Gravitazione universale. Satellite lunare e Energia meccanica

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21 gen 2015, 16:41

Salve, è il mio primo esercizio sulla gravitazione, e sto facendo non poca confusione con le formule. Qualcuno potrebbe illuminarmi per favore? Questo è il testo del problema:
"Il raggio della luna è $r_L = 1.74 * 10^6 m$. Un satellite artificiale orbitante attorno alla luna lungo un'orbita circolare di raggio $2r_L$ ha un periodo di $306.8 min$. Calcolare:
1) il valore di $g$ sulla superficie lunare;
2) la velocità di fuga dalla luna."

In pratica brancolo nel buio...

Ho bisogno di una risposta il più completa possibile, per capire come impostare il problema, quali formule usare e perché...
Ve ne sarei davvero grato...
Vi riporto la soluzione proposta dal libro:
"$T = 2pisqrt(r^3/(gammam_L))$, $m_L = 4pi^2(2r_L)^3/(gammaT^2) = 7.36 * 10^22kg$, $g_L = gammam_L/r_L^2 = 1.62 m/s^2$
$v_f = sqrt(2gammam_L/r_L) = sqrt(2g_Lr_L) = 2.37 * 10^3 m/s$"

Mi sarebbe utile una soluzione in cui venga spiegato quali passaggi e quali formule vengono utilizzate dal libro per giungere alle soluzioni, magari con un piccolo commento per ogni passaggio.
Suppongo che il problema in se non sia difficile, anzi... per questo oso chiedervi tanto

Grazie!

Risposte

Sk_Anonymous

21 gen 2015, 16:31

Per semplicità si suppone che il satellite, di massa $m$ , descriva un'orbita circolare di raggio $R = 2r_L$ attorno alla Luna, muovendosi di moto circolare uniforme: la forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Luna vale : $ F = G (M_L*m)/R^2$ (dove ho indicato con $G$ la costante di gravitazione universale che il tuo libro chiama $\gamma$ ) , e funziona da forza centripeta in questo moto . Pertanto deve essere :

$ G (M_L*m)/R^2 = mv^2/R $----------(1)

da cui si ricava $v^2$, cioè il quadrato della velocità tangenziale del satellite, che non dipende dalla sua massa $m$.

D'altronde, il periodo $T$ è il tempo occorrente al satellite per compiere un'orbita attorno alla Luna. Quindi la velocità tangenziale del satellite, di modulo costante in questa orbita circolare, è data da :

$v = (2\piR)/T$ ---------------(2)

Se sostituisci la $v$ data dalla (2) nella (1) , puoi ricavare l'unica incognita che è la massa $M_L$ della Luna. E quindi :

$g_L = GM_L/r_L^2$ -------(3)

Se guardi bene , nella soluzione data dal libro trovi la terza legge di Keplero : i quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori dell'ellisse (in questo caso una circonferenza).

Per quanto riguarda la velocità di fuga dalla Luna, basta imporre la condizione che un copro di massa $m$, sparato nello spazio dalla superficie lunare, deve allontanarsi senza ricadere al suolo , quindi dovrà avere una velocità di lancio tale che l'energia totale, somma della energia cinetica e di quella potenziale gravitazionale , sia sempre positiva o al più nulla :

$E = 1/2mv_f^2 - (G M_Lm)/r_L >=0 $

Prendendo il segno di uguaglianza , si ricava : $ v_f = sqrt (2g_Lr_L) $. (tieni presente la (3) ) .

MrMojoRisin891

21 gen 2015, 16:57

finalmente! ora mi è tutto più chiaro! mi hai fatto entrare nell'ottica di questi problemi! grazie!

MrMojoRisin891

21 gen 2015, 19:09

"navigatore":
Per semplicità si suppone che il satellite, di massa $m$ , descriva un'orbita circolare di raggio $R = 2r_L$ attorno alla Luna, muovendosi di moto circolare uniforme: la forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Luna vale : $ F = G (M_L*m)/R^2$ (dove ho indicato con $G$ la costante di gravitazione universale che il tuo libro chiama $\gamma$ ) , e funziona da forza centripeta in questo moto . Pertanto deve essere :

$ G (M_L*m)/R^2 = mv^2/R $----------(1)

da cui si ricava $v^2$, cioè il quadrato della velocità tangenziale del satellite, che non dipende dalla sua massa $m$.

D'altronde, il periodo $T$ è il tempo occorrente al satellite per compiere un'orbita attorno alla Luna. Quindi la velocità tangenziale del satellite, di modulo costante in questa orbita circolare, è data da :

$v = (2\piR)/T$ ---------------(2)

Se sostituisci la $v$ data dalla (2) nella (1) , puoi ricavare l'unica incognita che è la massa $M_L$ della Luna. E quindi :

$g_L = GM_L/r_L^2$ -------(3)

Se guardi bene , nella soluzione data dal libro trovi la terza legge di Keplero : i quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori dell'ellisse (in questo caso una circonferenza).

Per quanto riguarda la velocità di fuga dalla Luna, basta imporre la condizione che un copro di massa $m$, sparato nello spazio dalla superficie lunare, deve allontanarsi senza ricadere al suolo , quindi dovrà avere una velocità di lancio tale che l'energia totale, somma della energia cinetica e di quella potenziale gravitazionale , sia sempre positiva o al più nulla :

$E = 1/2mv_f^2 - (G M_Lm)/r_L >=0 $

Prendendo il segno di uguaglianza , si ricava : $ v_f = sqrt (2g_Lr_L) $. (tieni presente la (3) ) .

Ho un altro dubbio:
"Un satellite artificiale, di massa $m = 10^3 kg$, ruota attorno alla terra descrivendo un'orbita circolare di raggio $r_1 = 6.6 * 10^3 km$. Si porta il satellite a descrivere una diversa orbita di raggio $r_2 = 6.8 * 10^3 km$. Calcolare:
1) quanto lavoro bisogna spendere in questo processo;
2) la differenza di periodo tra i moti lungo le due orbite."

Per trovare il lavoro calcolo la variazione di energia meccanica, che però mi viene diversa da come dice la soluzione...
All'inizio usavo solo i contributi dell'energia potenziale e finale, perché quella cinetica mi si semplificava (a mio avviso). Poi ho provato a usare anche i contributi dell'energia cinetica, quindi considerando le due velocità del satellite diverse sulle diverse orbite, ma neanche ne vengo a capo...
Nel primo tentativo però, sbaglio solo di un fattore moltiplicativo $1/2$, infatti a me viene $Gm_Tm(1/r_1 - 1/r_2)$ mentre la soluzione propone $1/2Gm_Tm(1/r_1 - 1/r_2)$; Dove sbaglio? Grazie!