GR(significato geometrico della curvatura)
Premetto che non so se questa sia la sezione più adatta per parlare di curvatura, i moderatori se lo ritengone necessario possono spostare questo topic nella sezione geometria.
La curvatura di una curva è definita come il modulo della derivata del vettore tangente unitario rispetto al parametro lunghezza d'arco, ed è possibile dimostrare che questa definizione ci dice quanto cambia velocemente la direzione del vettore tangente unitario.
Spostiamoci ora in relatività generale, qui abbiamo a che fare non più con delle curve ma con delle superfici. La curvatura in RG è definita come $g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$, ora mi chiedo qual è la relazione tra la curvatura definita per una curva e la curvatura definita per una superficie ? detto in altri termini, qual è il significato geometrico di curvatura scalare in RG?
é chiaro che una relazione tra la curvatura di una curva e tra la curvatura di una superficie deve esistere; per esempio è noto che la curvatura di un cerchio è costante e vale $1/r$ , dove $r$ è il raggio del cerchio; stessa cosa se ci mettiamo in una metrica sferica si ottiene che la curvatura è costante.
La curvatura di una curva è definita come il modulo della derivata del vettore tangente unitario rispetto al parametro lunghezza d'arco, ed è possibile dimostrare che questa definizione ci dice quanto cambia velocemente la direzione del vettore tangente unitario.
Spostiamoci ora in relatività generale, qui abbiamo a che fare non più con delle curve ma con delle superfici. La curvatura in RG è definita come $g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$, ora mi chiedo qual è la relazione tra la curvatura definita per una curva e la curvatura definita per una superficie ? detto in altri termini, qual è il significato geometrico di curvatura scalare in RG?
é chiaro che una relazione tra la curvatura di una curva e tra la curvatura di una superficie deve esistere; per esempio è noto che la curvatura di un cerchio è costante e vale $1/r$ , dove $r$ è il raggio del cerchio; stessa cosa se ci mettiamo in una metrica sferica si ottiene che la curvatura è costante.
Risposte
"baldo89":
Premetto che non so se questa sia la sezione più adatta per parlare di curvatura, i moderatori se lo ritengone necessario possono spostare questo topic nella sezione geometria.
La curvatura di una curva è definita come il modulo della derivata del vettore tangente unitario rispetto al parametro lunghezza d'arco, ed è possibile dimostrare che questa definizione ci dice quanto cambia velocemente la direzione del vettore tangente unitario.
Si, certo : $ (dvecT)/(ds) = kvecN$ , come ci dice una delle formule di Frenet.
Spostiamoci ora in relatività generale, qui abbiamo a che fare non più con delle curve ma con delle superfici
Bè....non proprio, direi. Questa è secondo me una interpretazione un po' semplicistica.In RG, si parla (e si tratta analiticamente, con tutto l'apparato che stai conoscendo: derivate covarianti, trasporto parallelo, geodetiche....) di "curvatura dello spaziotempo" . Non solo lo spazio, non solo il tempo, sono incurvati da campi gravitazionali, ma lo spaziotempo altrimenti "piatto'' : è una varieta quadri-dimensionale.
La curvatura in RG è definita come $g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$
questa è la "curvatura scalare" ovvero la traccia del tensore di Ricci, se ricordo bene,giusto?
ora mi chiedo qual è la relazione tra la curvatura definita per una curva e la curvatura definita per una superficie ? detto in altri termini, qual è il significato geometrico di curvatura scalare in RG?
é chiaro che una relazione tra la curvatura di una curva e tra la curvatura di una superficie deve esistere; per esempio è noto che la curvatura di un cerchio è costante e vale $1/r$ , dove $r$ è il raggio del cerchio; stessa cosa se ci mettiamo in una metrica sferica si ottiene che la curvatura è costante.
La curvatura di una superficie, senza scomodare la RG, si definisce in Geometria Differenziale: la curvatura secondo Gauss di una superficie in un punto "regolare" è il prodotto delle due curvature principali, ti ricordi? Se il punto è "regolare", detto in parole molto povere, puoi tracciare il piano tangente alla superficie nel punto. Poi tracci la normale al piano tangente in quel punto, e consideri il fascio di piani avente per asse questa normale: ogni piano del fascio interseca la superficie, nell'intorno del punto, in una curva; ci sono due curve, quella che nel punto ha curvatura massima e quella che ha curvatura minima. Il prodotto di queste curvature è la curvatura gaussiana della superficie in quel punto.
