Guida, punto distacco, reazione normale, concavità circonf..
Una massa puntiforme m scivola senza attrito su una guida composta da un tratto obliquo e da due quarti di circonferenza di raggio R. Trovare la minima quota di partenza di m affinchè essa si distacchi nel suo moto dalla guida. Si indichi inoltre il punto della guida in cui si verifica il distacco. R = 50 cm
Il disegno non l'ho completato perchè non ero sicuro sui versi delle forze...
Secondo me sbaglio, o non faccio caso a qualcosa dovuto alla differenza della concavità della guida...il problema ho capito come risolverlo, perchè il punto di distacco avviene quanto la reazione vincolare si annulla, e l'altezza si può trovare usando la conservazione dell'energia meccanica.
Perchè per la prima circonferenza si ha (proeittando sulla normale) $R_N - mg \cos \theta = m \v^2/R$ mentre per la seconda $R_N + mg \cos \theta = m \v^2/R$? vorrei capire che cosa mi sta sfuggendo....Grazie mille!
Il disegno non l'ho completato perchè non ero sicuro sui versi delle forze...
Secondo me sbaglio, o non faccio caso a qualcosa dovuto alla differenza della concavità della guida...il problema ho capito come risolverlo, perchè il punto di distacco avviene quanto la reazione vincolare si annulla, e l'altezza si può trovare usando la conservazione dell'energia meccanica.
Perchè per la prima circonferenza si ha (proeittando sulla normale) $R_N - mg \cos \theta = m \v^2/R$ mentre per la seconda $R_N + mg \cos \theta = m \v^2/R$? vorrei capire che cosa mi sta sfuggendo....Grazie mille!
Risposte
"smaug":
[....]Secondo me sbaglio, o non faccio caso a qualcosa dovuto alla differenza della concavità della guida...il problema ho capito come risolverlo, perchè il punto di distacco avviene quanto la reazione vincolare si annulla, e l'altezza si può trovare usando la conservazione dell'energia meccanica.
Perchè per la prima circonferenza si ha (proeittando sulla normale) $R_N - mg \cos \theta = m \v^2/R$ mentre per la seconda $R_N + mg \cos \theta = m \v^2/R$? vorrei capire che cosa mi sta sfuggendo....Grazie mille!
Faresti meglio a scrivere le forze che agiscono perpendicolarmente alla guida come vettori , e poi imporre la condizione che la somma vettoriale di tali forze deve essere uguale a zero.
Le forze che agiscono sull'oggetto mobile, sono...c'è bisogno che te lo dica ? Vabbè , visto che tu sei smaug...: il componente della forza peso , la forza centrifuga, e la reazione della guida. Una volta scritta l'equazione vettoriale, mettendo per bene i versi delle tre forze, la proietti sulla normale orientata come ti pare, per esempio verso il centro di curvatura, e ottieni l'equazione scalare giusta in entrambi i tratti curvi . Nel proiettare le forze, devi tener presente che le componenti sulla normale orientata hanno valore e segno. . Che succede nel punto di flesso ?
Grazie per la risposta ma non sarebbe più giusto parlare di forza centripeta? Trovandoci in un sistema di riferimento inerziale, le forze fittizie non dovrebbero esserci giusto? Quindi le forze che agiscono sarebbero la forza perso, la reazione vincolare della guida, e la forza centripeta? Quindi mi stai dicendo che è meglio scrivere $\vec P + \vec R_N + \vec F_c = 0$ nel punto di distacco ciò dovrebbe verificarsi...
Per ipotesi il versore normale ha verso positivo se diretto verso il centro della circonferenza, a me viene da dire che nel pirmo tratto di circonferenza ho che $R_N - mg\cos\theta + m omega^2R = R_N - mg\cos\theta + m v^2 / R = 0$ e non viene come dice il libro (perchè dice che nel primo tratto $R_N = + mg\cos\theta + m v^2 / R$ > 0 e quindi non può esserci il distacco) mentre nel secondo quarto di circonferenza si essendo $R_N = m v^2 / R - mg\cos\theta $
A intuito il distacco avviene proprio nel punto di flesso...mi potresti chiarire queste cose?
