Guida circolare in movimento
Una guida semisferica di raggio R e di massa M è appoggiata su un piano orizzontale privo di attrito. Un punto materiale di massa m viene lasciato cadere da fermo da una altezza h, in modo da arrivare sul bordo destro della guida. Nell’ipotesi in cui non vi sia attrito tra la massa e la guida si calcoli:
1. lo spostamento orizzontale della massa $(x_m)$ e della guida $(x_M)$ nel momento
in cui la massa m raggiunge il bordo opposto della guida;
2. l’altezza massima h' raggiunta dalla massa m nel suo moto;
3. la velocità della massa m vm quando transita nel punto più basso della guida.
4. Il lavoro fatto dalla reazione vincolare massa-guida sulla guida $L_M$ dall’istante iniziale al momento in cui la massa transita nel punto più basso della guida.
Sia ora h=R (la massa cade da fermo dal bordo della guida). Sulla guida viene applicata una forza F orizzontale che la mantiene ferma.
5. Calcolare la forza F in funzione dell’angolo θ
Sono da considerarsi noti i valori numerici di: M, m, R, h;
Figura:
Mi sto trovando in difficoltà con il punto 4.
Avevo pensato 2 strategie:
1) Fare l'integrale in ds (dove s è lo spostamento compiuto dalla guida). Però non so come ricavarmi il modulo di $L_M$
2) Usare il teorema dell'energia cinetica. Però a questo punto dovrei ricavarmi $L_m$ (il lavoro fatto dalla reazione vincolare massa-guida sulla massa) dunque sono punto a capo. Almeno che $L_m$ non faccia lavoro.
Qualche idea?
1. lo spostamento orizzontale della massa $(x_m)$ e della guida $(x_M)$ nel momento
in cui la massa m raggiunge il bordo opposto della guida;
2. l’altezza massima h' raggiunta dalla massa m nel suo moto;
3. la velocità della massa m vm quando transita nel punto più basso della guida.
4. Il lavoro fatto dalla reazione vincolare massa-guida sulla guida $L_M$ dall’istante iniziale al momento in cui la massa transita nel punto più basso della guida.
Sia ora h=R (la massa cade da fermo dal bordo della guida). Sulla guida viene applicata una forza F orizzontale che la mantiene ferma.
5. Calcolare la forza F in funzione dell’angolo θ
Sono da considerarsi noti i valori numerici di: M, m, R, h;
Figura:
Mi sto trovando in difficoltà con il punto 4.
Avevo pensato 2 strategie:
1) Fare l'integrale in ds (dove s è lo spostamento compiuto dalla guida). Però non so come ricavarmi il modulo di $L_M$
2) Usare il teorema dell'energia cinetica. Però a questo punto dovrei ricavarmi $L_m$ (il lavoro fatto dalla reazione vincolare massa-guida sulla massa) dunque sono punto a capo. Almeno che $L_m$ non faccia lavoro.
Qualche idea?
Risposte
Nessuno ha idee?
"Dracmaleontes":
Il lavoro fatto dalla reazione vincolare massa-guida sulla guida ...
"Dracmaleontes":
Usare il teorema dell'energia cinetica ...
Appunto. Si tratta di determinare la variazione di energia cinetica della sola guida.
Ma visto che la guida è inizialmente ferma:
$L_M = \frac{1}{2}Mv_f^2$
o sbaglio?
$L_M = \frac{1}{2}Mv_f^2$
o sbaglio?
Certamente. Del resto, determinare la velocità della guida, nell'istante in cui la massa transita nel suo punto più basso, non dovrebbe presentare particolari difficoltà.
Si, quella velocità l'avevo già determinata per il punto 3, grazie
Propongo un altro problema:
Ho un altro problema da sottoporvi:
Un pendolo di massa m0 è posizionato su di un carrello di massa M, ed è attaccato tramite una fune sottile di lunghezza R e di massa trascurabile al polo P. Inizialmente il carrello e il pendolo si muovono lungo x con velocità costante V . Ad un certo istante di tempo t0 il carrello urta con un secondo corpo di massa m e vi rimane attaccato. Si assuma che M,m >> m0, pertanto dopo l’urto non sono in atto forze apparenti su m0. Nell’ipotesi che non ci siano attriti determinare:
1. La velocità V0 dei due carrelli dopo l’urto
2. La minima velocità iniziale V1 > V che deve avere il carrello, affinchè il pendolo effettui un giro completo attorno al polo P.
3. Se ora la massa m0 non è trascurabile, ma la velocità iniziale del carrello è tale che, dopo l’urto, il pendolo compia piccole oscillazioni attorno alla verticale, è possibile studiare il moto relativo tra m0 e M +m come problema dei due corpi?
Ho determinato V0 nel punto 1 con la conservazione della quantità di moto, ora ho dei problemi con il punto 2. Non mi vengono idee per correlare l'angolo di rotazione alla velocità, avevo pensato ad usare il teorema dell'energia cinetica, uguagliando la variazione di $K$ a quella del lavoro della forza peso agente sulla massetta, però in un giro completo la forza peso fa lavoro nullo e dunque ottengo che la velocità minima di V dovrebbe essere 0 (chiaramente assurdo). Data la parola "polo" avevo pensato anche alla conservazione del momento angolare, ma non ho idee chiare su come fare ciò. Avete qualche consiglio?
