Gruppi di Lie e Rappresentazioni
chiedo scusa ai moderatori, visto che ho aperto un argomento uguale nella sezione "Università", ma ripensandoci forse è meglio postarlo qui...
avevo scritto:
grazie di nuovo
avevo scritto:
ciao ragazzi,
ho fatto un po di confusione sul collegamento fra rappresentazione, algebra e gruppo...cioè:
so che il collegamento fra algebra e gruppo di Lie è del tipo: $A \mapsto e^(At)$
so anche che una rappresentazione di un algebra (o di un gruppo) è un omomorfismo fra l'algebra (o il gruppo) e l'algebra (o il gruppo) delle matrici nxn
quindi:
se io prendo ad esempio il gruppo SU(2) (il gruppo delle matrici unitarie 2x2)
so che la sua algebra è del tipo $[J_i,J_j]=\epsilon^(ijk)J_k$ che può avere varie rappresentazioni (tramite matrici 2x2 3x3 ecc)
ma quindi ora non capisco...
se io prendo una rappresentazione dell'algebra fatta da matrici $A_i$ 3x3, esponenziando ottengo una matrice $e^((A_i)(t_i))$ che però sarà del tipo 3x3 e quindi non appartenente a SU2...
insomma... ho appena iniziato sto argomento e faccio un po di confusione... spero di essere stato chiaro su ciò che non ho capito...
grazie
grazie di nuovo
Risposte
ho appena dato l'esame di teoria dei gruppi.....quindi dovrei essere in grado di scrivere cose sensate.....speriamo.....
Prendiamo ad esempio SU(2). Come dicevi è il gruppo delle matrici unitarie 2x2 sui complessi che agiscono su vettori bidimensionali complessi. E quindi esponenzializzando un elemento della sua algebra, che scriviamo come $\sigma(t) = sum_k i t_k \sigma_k$ con le sigma che sono le matrici di pauli, otteniamo $e^(\sigma(t))$ che è un elemento del gruppo SU(2), cioè una matrice 2x2 complessa sui complessi.
Una rappresentazione è un omeomorfismo tra algebre che lascia invariate le parentesi di Lie. Quindi è una trasformazione che ti permette di mappare la tua algebra, ad esempio quella di SU(2) sulle matrici 2x2 complesse, in un'altra algebra, ad esempio quella di SU(2) sulle matrici 3x3 reali. Come dicevo questa mappa deve preservare la parentesi di Lie nelle due algebre. Chiama g e g' le algebre e indica con [x,y] le parentesi di Lie in g e con {X,Y} le parentesi in g'.
Allora deve valere che detto D : g -> g' l'omeomorfismo
$D([x,y]) = {D(x), D(y)}$ per ogni $x,y in g$
Questo significa che, sotto una serie di condizioni, la tua rappresentazione D: g -> g' è un omeomorfismo tra i gruppi G e G' e soddisfa questa relazione per ogni X di g
$D(e^X) = e^(D(X))$.
Nel caso di SU(2) allora il problema può essere posto in termini della conservazione delle parentesi di Lie. Mi spiego meglio. Siccome siamo riusciti a trovare una base, cioè le matrici di Pauli, per l'algebra di SU(2) sulle matrici 2x2 complesse e abbiamo scoperto che per queste particolari matrici vale la relazione
$\sigma_i \sigma_j - \sigma_j \sigma_i = \epsilon^(i j k) \sigma_k = [ \sigma_i , \sigma_j ]$
Visto che l'ultimo membro rappresenta il commutatore tra gli elementi di base dell'algebra di SU(2) sulle matrici 2x2 complesse, sappiamo che questo deve caratterizzare l'algebra di qualsiasi rappresentazione delle matrici di pauli, o in altri termini, è come chiedersi, quali sono le matrici 3x3 reali, ad esempio, che soddisfano $[ J_i , J_j ] = \epsilon^(i j k) J_k$ per trovare una rappresentazione dell'algebra del gruppo SU(2) sulle matrici 3x3 reali. In pratica quello che fai è cercare l'immagine delle matrici di pauli tramite l'omeomorfismo di cui sopra senza costruire esplicitamente la trasformazione.
Ti ho confuso le idee???
Prendiamo ad esempio SU(2). Come dicevi è il gruppo delle matrici unitarie 2x2 sui complessi che agiscono su vettori bidimensionali complessi. E quindi esponenzializzando un elemento della sua algebra, che scriviamo come $\sigma(t) = sum_k i t_k \sigma_k$ con le sigma che sono le matrici di pauli, otteniamo $e^(\sigma(t))$ che è un elemento del gruppo SU(2), cioè una matrice 2x2 complessa sui complessi.
Una rappresentazione è un omeomorfismo tra algebre che lascia invariate le parentesi di Lie. Quindi è una trasformazione che ti permette di mappare la tua algebra, ad esempio quella di SU(2) sulle matrici 2x2 complesse, in un'altra algebra, ad esempio quella di SU(2) sulle matrici 3x3 reali. Come dicevo questa mappa deve preservare la parentesi di Lie nelle due algebre. Chiama g e g' le algebre e indica con [x,y] le parentesi di Lie in g e con {X,Y} le parentesi in g'.
Allora deve valere che detto D : g -> g' l'omeomorfismo
$D([x,y]) = {D(x), D(y)}$ per ogni $x,y in g$
Questo significa che, sotto una serie di condizioni, la tua rappresentazione D: g -> g' è un omeomorfismo tra i gruppi G e G' e soddisfa questa relazione per ogni X di g
$D(e^X) = e^(D(X))$.
Nel caso di SU(2) allora il problema può essere posto in termini della conservazione delle parentesi di Lie. Mi spiego meglio. Siccome siamo riusciti a trovare una base, cioè le matrici di Pauli, per l'algebra di SU(2) sulle matrici 2x2 complesse e abbiamo scoperto che per queste particolari matrici vale la relazione
$\sigma_i \sigma_j - \sigma_j \sigma_i = \epsilon^(i j k) \sigma_k = [ \sigma_i , \sigma_j ]$
Visto che l'ultimo membro rappresenta il commutatore tra gli elementi di base dell'algebra di SU(2) sulle matrici 2x2 complesse, sappiamo che questo deve caratterizzare l'algebra di qualsiasi rappresentazione delle matrici di pauli, o in altri termini, è come chiedersi, quali sono le matrici 3x3 reali, ad esempio, che soddisfano $[ J_i , J_j ] = \epsilon^(i j k) J_k$ per trovare una rappresentazione dell'algebra del gruppo SU(2) sulle matrici 3x3 reali. In pratica quello che fai è cercare l'immagine delle matrici di pauli tramite l'omeomorfismo di cui sopra senza costruire esplicitamente la trasformazione.
Ti ho confuso le idee???
no, per fortuna non mi hai confuso le idee (spero) 
e grazie per aver risposto 
ma quindi nel mio caso, supponiamo che io scelga una rappresentazione dell'algebra su2 tramite le matrici 3x3 (per esempio le matrici della rappresentazione a spin 1 della meccanica quantistica)
tu mi stai dicendo che facendo l'esponenziale della rappresentazione $D(X)\mapsto e^(D(X)t)=D(e^(Xt))$ ottengo una rappresentazione del gruppo??
ma quindi poi come faccio a verificare che la rappresentazione del gruppo è proprio la rappresentazione di SU(2)?? (mi chiedo questo proprio perchè anche la rappresentazione del gruppo sarà composta da matrici 3x3)
PS: immagino che intendevi omomorfismo invece che omeomorfismo...
e grazie per aver risposto ma quindi nel mio caso, supponiamo che io scelga una rappresentazione dell'algebra su2 tramite le matrici 3x3 (per esempio le matrici della rappresentazione a spin 1 della meccanica quantistica)
tu mi stai dicendo che facendo l'esponenziale della rappresentazione $D(X)\mapsto e^(D(X)t)=D(e^(Xt))$ ottengo una rappresentazione del gruppo??
ma quindi poi come faccio a verificare che la rappresentazione del gruppo è proprio la rappresentazione di SU(2)?? (mi chiedo questo proprio perchè anche la rappresentazione del gruppo sarà composta da matrici 3x3)
PS: immagino che intendevi omomorfismo invece che omeomorfismo...