Grazie ancora
P.S quando cambia la concavità la reazione normale non ha più lo stesso verso della forza centripeta?
ma non sarebbe più giusto parlare di forza centripeta? Trovandoci in un sistema di riferimento inerziale, le forze fittizie non dovrebbero esserci giusto? Quindi le forze che agiscono sarebbero la forza perso, la reazione vincolare della guida, e la forza centripeta? Quindi mi stai dicendo che è meglio scrivere $\vec P + \vec R_N + \vec F_c = 0$ nel punto di distacco ciò dovrebbe verificarsi...Per ipotesi il versore normale ha verso positivo se diretto verso il centro della circonferenza, a me viene da dire che nel pirmo tratto di circonferenza ho che $R_N - mg\cos\theta + m omega^2R = R_N - mg\cos\theta + m v^2 / R = 0$ e non viene come dice il libro (perchè dice che nel primo tratto $R_N = + mg\cos\theta + m v^2 / R$ > 0 e quindi non può esserci il distacco) mentre nel secondo quarto di circonferenza si essendo $R_N = m v^2 / R - mg\cos\theta $
A intuito il distacco avviene proprio nel punto di flesso...mi potresti chiarire queste cose?
Grazie ancora
P.S quando cambia la concavità la reazione normale non ha più lo stesso verso della forza centripeta?
"smaug":
Per ipotesi il versore normale ha verso positivo se diretto verso il centro della circonferenza, a me viene da dire che nel pirmo tratto di circonferenza ho che $R_N - mg\cos\theta + m omega^2R = R_N - mg\cos\theta + m v^2 / R = 0$ e non viene come dice il libro (perchè dice che nel primo tratto $R_N = + mg\cos\theta + m v^2 / R$ > 0 e quindi non può esserci il distacco)...
Innanzitutto, suppongo che la guida su cui scorre il punto materiale sia un vincolo unilaterale, cioè la reazione con cui esso agisce sul punto può essere diretta "solo verso l'alto", è chiaro? Il vincolo non può reagire anche con una forza diretta "verso il basso", altrimenti sarebbe bilaterale, e il punto non potrebbe staccarsi. Se non chiariamo questo, rischiamo di fare confusione.
Stando così le cose, il tuo libro ha ragione.
Il libro ragiona direttamente sulle componenti, quindi facciamolo anche noi.
Nel primo tratto, concavo verso l'alto, sia la forza centrifuga che la componente normale del peso agiscono verso il basso (non in verticale, ovvio) e "schiacciano" il punto sulla guida, che quindi può dare la sua reazione diretta in su, come deve. Perciò in questo tratto, orientata la normale verso il centro, e considerate le componenti delle forze proiettate su tale normale, l'equazione diventa :
$ -mg*cos\theta - m*v^2/R +R_N = 0 $ , da cui si ricava, come dice il libro:
$R_N = mgcos\theta + mv^2/R$ , che è sicuramente $>0$ vista la geometria ( cioè i valori che può assumere $\theta$ e la forma della guida), e quindi non ci può essere distacco.
Nel punto di flesso, la curvatura cambia bruscamente, cioè il centro di curvatura "salta" bruscamente da sopra a sotto. Perciò la forza centrifuga ha una discontinuità, e nel secondo tratto è diretta verso l'alto, mentre il componente normale del peso è sempre verso il basso : ora hanno versi opposti ( chiaramente, sempre lungo la normale alla traiettoria).
Perciò,se il modulo della forza centrifuga ( che dipende da $v^2$ ) è di piccola entità, inferiore al modulo del componente normale del peso, si può ancora avere una reazione $\vecR_N$ della guida verso l'alto, cioè in su. Prova a disegnare una forza peso con componente normale "più grande" della forza centrifuga, in direzioni opposte una all'altra: la differenza tra le due può ancora essere fornita dalla guida, ed è diretta verso l'alto.
Ma se la forza centrifuga uguaglia o supera in valore la componente del peso, non c'è più reazione della guida, per cui il punto si stacca.
Perciò, la condizione da imporre analiticamente è che si ha distacco quando i moduli della forza centrifuga e della componente normale del peso sono uguali, in questo secondo tratto. La reazione è evidentemente nulla.
Visto che il sistema è conservativo, credo si possa impostare l'equazione col principio di conservazione dell'energia.
MA io non l'ho fatto.
P.S quando cambia la concavità la reazione normale non ha più lo stesso verso della forza centripeta?
Ti ho risposto sopra.
"Navigatore":
Innanzitutto, suppongo che la guida su cui scorre il punto materiale sia un vincolo unilaterale, cioè la reazione con cui esso agisce sul punto può essere diretta "solo verso l'alto", è chiaro? Il vincolo non può reagire anche con una forza diretta "verso il basso", altrimenti sarebbe bilaterale, e il punto non potrebbe staccarsi. Se non chiariamo questo, rischiamo di fare confusione.Stando così le cose, il tuo libro ha ragione. Il libro ragiona direttamente sulle componenti, quindi facciamolo anche noi.
perfetto!
SIccome hai parlato di nuovo di forza centrifuga vorrei capire dove sbaglio nel mio ragionamento. Il tuo sistema di riferimento è inerziale o non inerziale? Se è inerziale, per esempio se io sono l'osservatore, vedo che il punto è attratto verso il centro da una forza centripeta giusto? La forza centrifuga dovrebbe esserci solamente se mi trovo sopra il punto materiale, diretta verso l'esterno e bilanciata da una forza centripeta, no?
Dalla tua premessa quindi possiamo dire che la reazione normale è sempre diretta verso l'alto del disegno e ci siamo, le forze chr agiscono in un sistema di riferimento non inerziale sono la reazione vincolare, la componente verticale del peso, e la forza cenrrifuga. Forse la forza centripeta non l'hai consideta perchè essendo il corpo in movimetno non bilancia quella centrifuga?
Scusa ancora per le domande, penso siano lecite...
A domani! Grazie
...............
Dalla tua premessa quindi possiamo dire che la reazione normale è sempre diretta verso l'alto del disegno e ci siamo, le forze che agiscono in un sistema di riferimento non inerziale sono la reazione vincolare, la componente verticale del peso, e la forza centrifuga.
Forse la forza centripeta non l'hai considerata perchè essendo il corpo in movimento non bilancia quella centrifuga? Scusa ancora per le domande, penso siano lecite...
A domani! Grazie
No smaug, non è così . Tu pensi che in questo esercizio non ci sia, la forza centripeta? C'è, c'è, è nascosta da qualche parte...
Il peso ha evidentemente anche una componente tangente alla traiettoria, che cambia con la legge : $P_t = mg*sen\theta$ , come nel pendolo, hai presente? . E' la componente del peso che causa l'accelerazione tangenziale.
Ma questa componente non c'entra, nello scrivere l'equilibrio in direzione normale alla traiettoria per determinare la reazione della guida. Ci interessano le tre forze nella direzione della normale "locale" , in ogni punto della traiettoria, che sono $\vecR_N , \vecF_c , \vec P_N $, dove l'ultima è il componente del peso in direzione normale, e $\vecF_c$ è la forza centrifuga.
Abbiamo già parlato del primo tratto di curva, concavo verso l'alto, dove abbiamo orientato la normale positiva verso l'alto, e abbiamo detto che il vincolo unilaterale può dare reazione $\vecR_N$ solo verso l'alto, cioè concorde al verso positivo della normale. Pertanto, proiettando le tre forze sulla normale, viene fuori l'equazione scalare per le componenti :
$R_N - (mv^2)/R - mgcos\theta = 0 $ , da cui : $ R_N = (mv^2)/R + mgcos\theta $ , che è sicuramente una quantità positiva, come deve essere. Da chi è data qui, la forza centripeta ?
Nel secondo tratto di curva, con la convessità in alto, se orientiamo ancora verso l'alto la normale locale in un punto qualunque, e supponiamo ancora che la guida dia reazione verso l'alto, perciò $R_N>0$ , dobbiamo tener conto che la forza centrifuga è ora diretta anch'essa verso l'alto, mentre la componente del peso è verso il basso. Per cui, proiettando sulla normale stessa, avremo l'equazione scalare : $ R_N + (mv^2)/R - mgcos\theta = 0 $ , e cioè : $ R_N = mgcos\theta - (mv^2)/R $ . Ora al secondo membro c'è un segno "$-$" , il che significa che potrebbe risultare $R_N<0$, ma abbiamo detto che questo non è possibile perchè il vincolo è unilaterale e dà reazione solo positiva, al limite nulla. Ecco, è proprio questa condizione limite che bisogna cercare.
Da chi è data ora la forza centripeta?
La risposta migliore sarebbe regalarti un biglietto per Mirabilandia, dove dovresti "prima" guardare un amico che va nelle montagne russe ( e quindi tu saresti un osservatore inerziale) , ma "poi" dovresti salire tu nel carrellino, e fare tutto il percorso, perciò saresti un osservatore non inerziale.
Però a differenza dell'esercizio il vincolo nelle montagne russe è bene che sia "bilaterale" , se no povero Smaug....!
L'osservatore inerziale non avverte alcuna forza apparente. Egli osserva che il punto materiale sulla guida cambia direzione durante il moto, così come osserva, ad esempio, un'auto che entra in una curva, e pensa : " Cavolo! non è andata dritta! Il suo vettore velocità ha ruotato, vuol dire che ha subìto una accelerazione "centripeta". Che sia l'aderenza tra le gomme e l'asfalto, a causare questa accelerazione? Penso proprio di sì. Deve nascere, tra gomme e strada , una forza che agendo sull'auto è diretta verso il centro, la chiamerò: forza centripeta"
Invece l'osservatore non inerziale avverte le forze apparenti, meglio dette "inerziali". Nel suo riferimento rotante, è in equilibrio, come lo è l'autista rispetto alla macchina che va in curva.