Per una superficie, che ha due dimensioni, sai che il tensore di curvatura di Riemann, quel mostro che in teoria ha $4^4 = 256$ componenti, si riduce ad una sola componente :$R_(1212)$, che risulta "proporzionale" alla curvatura gaussiana : $ k = R_(1212)/g$ (spero di ricordare bene).
Ma tu queste cose le sai meglio di me, con tutte le formule! Come pure, che la curvatura è una caratteristica "intrinseca" della superficie, non c'è bisogno di considerare l'immersione nello spazio tridimensionale (ma qui, sarebbe meglio l'intervento di un matematico, perchè tra un po' mi perdo e dico fesserie...).
Stavo rileggendo proprio in questi giorni un libro di A. Eddington: Spazio, tempo e gravitazione. Dice a un certo punto, grosso modo : " Se volessimo "vedere" le gobbe e gli avvallamenti dello spaziotempo quadri-dimensionale, prodotte da campi gravitazionali, avremmo bisogno di una dimensione in più, dovremmo essere penta-dimensionali...."
Ti ricordi l'esempio della formica bidimensionale sulla pera? Il suo mondo ha due dimensioni, per lei la "retta" è quella che per noi è una geodetica della pera. Noi la vediamo come una "curva" appartenenente a una superficie che diciamo curva perché abbiamo una dimensione in più.
Sul significato geometrico di $R$ in RG, francamente non so se qualcuno si sia espresso al riguardo. Mi ricordo vagamente di Weil, autore di "Spazio, tempo e materia" . Ma non ne sono sicuro.
Forse qualcun altro più esperto di me potrà dare un chiarimento più tecnico.
Ma Caroll non ne parla?
intanto grazie per la risposta.
Si certo mi sono espresso male, intendevo semplicemente dire che volevo parlare non più di curve bensì di superfici..
certo.
non ho mai studiato queste cose purtroppo.
si certo
mai vista questa formula, come si ricava? In questo caso per curvatura gaussiana intendi la traccia del tensore di ricci?con $g$ intendi il determinante del tensore metrico?
magari...
Si si mi ricordo, sono perfettamente d'accordo.
Be carrol definisce algebricamente la curvatura scalare come la traccia del tensore di ricci.
Poi però fa l'esempio della metrica sulla sfera:
data la metrica $ds^2=a^2(d\theta^2+(sin(\theta))^2 d\phi^2)$
dimostra che la curvatura scalare è $2/a^2$ e poi dice sostanzialmente che la curvatura sulla sfera è costante e decresce se aumenta il raggio... queste sono tutte cose intuitive, che appunto danno un'idea di cosa sia la curvatura scalare, ma sicuramente non sono troppo rigorose.
Bè....non proprio, direi. Questa è secondo me una interpretazione un po' semplicistica.In RG, si parla (e si tratta analiticamente, con tutto l'apparato che stai conoscendo: derivate covarianti, trasporto parallelo, geodetiche....) di "curvatura dello spaziotempo" . Non solo lo spazio, non solo il tempo, sono incurvati da campi gravitazionali, ma lo spaziotempo altrimenti "piatto'' : è una varieta quadri-dimensionale.
Si certo mi sono espresso male, intendevo semplicemente dire che volevo parlare non più di curve bensì di superfici..
questa è la "curvatura scalare" ovvero la traccia del tensore di Ricci, se ricordo bene,giusto?
certo.
La curvatura di una superficie, senza scomodare la RG, si definisce in Geometria Differenziale: la curvatura secondo Gauss di una superficie in un punto "regolare" è il prodotto delle due curvature principali, ti ricordi? Se il punto è "regolare", detto in parole molto povere, puoi tracciare il piano tangente alla superficie nel punto. Poi tracci la normale al piano tangente in quel punto, e consideri il fascio di piani avente per asse questa normale: ogni piano del fascio interseca la superficie, nell'intorno del punto, in una curva; ci sono due curve, quella che nel punto ha curvatura massima e quella che ha curvatura minima. Il prodotto di queste curvature è la curvatura gaussiana della superficie in quel punto.
non ho mai studiato queste cose purtroppo.
.
Per una superficie, che ha due dimensioni, sai che il tensore di curvatura di Riemann, quel mostro che in teoria ha $4^4=256$ componenti, si riduce ad una sola componente
si certo
che risulta "proporzionale" alla curvatura gaussiana :$ k=R_{1212}/g$ (spero di ricordare bene).
mai vista questa formula, come si ricava? In questo caso per curvatura gaussiana intendi la traccia del tensore di ricci?con $g$ intendi il determinante del tensore metrico?
Ma tu queste cose le sai meglio di me
magari...
Stavo rileggendo proprio in questi giorni un libro di A. Eddington: Spazio, tempo e gravitazione. Dice a un certo punto, grosso modo : " Se volessimo "vedere" le gobbe e gli avvallamenti dello spaziotempo quadri-dimensionale, prodotte da campi gravitazionali, avremmo bisogno di una dimensione in più, dovremmo essere penta-dimensionali...."
Ti ricordi l'esempio della formica bidimensionale sulla pera? Il suo mondo ha due dimensioni, per lei la "retta" è quella che per noi è una geodetica della pera. Noi la vediamo come una "curva" appartenenente a una superficie che diciamo curva perché abbiamo una dimensione in più.
Si si mi ricordo, sono perfettamente d'accordo.
Ma Caroll non ne parla?
Be carrol definisce algebricamente la curvatura scalare come la traccia del tensore di ricci.
Poi però fa l'esempio della metrica sulla sfera:
data la metrica $ds^2=a^2(d\theta^2+(sin(\theta))^2 d\phi^2)$
dimostra che la curvatura scalare è $2/a^2$ e poi dice sostanzialmente che la curvatura sulla sfera è costante e decresce se aumenta il raggio... queste sono tutte cose intuitive, che appunto danno un'idea di cosa sia la curvatura scalare, ma sicuramente non sono troppo rigorose.
Be' ,un po' di geometria differenziale, se studi RG, penso dovresti conoscerla. Qualunque testo di GD spiega la curvatura gaussiana meglio di come abbia fatto io, e con le formule relative. Ma prima ti spiega le "forme fondamentali" di Gauss (la prima forma fondamentale non è altro che il $ds^2$ su una superficie, dove al posto dei $g_(\mu\nu)$ Gauss adoperava altri simboli, $E,F,G$ , ma il significato è lo stesso. Nella formula : $k = R_(1212)/g$ quel $g$ è appunto il determinante della metrica per la superficie. Anche questa formula la trovi spiegata nei buoni testi di Geodiff.
Comunque, se cerchi "curvatura gaussiana" in rete, hai di che divertirti. Guarda ad es questo link :
http://mathworld.wolfram.com/Curvature.html
e guarda pure i links lí posti in basso, dove dice "see also" : c'è pure il link al T. Di Riemann, e allo scalare di Ricci.
Comunque, se cerchi "curvatura gaussiana" in rete, hai di che divertirti. Guarda ad es questo link :
http://mathworld.wolfram.com/Curvature.html
e guarda pure i links lí posti in basso, dove dice "see also" : c'è pure il link al T. Di Riemann, e allo scalare di Ricci.
ok grazie nav.. ci darò un'occhiata.
Prima di studiare relatività generale le mie conoscenze di GD consistevano solamente nel riferimento di frenet( curvatura, torsione, binormale, vettore tangente , vettore normale , parametro lunghezza d'arco ecc ecc)
queste cose si studiano solitamente nei corsi di meccanica analitica del secondo anno perchè sono fondamentali per capire la cinematica.
ciao
a presto
Prima di studiare relatività generale le mie conoscenze di GD consistevano solamente nel riferimento di frenet( curvatura, torsione, binormale, vettore tangente , vettore normale , parametro lunghezza d'arco ecc ecc)
queste cose si studiano solitamente nei corsi di meccanica analitica del secondo anno perchè sono fondamentali per capire la cinematica.
ciao
a presto
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