Gravitazione e fluidodinamica
Buongiorno volevo chiedere il vostro aiuto per la risoluzione dei seguenti problemi:
1.La figura in alto a destra mostra il peso apparente di un corpo che viene gradualmente immerso in un liquido; la scala Ws vale 0.20 N. Il corpo (figura a sinistra) è un blocco rettangolare con area di base pari a 6.57 cm². Qual è la densità del liquido? Per l'immagine a cui si fa riferimento ecco il link
Io so che il peso del corpo fuori dall'acqua è $ P1=Ws=0.20 N $
Il peso del corpo completamente immerso nell'acqua lo leggo invece dal grafico ed è $ P2=1/2Ws=0.10 N $
Il peso del corpo immerso è minore perchè la spinta di Archimede agisce verso l'alto:
$ P2=P1-rho*g*V $ e quindi $ P1-P2=rho*g*V $ (2)
Il corpo è immerso del tutto quando la profondità è d=1.5 cm 0.015 m
L'area di base ce l'abbiamo come dato ( $ 6.57 cm^2 $ )
Se vado a sostituire i valori nella (2) [sapendo che V=s*d] ricavo la densità che è pari a 1033.8 $ (kg)/m^3 $
Il risultato però è sbagliato...sapete dirmi dove sbaglio?
2.Tre corpi sferici di massa 10 kg sono posti sul piano come nella figura qui sotto. Le distanze sono d₁=10 m e d₂=15 m. In che posizione devo mettere un terzo corpo di massa 20 kg in modo che la forza gravitazionale totale su B sia nulla? [Assumere che B sia nell'origine degli assi]
Qui so che B è attratto verso C e verso A: la forza risultante avrà quindi una componente x e una componente y
$ Fx=Fbc=G*(m^2/(d2)^2) $
$ Fy=Fba=G*(m^2/(d1)^2) $
Il 3° corpo (D) si deve posizionare in modo che la componente x della forza che esercita su B compensi Fx; e la stessa cosa vale per la componente y che dovrà compensare Fy. A questo punto però non so come trovare le 2 componenti (x,y) del corpo D...sapreste dirmi come procedere?
3.Due calotte sferiche concentriche hanno densità superficiale di massa costante come in figura. Se M₁=1000 kg e M₂=3000 kg, quanto vale la forza di gravità agente su un corpo di massa 2 kg posizionato al raggio b=3 m?
Qui pensavo di trovare il campo gravitazionale (che nello specifico caso corrisponderebbe all'accelerazione) attraverso il teorema di Gauss e quindi poi moltiplicare questo valore per la massa(2Kg) e trovare così la forza di gravità agente sul corpo. Secondo voi è una strada percorribile?
4.Si può dedurre la presenza di un pianeta che ruota intorno ad una stella misurando il moto di avvicinamento ed allontanamento della stella da noi. La figura in basso mostra la velocità lungo la linea di vista misurata per 14 Herculis, una stella di massa 0.9 volte la massa del Sole. Assumendo che l'orbita del pianeta sia lungo la linea di vista, calcolare la massa del pianeta.
Nel problema precedente, quanto vale la distanza tra il pianeta e la stella?
Qua purtroppo non ho alcuna idea di come impostare il problema...
5.La Luna si trova a 384000 km di distanza dalla Terra ed ha una massa 81 volte più piccola. A quale distanza dalla Terra la forza di gravità totale si annulla? Questa prima parte del problema sono riuscito a risolverla trovando il valore di 345600km
Il problema prosegue così :Quanta energia è necessaria per portare 1kg dalla superficie della Terra (raggio: 6370 km, massa: 6e24 kg) al punto calcolato nel problema precedente? Considerare anche l'effetto di attrazione gravitazionale della Luna ed esprimere il risultato in J.
Per questa seconda parte invece non riesco a trovare una strada corretta da percorrere...sapreste indicarmene una?
Grazie mille per l'aiuto!!