A proposito, smaug...ma lo hai risolto questo esercizio, sì o no ?
Una volta detto ciò ovvero $R_N = 0 -> g\ \cos\ \theta = v^2 / R$
vale per la conservazione dell'energia meccanica $m\ g\ h = 1/2\ m\ v^2 + m\ g\ R\ \cos\ \theta$ da cui $v^2 = 2g (h - R\ \cos\ \theta)$ che messa nella condizione che mi hai gentilmente suggerito ho che $ h = 3/2\ R\ \cos \theta$
In teoria $\theta = \pi /4$ ne punto di flesso giusto? ergo
$h = (3\sqrt{2}) / 4 R$
Magari a mirabilandia ci andiamo questa estate dopo aver passato fisica con chi vuole del forum!
Mi sei stato molto utile perchè è stato un buon ripassa, infatti l'accelerazione tangenziale varia solo il modulo della valocità, mentre quella centripeta, anche direzione...
Se nel ptimo tratto la concavità della guida è verso l'alto, il corpo cambia la direzione della sua velocità grazie a una forza (centripeta) diretta verso il centro della curva no? e tu oltre a questo mi stai dicendo che invece la forza centrifuga è diretta giustamente verso l'esterno...però nelle proiezioni lungo la normale perchè non metti sia forza centripeta che centrifuga?
Navigatò qua ci scommetto che le mie domande derivano sicuramente da una comprensione parziale di questi argomenti, però sento che è una sottigliezza, almeno spero...vero?
P.S è corretto lo svolgimento del problema?
Grazie mille
vale per la conservazione dell'energia meccanica $m\ g\ h = 1/2\ m\ v^2 + m\ g\ R\ \cos\ \theta$ da cui $v^2 = 2g (h - R\ \cos\ \theta)$ che messa nella condizione che mi hai gentilmente suggerito ho che $ h = 3/2\ R\ \cos \theta$
In teoria $\theta = \pi /4$ ne punto di flesso giusto? ergo
$h = (3\sqrt{2}) / 4 R$
Magari a mirabilandia ci andiamo questa estate dopo aver passato fisica con chi vuole del forum!
Mi sei stato molto utile perchè è stato un buon ripassa, infatti l'accelerazione tangenziale varia solo il modulo della valocità, mentre quella centripeta, anche direzione...
Se nel ptimo tratto la concavità della guida è verso l'alto, il corpo cambia la direzione della sua velocità grazie a una forza (centripeta) diretta verso il centro della curva no? e tu oltre a questo mi stai dicendo che invece la forza centrifuga è diretta giustamente verso l'esterno...però nelle proiezioni lungo la normale perchè non metti sia forza centripeta che centrifuga?
Navigatò qua ci scommetto che le mie domande derivano sicuramente da una comprensione parziale di questi argomenti, però sento che è una sottigliezza, almeno spero...vero?
P.S è corretto lo svolgimento del problema?
Grazie mille
Asmà,
nun me trovo co li risultati tua...Nun me pare...controlla bbene! Ma forze me sbaijo io ?
nun me trovo co li risultati tua...Nun me pare...controlla bbene! Ma forze me sbaijo io ?
non saprei, il libro mi dà la stessa soluzione!
oggi ne ho parlato con il prof, e mi ha detto che effettivamente questo esercizio è più facile da comprendere se spiegato con la forza centrifuga, e da come mi ha detto ho capito che la forza centripeta sarebbe la reazione normale?
oggi ne ho parlato con il prof, e mi ha detto che effettivamente questo esercizio è più facile da comprendere se spiegato con la forza centrifuga, e da come mi ha detto ho capito che la forza centripeta sarebbe la reazione normale?
"smaug":
Una volta detto ciò ovvero $R_N = 0 -> g\ \cos\ \theta = v^2 / R$
vale per la conservazione dell'energia meccanica $m\ g\ h = 1/2\ m\ v^2 + m\ g\ R\ \cos\ \theta$ da cui $v^2 = 2g (h - R\ \cos\ \theta)$ che messa nella condizione che mi hai gentilmente suggerito ho che $ h = 3/2\ R\ \cos \theta$
In teoria $\theta = \pi /4$ ne punto di flesso giusto? ergo
$h = (3\sqrt{2}) / 4 R$
....................
