Gravitazione, problema 2 corpi, caduta sul centro
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere un esercizio che mi sembrava facile ma mi ha lasciato qualche dubbio. Ho già provato a cercare un argomento simile ma non ne ho trovati, spero non per mia inettitudine.
Il problema: mi viene dato un sistema composto di due corpi soggetti solo alla loro mutua interazione gravitazionale, ho le masse (uguali fra loro e uguali ad 1), ho il valore di G (=1), ho la posizione e la velocità di un punto rispetto all'altro all'istante iniziale. La velocità dipende da un parametro. Mi si chiede di determinare per quali valori del parametro il moto relativo dei due corpi è limitato e periodico e per quali valori c'è collisione fra i due corpi.
Mia soluzione: per il primo punto ho usato la tecnica classica, mi sono ridotto a descrivere il moto come un moto rettilineo uniforme del baricentro comune dei due corpi più l'equazione di moto riferita a posizione e velocità relative dei due corpi - problema ridotto ad un corpo. Ne scrivo il potenziale efficace, vedo per quali valori dell'energia (che si conserva) ottengo orbite limitate eccetera eccetera. Così risolvo il primo punto.
Il secondo punto mi ha dato noie: una collisione dovrebbe corrispondere ad un valore dell'energia iniziale che permetta alla soluzione di avvicinarsi ad $r=0$, $r$ distanza relativa. Ora, nel caso del potenziale efficace in questione non esiste un simile valore dell'energia, tranne nel caso in cui il momento angolare del sistema (che si conserva e che compare nell'espressione del potenziale efficace) sia nullo. Ovvero che il vettore posizione e il vettore velocità al tempo iniziale siano paralleli, cioè che all'inizio i due corpi si muovano lungo la retta che li congiunge. Questo mi sembra confermato dal fatto che per il potenziale gravitazionale sappiamo scrivere sempre la forma delle orbite e sono ellissi, parabole o iperboli e di queste l'unica che permette la collisione è un'ellisse degenere così schiacciata da coincidere con un segmento di retta. Ogni altra condizione iniziale dovrebbe portare ad orbite chiuse e periodiche o aperte senza possibilità di collisione.
Dico bene? Grazie.
Il problema: mi viene dato un sistema composto di due corpi soggetti solo alla loro mutua interazione gravitazionale, ho le masse (uguali fra loro e uguali ad 1), ho il valore di G (=1), ho la posizione e la velocità di un punto rispetto all'altro all'istante iniziale. La velocità dipende da un parametro. Mi si chiede di determinare per quali valori del parametro il moto relativo dei due corpi è limitato e periodico e per quali valori c'è collisione fra i due corpi.
Mia soluzione: per il primo punto ho usato la tecnica classica, mi sono ridotto a descrivere il moto come un moto rettilineo uniforme del baricentro comune dei due corpi più l'equazione di moto riferita a posizione e velocità relative dei due corpi - problema ridotto ad un corpo. Ne scrivo il potenziale efficace, vedo per quali valori dell'energia (che si conserva) ottengo orbite limitate eccetera eccetera. Così risolvo il primo punto.
Il secondo punto mi ha dato noie: una collisione dovrebbe corrispondere ad un valore dell'energia iniziale che permetta alla soluzione di avvicinarsi ad $r=0$, $r$ distanza relativa. Ora, nel caso del potenziale efficace in questione non esiste un simile valore dell'energia, tranne nel caso in cui il momento angolare del sistema (che si conserva e che compare nell'espressione del potenziale efficace) sia nullo. Ovvero che il vettore posizione e il vettore velocità al tempo iniziale siano paralleli, cioè che all'inizio i due corpi si muovano lungo la retta che li congiunge. Questo mi sembra confermato dal fatto che per il potenziale gravitazionale sappiamo scrivere sempre la forma delle orbite e sono ellissi, parabole o iperboli e di queste l'unica che permette la collisione è un'ellisse degenere così schiacciata da coincidere con un segmento di retta. Ogni altra condizione iniziale dovrebbe portare ad orbite chiuse e periodiche o aperte senza possibilità di collisione.
Dico bene? Grazie.
Risposte
[OT] Uehi, chi si rivede! Ciao! [/OT]
[OT]Ciao dissonance! Anch'io sono contento di ritrovarti.. appena finisce questo periodo di esami distruttivi mi sa che tornerò a scrivere sul forum quindi ci risentiamo! 
[/OT]
[/OT]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo