cinetica del sistema.
Per il punto a, $−μmg⋅d=1/2(M+m)v_f^2−1/2mv_0^2$ il lavoro della forza d'attrito, è uguale alla variazione d'energia cinetica del sistema.
Nello scrivere la relazione energetica bisogna stare attenti sul significato dei termini perchè l'attrito è una forza interna. Sul sistema complessivo non agisce nulla in senso orizzontale.
Conviene ragionare direttamente in termini di dinamica. In pratica la forza di attrito
$F_a = mu*m*g$
agisce nel senso di rallentare il punto materiale e nel contempo per il principio di azione e reazione agisce nel senso di accelerare la guida. In termini di velocità assolute risulterà:
$v= v_0 - mu*g*t$
$v_g= (mu*m*g)/M*t$
Da notare che quanto sopra soddisfa in ogni istante alla relazione
$m*v + M*v_g = m v_0$
La velocità relativa è invece
$v_r=v-v_g = v_0 -mu*g*(1+m/M)*t$
A questo punto .....
Conviene ragionare direttamente in termini di dinamica. In pratica la forza di attrito
$F_a = mu*m*g$
agisce nel senso di rallentare il punto materiale e nel contempo per il principio di azione e reazione agisce nel senso di accelerare la guida. In termini di velocità assolute risulterà:
$v= v_0 - mu*g*t$
$v_g= (mu*m*g)/M*t$
Da notare che quanto sopra soddisfa in ogni istante alla relazione
$m*v + M*v_g = m v_0$
La velocità relativa è invece
$v_r=v-v_g = v_0 -mu*g*(1+m/M)*t$
A questo punto .....
Ok, adesso per finire pongo uguale a zero la velocità relativa, trovo il tempo $t'$
Per la c) $d=−1/2μg t'+v_0t'$ è la distanza percorsa dal sistema nel tempo t', per trovare la distanza di d percorsa dal punto rispetto la guida, devo trovare la distanza percorsa dalla guida e sottrarla a d, credo.
Per b) non mi è chiaro, la velocità relativa finale non deve essere zero?
Per la c) $d=−1/2μg t'+v_0t'$ è la distanza percorsa dal sistema nel tempo t', per trovare la distanza di d percorsa dal punto rispetto la guida, devo trovare la distanza percorsa dalla guida e sottrarla a d, credo.
Per b) non mi è chiaro, la velocità relativa finale non deve essere zero?
"Alex_2001":
Ok, adesso per finire pongo uguale a zero la velocità relativa, trovo il tempo t'
Corretto. La risposta al punto a) è
$t'=v_0/(mu*g(1+m/M))$
"Alex_2001":
Per b) non mi è chiaro, la velocità relativa finale non deve essere zero?
Per il punto b) credo che si riferisca alla velocità assoluta, che risulterà dalla conservazione della qdm oppure sostituendo $t'$ nell'espressione della velocità assoluta $v(t)$
$v_f= m/(m+M) * v_0$
"Alex_2001":
trovare la distanza di d percorsa dal punto rispetto la guida, devo trovare la distanza percorsa dalla guida e sottrarla a d, credo.
Per il punto c) conviene probabilmente integrare direttamente $v_r$ e calcolare già lo spostamento relativo al tempo $t'$.
Perfetto, se volessi calcolare il lavoro della forza d'attrito, una volta calcolato lo spostamento del punto materiale rispetto alla guida integrando $v_r$:
$L_a=-μmg*S=-1/2mv_0^2$
Invece, considerando la variazione complessiva d'energia cinetica del sistema:
$ΔE_s=1/2(M+m)v^2-1/2mv_0^2$
corretto? Però se cosi fosse avrei potuto calcolare fin da subito lo spostamento relativo alla piastra, ho un pò di confusione sul come varia l'energia.
$L_a=-μmg*S=-1/2mv_0^2$
Invece, considerando la variazione complessiva d'energia cinetica del sistema:
$ΔE_s=1/2(M+m)v^2-1/2mv_0^2$
corretto? Però se cosi fosse avrei potuto calcolare fin da subito lo spostamento relativo alla piastra, ho un pò di confusione sul come varia l'energia.
La variazione totale di energia cinetica del sistema vale
$Delta E_c = 1/2 (m+M)*v_f^2 - 1/2 m v_0^2 = -1/2 (m*M)/(m+M)*v_0^2$
Lo spostamento S relativo alla guida vale:
$S = 1/2 (M*v_0^2)/(mu*g*(M+m))$
e quindi il lavoro fatto è:
$L_a = -mu m g *S = -1/2 (m*M)/(m+M)*v_0^2$
Quindi utilizzando il lavoro della forza di attrito combinato con lo spostamento relativo (che in sostanza è quello che vede la forza di attrito) si ha il risultato corretto
$-mu m g *S =Delta E_c$
e nell'ultima domanda si poteva usare il bilancio energetico in alternativa al calcolo cinematico.
Era anche possibile un'interpretazione del bilancio energetico in termini assoluti. Sia $d$ lo spazio assoluto percorso dal punto materiale e $d_g$ quello della guida fino al momento in cui si annulla la velocità relativa. Allora dovranno valere le seguenti relazioni
$-mu m g*d = 1/2 m (v_f^2 - v_0^2)$ perdita di energia cinetica della massa $m$
$mu mg* d_g = 1/2 M* v_f^2$ acquisto di energia cinetica della massa $M$
Sommando le due equazioni otteniamo
$-mu mg (d - d_g) = 1/2 (m+M) v_f^2 - 1/2 m * v_0^2$
Ma per definizione $S=d-d_g$ e inoltre il secondo termine è la variazione totale di energia cinetica, per cui si ha ancora:
$-mu m g *S =Delta E_c$
$Delta E_c = 1/2 (m+M)*v_f^2 - 1/2 m v_0^2 = -1/2 (m*M)/(m+M)*v_0^2$
Lo spostamento S relativo alla guida vale:
$S = 1/2 (M*v_0^2)/(mu*g*(M+m))$
e quindi il lavoro fatto è:
$L_a = -mu m g *S = -1/2 (m*M)/(m+M)*v_0^2$
Quindi utilizzando il lavoro della forza di attrito combinato con lo spostamento relativo (che in sostanza è quello che vede la forza di attrito) si ha il risultato corretto
$-mu m g *S =Delta E_c$
e nell'ultima domanda si poteva usare il bilancio energetico in alternativa al calcolo cinematico.
Era anche possibile un'interpretazione del bilancio energetico in termini assoluti. Sia $d$ lo spazio assoluto percorso dal punto materiale e $d_g$ quello della guida fino al momento in cui si annulla la velocità relativa. Allora dovranno valere le seguenti relazioni
$-mu m g*d = 1/2 m (v_f^2 - v_0^2)$ perdita di energia cinetica della massa $m$
$mu mg* d_g = 1/2 M* v_f^2$ acquisto di energia cinetica della massa $M$
Sommando le due equazioni otteniamo
$-mu mg (d - d_g) = 1/2 (m+M) v_f^2 - 1/2 m * v_0^2$
Ma per definizione $S=d-d_g$ e inoltre il secondo termine è la variazione totale di energia cinetica, per cui si ha ancora:
$-mu m g *S =Delta E_c$
Chiaro, penso di aver capito finalmente la dinamica dell'esercizio, grazie 
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