P.S è corretto lo svolgimento del problema?
Grazie mille
No smaug , non è corretto, è sbagliato ! Non è vero che : $m\ g\ h = 1/2\ m\ v^2 + m\ g\ R\ \cos\ \theta$ .
E' sbagliata la quota del generico punto, al di sopra del punto più basso della traiettoria ( da cui si misura l'altezza $h$ del punto iniziale del moto), che non vale $Rcos\theta$, bensì $R(1-cos\theta)$ : osserva bene la figura e te ne rendi conto. Metti un asse $x$ orizzontale tangente alla traiettoria nel suo punto più basso, che è evidentemente sulla verticale del centro del primo quarto di circonferenza, e misura le altezze a partire da questo asse verso l'alto. Poi prendi un punto qualsiasi della traiettoria, e determina la quota).
Deve essere, per la conservazione dell'energia meccanica in un punto :
$2gh = 2gR(1-cos\theta) + v^2 $. ( Infatti, solo così nel punto più basso puoi avere : $ v_(max) = sqrt(2gh)$ )
Nel punto di flesso $F$ dove $\theta = 45°$ e la $R_N$ può diventare negativa o nulla: $ v_F^2 = gRcos45° = gRsqrt2/2$.
Per la conservazione dell'energia, nel punto $F$ hai :
$2gh = 2gR(1-sqrt2/2) + v_F^2 = 2gR(1-sqrt2/2) + gRsqrt2/2 $
e cioè, facendo i passaggi : $ h = R (4-sqrt2)/4$ , e non il valore che hai messo tu.
PArlane col tuo prof, e fammi sapere se per caso ho sbagliato io.
Il libro dice che per la conservazione dell'energia meccanica si ha:
$mgh = 1/2 mv^2 + mgR\cos\theta$
da cui $v^2 = 2g (h - R\cos\theta)$
sostituendo nella condizione del distacco:
$g\ \cos \theta = 2g/R (h -R\ \cos \theta) -> h = 3/2R\cos \theta$
essendo la guida un quarto di circonferenza si ha:
$h = h_min <=> \theta = \theta_max -> h_min = 3/2R\ \cos \theta_max = 3\sqrt{2] /4 R$ e questo risultato matematicamente parlando mi è chiaro perchè il valore minimo dell'altezza si ha per l'angolo massimo compreso in un range tra $-pi/4$ e $\pi/4$ giusto?
$mgh = 1/2 mv^2 + mgR\cos\theta$
da cui $v^2 = 2g (h - R\cos\theta)$
sostituendo nella condizione del distacco:
$g\ \cos \theta = 2g/R (h -R\ \cos \theta) -> h = 3/2R\cos \theta$
essendo la guida un quarto di circonferenza si ha:
$h = h_min <=> \theta = \theta_max -> h_min = 3/2R\ \cos \theta_max = 3\sqrt{2] /4 R$ e questo risultato matematicamente parlando mi è chiaro perchè il valore minimo dell'altezza si ha per l'angolo massimo compreso in un range tra $-pi/4$ e $\pi/4$ giusto?
"smaug":
Il libro dice che per la conservazione dell'energia meccanica si ha:
$mgh = 1/2 mv^2 + mgR\cos\theta$
da cui $v^2 = 2g (h - R\cos\theta)$
Da dove misura le altezze il tuo libro ? E come misura gli angoli? Dalla verticale per il centro della prima curva immagino.
Come dice lui , per $\theta = 0 $ non si ha $v_0 = sqrt(2gh)$ . Si avrebbe per $\theta = 90°$ , il che è palesemente errato.
L'energia potenziale iniziale si deve trasformare tutta in en cinetica, nel punto più basso della curva, se misuri le quote da questo punto, come ti ho detto . E questo non mi sembra , dal tuo libro. Tieni presente che quando parli di "trasformazione dell'energia potenziale" devi stabilire correttamente il livello di riferimento dove assumi $E_p = 0 $ , poichè in relatà abbiamo a che fare sempre con "differenze" di energia.
Non so se ho le traveggole io o il tuo libro. Comunque, guarda qui come ho ragionato io, e parlane col tuo professore, poi mi dici. Io posso anche sbagliare, ma dovremmo capire chi è che sbaglia.
"navigatore":
Comunque, guarda qui come ho ragionato io, e parlane col tuo professore, poi mi dici. Io posso anche sbagliare, ma dovremmo capire chi è che sbaglia.
Si il tuo ragionamento l'ho seguito, per quanto riguarda il professore la settimana prossima non riceve, quindi non saprei...comunque grazie mille ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo