Gravitazione

[ValeCheccoRita]

L’energia potenziale gravitazionale (calcolata ponendo uguale a zero quella di due corpi a distanza infinita tra loro) di un uomo di massa 70 kg è:
A –4,4  109 J
B –680 J
C 0 J
D 680 J
Come si fa? è 0?

[DavideGenova1]

L'energia potenziale gravitazionale di un corpo puntiforme è definita solo rispetto ad un altro corpo che esercita su di esso la forza di gravità, infatti, come studierai se non sei ancora arrivata all'argomento, la variazione di energia potenziale è definita proprio come l'opposto del lavoro compiuto sul corpo puntiforme in esame dalla forza di gravità dovuta ad un certo altro corpo\[U_f-U_i:=-\int_{i}^{f}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}\]Si dimostra, penso in ogni testo di fisica elementare (io per es. l'ho trovata su W.E. Gettys et al., Fisica 1, pp. 184, 186), che tale integrale vale, per la forza di gravità, esercitata da un corpo di massa $M$ su uno di massa $m$, $\mathbf{F}=-(GMm)/r^3\mathbf{r}$, dove $\mathbf{r}$ è il vettore posizione del corpo di massa $m$ rispetto a quello di massa $M$ e $r$ la sua norma, $U_f-U_i=\int_{r_i}^{r_f}G(Mm)/r^2 dr=-(GMm)/r_f -(-(GMm)/r_i)$.
Ponendo nullo il limite di $U_f-U_i$ per $r_i\to\infty$ per convenzione, l'energia potenziale del corpo di massa $m$, quando è posto ad una distanza $r$ da quello di massa $M$ è $U:=-(GMm)/r$. Suppongo che il tuo esercizio proponga di calcolare tale energia al livello della superficie terrestre rispetto al suo centro (la forza di gravità agisce come se tutta la massa fosse concentrata lì) e quindi, ponendo $r$ uguale al raggio della Terra, che è circa \(6.37\cdot 10^6\text{ m}\), sapendo che la massa della Terra è \(M\approx 5.97\cdot 10^{24}\text{ kg}\) e la costante \(G\approx 6.67\cdot 10^{-11}\), si ha che \(U\approx -4.4\cdot 10^9\text{ J}\).

[Spremiagrumi1]

L'energia potenziale gravitazionale di un corpo è definita solo rispetto ad un altro corpo che esercita su di esso la forza di gravità

Non credo si proprio vero. O meglio credo lo sia indirettamente in quanto anche un singolo corpo è composto da più pezzi.

Infatti poteva considerare l'uomo come un sistema autogravitante, quindi avrebbe dovuto smembrare l'uomo in piccoli pezzi di massa $dm$ e riattaccarli tutti insieme prendendo ciascun pezzo dall'infinito.
Considerando l'uomo come una sfera con densità costante $rho$ di raggio $R=1m$ si ha che

$U=int_0^R-(Gm(r)rho(dV))/r=-3/5GM^2/R=-1,97 *10^-7 J$

[DavideGenova1]

Interessante... Grazie per l'appunto! Sono alle prime armi con i corpi non puntiformi e mi scuso se ho scritto una sciocchezza: emendato quanto avevo scritto.