Provo ad aggiungere qualcosa anch'io, spero di non dire inesattezze, in caso contrario alle.fabbri mi corregga.
Considera un gruppo di Lie di matrici dipendente da alcuni parametri. Calcolando le matrici al primo ordine nello sviluppo dei parametri ottieni una rappresentazione dei generatori dell'algebra di Lie associata. Calcolando i commutatori di queste matrici ricavi le relazioni di commutazione, che definiscono l'algebra di Lie associata al gruppo. Ora puoi tranquillamente prendere un'altra rappresentazione di quest'algebra, ad esempio matrici di dimensionalità differente rispetto al gruppo di partenza, e ottenere per mezzo della mappa esponenziale un nuovo gruppo di matrici.
Il problema è che, mentre se parti da un gruppo ottieni un'unica algebra associata, partendo dall'algebra e esponenziando rappresentazioni diverse non ottieni lo stesso gruppo, o meglio non ottieni due gruppi isomorfi. Ad esempio partendo dai gruppi $SU(2)$ o da $SO(3)$ si ricava per entrambi l'algebra di Lie definita da $[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k$, ma i due gruppi non sono identici. Infatti la corrispondenza tra $SU(2)$ e $SO(3)$ è due ad uno, si dice che $SU(2)$ è un rivestimento universale di $SO(3)$. Questo argomento è trattato anche su Meccanica Quantistica Moderna di Sakurai nel capitolo sul momento angolare.
Fisicamente la scelta della rappresentazione ha conseguenze rilevanti. Infatti in seguito una rotazione di $2\pi$ rispetto ad un asse la rappresentazione di spin $1$ manda lo stato in sè stesso, mentre quella di spin $1/2$ manda lo stato in meno sè stesso. In ogni caso per entrambe le rappresentazioni, oppure parlando fisicamente per entrambe le particelle, l'algebra di Lie che c'è dietro è sempre quella del momento angolare.
Considera un gruppo di Lie di matrici dipendente da alcuni parametri. Calcolando le matrici al primo ordine nello sviluppo dei parametri ottieni una rappresentazione dei generatori dell'algebra di Lie associata. Calcolando i commutatori di queste matrici ricavi le relazioni di commutazione, che definiscono l'algebra di Lie associata al gruppo. Ora puoi tranquillamente prendere un'altra rappresentazione di quest'algebra, ad esempio matrici di dimensionalità differente rispetto al gruppo di partenza, e ottenere per mezzo della mappa esponenziale un nuovo gruppo di matrici.
Il problema è che, mentre se parti da un gruppo ottieni un'unica algebra associata, partendo dall'algebra e esponenziando rappresentazioni diverse non ottieni lo stesso gruppo, o meglio non ottieni due gruppi isomorfi. Ad esempio partendo dai gruppi $SU(2)$ o da $SO(3)$ si ricava per entrambi l'algebra di Lie definita da $[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k$, ma i due gruppi non sono identici. Infatti la corrispondenza tra $SU(2)$ e $SO(3)$ è due ad uno, si dice che $SU(2)$ è un rivestimento universale di $SO(3)$. Questo argomento è trattato anche su Meccanica Quantistica Moderna di Sakurai nel capitolo sul momento angolare.
Fisicamente la scelta della rappresentazione ha conseguenze rilevanti. Infatti in seguito una rotazione di $2\pi$ rispetto ad un asse la rappresentazione di spin $1$ manda lo stato in sè stesso, mentre quella di spin $1/2$ manda lo stato in meno sè stesso. In ogni caso per entrambe le rappresentazioni, oppure parlando fisicamente per entrambe le particelle, l'algebra di Lie che c'è dietro è sempre quella del momento angolare.
ah...ora comincio a capire...
praticamente se voglio avere un gruppo SU2, devo per forza rappresentare l'algebra con matrici 2x2??
praticamente se voglio avere un gruppo SU2, devo per forza rappresentare l'algebra con matrici 2x2??
"Cantaro86":
ah...ora comincio a capire...
praticamente se voglio avere un gruppo SU2, devo per forza rappresentare l'algebra con matrici 2x2??
Direi di no, ad esempio si ottengono facilmente un'infinità di rappresentazioni tramite matrici $nxn$ isomorfe alla rappresentazione $2x2$. Basta mettere il blocco di dimensione $2x2$ della rappresentazione solita di $SU(2)$ e per il resto tutti zeri. Sicuramente ce ne sono anche di meno banali.
a ok.
quindi se rappresento l'algebra ad esempio con le matrici di Pauli poi so subito che il gruppo ottenuto $e^(i\sigma t)$ è SU2
mentre in generale scegliendo una rappresentazione equivalente con matrici 3x3 (per esempio la rappresentazione che hai detto tu con gli 0 ) in generale dovrei ottenere un gruppo di matrici 3x3... dici che poi dovrei dimostrare che è isomorfo a SU2?
quindi se rappresento l'algebra ad esempio con le matrici di Pauli poi so subito che il gruppo ottenuto $e^(i\sigma t)$ è SU2
mentre in generale scegliendo una rappresentazione equivalente con matrici 3x3 (per esempio la rappresentazione che hai detto tu con gli 0 ) in generale dovrei ottenere un gruppo di matrici 3x3... dici che poi dovrei dimostrare che è isomorfo a SU2?
Nel mio esempio precedente facevo riferimento direttamente alla rappresentazione del gruppo, senza passare per l'algebra.
Devo fare una piccola correzione, le altre componenti tutte nulle non può funzionare perchè non si avrebbe l'invertibilità, bisogna metterci un blocco identità $(n-2)x(n-2)$.
Più concretamente se $a$, $b$ e $c=a\cdotb$ sono tre matrici della rappresentazione $2x2$ di $SU(2)$ allora se considero
$A = ((a,0),(0,1))$, $B = ((b,0),(0,1))$
ottengo chiaramente che
$C = A\cdotB = ((a,0),(0,1))\cdot((b,0),(0,1)) = ((c,0),(0,1))$
Poi segue anche che
$A^{-1} = ((a^{-1},0),(0,1))$
Perciò la mappa che associa alla matrice $m$ della rappresentazione $2x2$ la matrice $M = ((m,0),(0,1))$ è un isomorfismo di gruppi.
Se vuoi fare invece il discorso sull'algebra non cambia molto, l'unica differenza è di mettere gli zeri al posto del blocco identità (potevo dire che stavo pensando a quello e fare bella figura, ma invece sono onesto
). In questo modo quando esponenzi viene il blocco identità come nell'esempio di sopra e quindi la costruzione dell'isomorfismo è identica.
Devo fare una piccola correzione, le altre componenti tutte nulle non può funzionare perchè non si avrebbe l'invertibilità, bisogna metterci un blocco identità $(n-2)x(n-2)$.
Più concretamente se $a$, $b$ e $c=a\cdotb$ sono tre matrici della rappresentazione $2x2$ di $SU(2)$ allora se considero
$A = ((a,0),(0,1))$, $B = ((b,0),(0,1))$
ottengo chiaramente che
$C = A\cdotB = ((a,0),(0,1))\cdot((b,0),(0,1)) = ((c,0),(0,1))$
Poi segue anche che
$A^{-1} = ((a^{-1},0),(0,1))$
Perciò la mappa che associa alla matrice $m$ della rappresentazione $2x2$ la matrice $M = ((m,0),(0,1))$ è un isomorfismo di gruppi.
Se vuoi fare invece il discorso sull'algebra non cambia molto, l'unica differenza è di mettere gli zeri al posto del blocco identità (potevo dire che stavo pensando a quello e fare bella figura, ma invece sono onesto
). In questo modo quando esponenzi viene il blocco identità come nell'esempio di sopra e quindi la costruzione dell'isomorfismo è identica.
chiarito tutto!!
grazie Eredir. sempre molto disponibile e preciso (e anche onesto )
grazie Eredir. sempre molto disponibile e preciso (e anche onesto
)
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