1.La figura in alto a destra mostra il peso apparente di un corpo che viene gradualmente immerso in un liquido; la scala Ws vale 0.20 N. Il corpo (figura a sinistra) è un blocco rettangolare con area di base pari a 6.57 cm². Qual è la densità del liquido? Per l'immagine a cui si fa riferimento ecco il link
Io so che il peso del corpo fuori dall'acqua è $ P1=Ws=0.20 N $
Il peso del corpo completamente immerso nell'acqua lo leggo invece dal grafico ed è $ P2=1/2Ws=0.10 N $
Il peso del corpo immerso è minore perchè la spinta di Archimede agisce verso l'alto:
$ P2=P1-rho*g*V $ e quindi $ P1-P2=rho*g*V $ (2)
Il corpo è immerso del tutto quando la profondità è d=1.5 cm 0.015 m
L'area di base ce l'abbiamo come dato ( $ 6.57 cm^2 $ )
Se vado a sostituire i valori nella (2) [sapendo che V=s*d] ricavo la densità che è pari a 1033.8 $ (kg)/m^3 $
Il risultato però è sbagliato...sapete dirmi dove sbaglio?
2.Tre corpi sferici di massa 10 kg sono posti sul piano come nella figura qui sotto. Le distanze sono d₁=10 m e d₂=15 m. In che posizione devo mettere un terzo corpo di massa 20 kg in modo che la forza gravitazionale totale su B sia nulla? [Assumere che B sia nell'origine degli assi]
Qui so che B è attratto verso C e verso A: la forza risultante avrà quindi una componente x e una componente y
$ Fx=Fbc=G*(m^2/(d2)^2) $
$ Fy=Fba=G*(m^2/(d1)^2) $
Il 3° corpo (D) si deve posizionare in modo che la componente x della forza che esercita su B compensi Fx; e la stessa cosa vale per la componente y che dovrà compensare Fy. A questo punto però non so come trovare le 2 componenti (x,y) del corpo D...sapreste dirmi come procedere?
3.Due calotte sferiche concentriche hanno densità superficiale di massa costante come in figura. Se M₁=1000 kg e M₂=3000 kg, quanto vale la forza di gravità agente su un corpo di massa 2 kg posizionato al raggio b=3 m?
Qui pensavo di trovare il campo gravitazionale (che nello specifico caso corrisponderebbe all'accelerazione) attraverso il teorema di Gauss e quindi poi moltiplicare questo valore per la massa(2Kg) e trovare così la forza di gravità agente sul corpo. Secondo voi è una strada percorribile?
4.Si può dedurre la presenza di un pianeta che ruota intorno ad una stella misurando il moto di avvicinamento ed allontanamento della stella da noi. La figura in basso mostra la velocità lungo la linea di vista misurata per 14 Herculis, una stella di massa 0.9 volte la massa del Sole. Assumendo che l'orbita del pianeta sia lungo la linea di vista, calcolare la massa del pianeta.
Nel problema precedente, quanto vale la distanza tra il pianeta e la stella?
Qua purtroppo non ho alcuna idea di come impostare il problema...
5.La Luna si trova a 384000 km di distanza dalla Terra ed ha una massa 81 volte più piccola. A quale distanza dalla Terra la forza di gravità totale si annulla? Questa prima parte del problema sono riuscito a risolverla trovando il valore di 345600km
Il problema prosegue così :Quanta energia è necessaria per portare 1kg dalla superficie della Terra (raggio: 6370 km, massa: 6e24 kg) al punto calcolato nel problema precedente? Considerare anche l'effetto di attrazione gravitazionale della Luna ed esprimere il risultato in J.
Per questa seconda parte invece non riesco a trovare una strada corretta da percorrere...sapreste indicarmene una?
Grazie mille per l'aiuto!!
Risposte
Premesso che le figure non si vedono, mi sembra che:
1) Il tuo risultato e' ok
2) Non vedendo la figura, mi par di capire che son 3 masse e ne aggiungi una quarta. Posta questa massa in un punto generico x,y del SdR di figura, si tratta di calcolare le comeponenti delle tre forze agenti sul corpo per via delle masse da 10kg. Imponendo a zero le due componenti, trovi x e y.
3) Gauss e' il metodo migliore. Ancora megli se ti ricordi come varia la forza dal centro alla superficie del corpo e poi dalla superficie nello spazio (e' esattamente il risultato che si ottiene sfruttando Gauss)
4) Non lo capisco perche non vedo nemmeno la figura.
5) Calcolando l differenza di potenziale del campo generato dalla presenza della luna e della terra). Oppure applicare pedissequamente la definizione di lavoro $W=intFds$ dove F e' la risultante delle forze di attrazione della terra e della luna (che altro non e' che il calcolo del potenziale, essendo il campo gravitazione conservativo)
1) Il tuo risultato e' ok
2) Non vedendo la figura, mi par di capire che son 3 masse e ne aggiungi una quarta. Posta questa massa in un punto generico x,y del SdR di figura, si tratta di calcolare le comeponenti delle tre forze agenti sul corpo per via delle masse da 10kg. Imponendo a zero le due componenti, trovi x e y.
3) Gauss e' il metodo migliore. Ancora megli se ti ricordi come varia la forza dal centro alla superficie del corpo e poi dalla superficie nello spazio (e' esattamente il risultato che si ottiene sfruttando Gauss)
4) Non lo capisco perche non vedo nemmeno la figura.
5) Calcolando l differenza di potenziale del campo generato dalla presenza della luna e della terra). Oppure applicare pedissequamente la definizione di lavoro $W=intFds$ dove F e' la risultante delle forze di attrazione della terra e della luna (che altro non e' che il calcolo del potenziale, essendo il campo gravitazione conservativo)
Riposto le immagini
Per il primo, visto che dice che la scala e' 0.2N, io lo interpreterei che ogni tacca valo 0.2N.
quindi io direi che a corpo immerso, il peso e' 0.4N e a corpo emerso e' 1N. Quindi il peso del volume di liquido spostato deve s $rhoVg=0.6N$. Vedi se ti torna il risultato.
Per il secondo, la spiegazione non cambia.
Metti un corpo D di massa 2m in un punto incognito di ccoordinate (x, y). La forza su B sara data:
Lungo x; Somma della forza che C esercita su B + componente lungo x della forza che il corpo D esercita B
Lungo y: Somma della forza che A esercita su B + componente lungo y della forza che il corpo D esercita B
Annullando entrambe le 2 equazioni, trovi le incognite x e y.
Il terzo non cambia speigazione, ma per risolverlo devi avere i raggi delle sfere. Domandati: come varia la forza esercitata dalla sfere quando il corpo si trova all'interno della sfera stessa? E quando e' fuori?
Per il quarto mi avventuro. Direci che Massa e Raggio della stella (M e R, rispettivamente) devono essere noti
Dato che il pianeta orbita attorno alla stella, indicando con
m la massa del pianeta (incognita)
M quella della stella (coem detto nota, vale 0.9 quella del sole)
R il raggio della stella (anche questo noto)
d la distanza del pianeta dalla stella deve valere:
$momega^2(R+d)=(GMm)/(R+d)^2$ Equazione con unica incognita d, dato che m si semplifica e $omega$ e' ricavabile dal grafico).
Per trovare la massa del pianeta, se guardiamo il grafico si vede che la velocita varia con legge:
$v=Asin(omegat)$ con A = 70 m/s
L'accelerazione allora e' $a=Aomegacos(omegat)$.
Per noi che osserviamo il corpo dalla terra (noi siamo nell' origine del SdR, la stella a una certa distanza sull'asse x, incognita, che comunque non ci interessa) all'istante t=0 la configurazione e' tale per cui terra, stella e pianeta sono in allineamento, con la stella tra la terra e il pianeta.
Il pianeta sta esercitando una forza sulla stella di $F=G(Mm)/(R+d)^2$ e siccome $F=Ma$
$ G(Mm)/(R+d)^2= MAomega$
M si semplifica, d lo abbiamo calcolato, si ricava m facilmente.
Il quinto si risolve come ti ho suggerito, calcolando l'integrale della forza gravitazionale della terra e della luna tra il punto di partenza e quello di arrivo, oppure piu' semplicemente ricordandosi la formuletta del potenziale V della forza gravitazionale e quindi facendo un banalissmo $W=DeltaV$ tra $V_0$ e $v_1$
quindi io direi che a corpo immerso, il peso e' 0.4N e a corpo emerso e' 1N. Quindi il peso del volume di liquido spostato deve s $rhoVg=0.6N$. Vedi se ti torna il risultato.
Per il secondo, la spiegazione non cambia.
Metti un corpo D di massa 2m in un punto incognito di ccoordinate (x, y). La forza su B sara data:
Lungo x; Somma della forza che C esercita su B + componente lungo x della forza che il corpo D esercita B
Lungo y: Somma della forza che A esercita su B + componente lungo y della forza che il corpo D esercita B
Annullando entrambe le 2 equazioni, trovi le incognite x e y.
Il terzo non cambia speigazione, ma per risolverlo devi avere i raggi delle sfere. Domandati: come varia la forza esercitata dalla sfere quando il corpo si trova all'interno della sfera stessa? E quando e' fuori?
Per il quarto mi avventuro. Direci che Massa e Raggio della stella (M e R, rispettivamente) devono essere noti
Dato che il pianeta orbita attorno alla stella, indicando con
m la massa del pianeta (incognita)
M quella della stella (coem detto nota, vale 0.9 quella del sole)
R il raggio della stella (anche questo noto)
d la distanza del pianeta dalla stella deve valere:
$momega^2(R+d)=(GMm)/(R+d)^2$ Equazione con unica incognita d, dato che m si semplifica e $omega$ e' ricavabile dal grafico).
Per trovare la massa del pianeta, se guardiamo il grafico si vede che la velocita varia con legge:
$v=Asin(omegat)$ con A = 70 m/s
L'accelerazione allora e' $a=Aomegacos(omegat)$.
Per noi che osserviamo il corpo dalla terra (noi siamo nell' origine del SdR, la stella a una certa distanza sull'asse x, incognita, che comunque non ci interessa) all'istante t=0 la configurazione e' tale per cui terra, stella e pianeta sono in allineamento, con la stella tra la terra e il pianeta.
Il pianeta sta esercitando una forza sulla stella di $F=G(Mm)/(R+d)^2$ e siccome $F=Ma$
$ G(Mm)/(R+d)^2= MAomega$
M si semplifica, d lo abbiamo calcolato, si ricava m facilmente.
Il quinto si risolve come ti ho suggerito, calcolando l'integrale della forza gravitazionale della terra e della luna tra il punto di partenza e quello di arrivo, oppure piu' semplicemente ricordandosi la formuletta del potenziale V della forza gravitazionale e quindi facendo un banalissmo $W=DeltaV$ tra $V_0$ e $v_1$
Nel primo problema continua a dirmi che il risultato è sbagliato...io l'ho svolto in questo modo:
$ rho*V*g=0.6 N $ quindi $ rho=(0.6N)/(V*g) $ essendo $ V=A*d $ $ rho=(0.6N)/(A*d*g) $ $ rho=(0.6N)/(6.57*10^-4 m^2 * 0.015m*9.81m/s^2)=6206.20 (kg)/m^3 $
d=sarebbe l'altezza alla quale il corpo si immerge (1.5cm, si evince dal grafico credo!)
Per il secondo invece provo ad impostare un sistema tra:
$ Fb(x)=G (m^2/d^2)+G((m*M*a)/(a^2+b^2)^(3/2)) $ e
$ Fb(y)=G (m^2/d^2)+G((m*M*b)/(a^2+b^2)^(3/2)) $ a e b sarebbero le coordinate del punto D
A questo punto divido membro a membro le due parti e mi ritrovo con $ a/b=0.4 $ ...non so se sia corretto.
Per il 3° so che la forza del guscio di massa esterno è ininfluente, e la forza di gravità è quindi dovuta al guscio interno, ed è pari a $ Fg= G((M1^2)/r^2) $...corretto??
Per il 4° problema invece dici che il raggio del pianeta è noto (ma da dove lo ricavi??) e w è ricavabile dal grafico (come??)
Per l'ultimo invece se integro come dici tu mi viene fuori che la forza di gravità per la terra è $ Fg=(-G*Mterra*m)/d $ (dove d è il raggio della terra), mentre la forza di gravità per la luna è $ Fg=(-G*Mluna*m)/d $ (dove la massa della luna è 81 volte più piccola di quella terrestre e quindi $ Mluna=(Mterra)/81 $ ) e d sarebbe il valore calcolato precedentemente, cioè 345600km.
Quindi la Fg tot sarebbe: $ FG=(-G*Mterra*m)/(Rterra) + (G*Mluna*m)/(345600) $
Il ragionamento è corretto?
Grazie mille per l'aiuto
$ rho*V*g=0.6 N $ quindi $ rho=(0.6N)/(V*g) $ essendo $ V=A*d $ $ rho=(0.6N)/(A*d*g) $ $ rho=(0.6N)/(6.57*10^-4 m^2 * 0.015m*9.81m/s^2)=6206.20 (kg)/m^3 $
d=sarebbe l'altezza alla quale il corpo si immerge (1.5cm, si evince dal grafico credo!)
Per il secondo invece provo ad impostare un sistema tra:
$ Fb(x)=G (m^2/d^2)+G((m*M*a)/(a^2+b^2)^(3/2)) $ e
$ Fb(y)=G (m^2/d^2)+G((m*M*b)/(a^2+b^2)^(3/2)) $ a e b sarebbero le coordinate del punto D
A questo punto divido membro a membro le due parti e mi ritrovo con $ a/b=0.4 $ ...non so se sia corretto.
Per il 3° so che la forza del guscio di massa esterno è ininfluente, e la forza di gravità è quindi dovuta al guscio interno, ed è pari a $ Fg= G((M1^2)/r^2) $...corretto??
Per il 4° problema invece dici che il raggio del pianeta è noto (ma da dove lo ricavi??) e w è ricavabile dal grafico (come??)
Per l'ultimo invece se integro come dici tu mi viene fuori che la forza di gravità per la terra è $ Fg=(-G*Mterra*m)/d $ (dove d è il raggio della terra), mentre la forza di gravità per la luna è $ Fg=(-G*Mluna*m)/d $ (dove la massa della luna è 81 volte più piccola di quella terrestre e quindi $ Mluna=(Mterra)/81 $ ) e d sarebbe il valore calcolato precedentemente, cioè 345600km.
Quindi la Fg tot sarebbe: $ FG=(-G*Mterra*m)/(Rterra) + (G*Mluna*m)/(345600) $
Il ragionamento è corretto?
Grazie mille per l'aiuto
Nessuno riesce a darmi qualche consiglio su dove sbaglio nell'impostazione dei problemi?
Il primo e' giusto; probabilmente e' sbagliata l'interpretazione del testo (qualcosa relativo alla scala). Ma perche non dici quanto dovrebbe essere il risultato?
Il secondo e' sbagliato.
La forza gravitazionale sulla quarta massa si scrive come somma di tutte le forze gravitazionali delle 3 masse. Se la massa e' posta in un punto generico x,y, lungo x la forza gravitazionale totale e'
$[GM_Am]/x^2+[GM_Bm]/x^2+[GM_Cm]/(x-d_2)^2$
Questa si deve annullare, quindi semplificando (tenendo conto che le masse sono tutte uguali a 10kg)
$1/x^2+1/x^2+1/(x-d_2)^2=0$
Lungo y
$[GM_Am]/(y-d_1)^2+[GM_Bm]/y^2+[GM_Cm]/y^2=0$
Da cui
$1/(y-d_1)^2+1/y^2+1/y^2=0$
Queste du equazioni, risolte, ti danno x e y posizione della massa.
Per gli altri ora non ho tempo, magari li guardo dopo
Il secondo e' sbagliato.
La forza gravitazionale sulla quarta massa si scrive come somma di tutte le forze gravitazionali delle 3 masse. Se la massa e' posta in un punto generico x,y, lungo x la forza gravitazionale totale e'
$[GM_Am]/x^2+[GM_Bm]/x^2+[GM_Cm]/(x-d_2)^2$
Questa si deve annullare, quindi semplificando (tenendo conto che le masse sono tutte uguali a 10kg)
$1/x^2+1/x^2+1/(x-d_2)^2=0$
Lungo y
$[GM_Am]/(y-d_1)^2+[GM_Bm]/y^2+[GM_Cm]/y^2=0$
Da cui
$1/(y-d_1)^2+1/y^2+1/y^2=0$
Queste du equazioni, risolte, ti danno x e y posizione della massa.
Per gli altri ora non ho tempo, magari li guardo dopo
Grazie mille!
Eh purtroppo non ho le soluzioni, ma è un programma che dice se i risultati sono corretti o meno
Eh purtroppo non ho le soluzioni, ma è un programma che dice se i risultati sono corretti o meno
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