Ho un altro problema da sottoporvi:
Un pendolo di massa m0 è posizionato su di un carrello di massa M, ed è attaccato tramite una fune sottile di lunghezza R e di massa trascurabile al polo P. Inizialmente il carrello e il pendolo si muovono lungo x con velocità costante V . Ad un certo istante di tempo t0 il carrello urta con un secondo corpo di massa m e vi rimane attaccato. Si assuma che M,m >> m0, pertanto dopo l’urto non sono in atto forze apparenti su m0. Nell’ipotesi che non ci siano attriti determinare:
1. La velocità V0 dei due carrelli dopo l’urto
2. La minima velocità iniziale V1 > V che deve avere il carrello, affinchè il pendolo effettui un giro completo attorno al polo P.
3. Se ora la massa m0 non è trascurabile, ma la velocità iniziale del carrello è tale che, dopo l’urto, il pendolo compia piccole oscillazioni attorno alla verticale, è possibile studiare il moto relativo tra m0 e M +m come problema dei due corpi?
Ho determinato V0 nel punto 1 con la conservazione della quantità di moto, ora ho dei problemi con il punto 2. Non mi vengono idee per correlare l'angolo di rotazione alla velocità, avevo pensato ad usare il teorema dell'energia cinetica, uguagliando la variazione di $K$ a quella del lavoro della forza peso agente sulla massetta, però in un giro completo la forza peso fa lavoro nullo e dunque ottengo che la velocità minima di V dovrebbe essere 0 (chiaramente assurdo). Data la parola "polo" avevo pensato anche alla conservazione del momento angolare, ma non ho idee chiare su come fare ciò. Avete qualche consiglio?
Per lo spostamento devi considerare che il sistema è isolato lungo l'asse x, dunque la posizione del CM non varia.
Tieni anche presente che, quando la pallina è arrivata alla fine della guida: $\Deltax_{massa} = \Deltax_{guida} + 2R$
Tieni anche presente che, quando la pallina è arrivata alla fine della guida: $\Deltax_{massa} = \Deltax_{guida} + 2R$
Nessuno riesce a darmi una mano nell'ultimo problema che ho postato?
A mio parere, lo svolgimento prevede che, dopo l'urto, $m_0$ continui a muoversi con velocità $V$. Ciò che mi rende perplesso è il motivo per il quale si debba assumere $m_0$ trascurabile rispetto a $M$ e $m$. Insomma, secondo il modello sottostante:
$m_0$ dovrebbe continuare a muoversi con velocità $V$ indipendentemente dal suo valore.
P.S.
Rileggendo più attentamente il testo, l'assunzione di cui sopra si riferisce al moto del pendolo dopo l'urto.
Conservazione della quantità di moto (sistema di riferimento inerziale)
$(M+m_0)V=(M+m)V_0+m_0v$
Secondo principio della dinamica (sistema di riferimento non inerziale)
$[m_0a_r=m_0(V-V_0)/(\Deltat)] rarr [a_r\Deltat=V-V_0] rarr [\DeltaV_r=V-V_0] rarr$
$rarr [V_r-0=V-V_0] rarr [v-V_0=V-V_0] rarr [v=V]$
$m_0$ dovrebbe continuare a muoversi con velocità $V$ indipendentemente dal suo valore.
P.S.
Rileggendo più attentamente il testo, l'assunzione di cui sopra si riferisce al moto del pendolo dopo l'urto.
E in ogni caso riesce a fare un giro completo intorno al polo?
Non proprio. Nell'ipotesi in cui $m_0$ sia trascurabile rispetto a $M$ e $m$, puoi studiare il moto del pendolo come se il sistema di massa $M+m$, dopo l'urto, sia un sistema di riferimento inerziale che si muove con velocità costante $V_0$. Insomma, si tratta di determinare la minima velocità $v_i$ che deve essere impressa affinché un pendolo, il cui punto di sospensione è rigidamente collegato a terra, possa compiere un giro completo, un classico in questo ambito:
A questo punto, dopo aver osservato che, nel caso in esame, $v_i$ è una velocità relativa, dovresti riuscire a concludere.
$[1/2m_0v_i^2=1/2m_0v_f^2+2m_0gR] ^^ [m_0v_f^2/R=m_0g+T] ^^ [T=0] rarr [v_i=sqrt(5gR)]$
A questo punto, dopo aver osservato che, nel caso in esame, $v_i$ è una velocità relativa, dovresti riuscire a concludere.
Non mi sono chiare alcune cose....
Nella conservazione dell'energia perchè compare quel $2m_0gR$ ? Inoltre da quello che vedo hai deciso di far partire il pendolo dalla posizione con angolo nullo o sbaglio? E inoltre, una volta trovata la velocità relativa quello il risultato finale sarà dato da: $V_1 = V + v_i$ ?
Nella conservazione dell'energia perchè compare quel $2m_0gR$ ? Inoltre da quello che vedo hai deciso di far partire il pendolo dalla posizione con angolo nullo o sbaglio? E inoltre, una volta trovata la velocità relativa quello il risultato finale sarà dato da: $V_1 = V + v_i$ ?
"Dracmaleontes":
... perché compare quel ...
Perché il giro completo richiede una variazione di altezza uguale a $2R$.
"Dracmaleontes":
... hai deciso di far partire il pendolo dalla posizione con angolo nullo ...
Visto che, inizialmente, il pendolo è allineato lungo la verticale, non si comprende quale altro angolo si dovrebbe considerare.
"Dracmaleontes":
E inoltre ...
La velocità relativa $v_i$ da inserire nella formula sottostante:
$v_i=sqrt(5gR)$
altro non è che $V_1-V_0$, essendo $V_0$ la velocità di $M+m$ dopo l'urto corrispondente alla velocità $V_1$ di $M$ prima dell'urto (da determinare conservando la quantità di moto).
Ok capito, grazie dell'aiuto
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