Gravità e orbite planetarie....credo....boh

[pepy86]

salvino a tutti..
in primis buona domenica..
in secundis ho naturalmente bisogno di voi...
allora il problema è il seguente:
una pallina ha massa di $15$ $g$ e muovendosi nell'aria, risente di una forza di attrito pari a $-$$k$$*$$v$, con $k$$=$$0.03kg$.
la pallina cade da ferma nel campo gravitazionale terrestre.
quanto vale la sua velocità limite?
A)$4.905$$m$$/$$s$
dopo quanto tempo raggiunge una velocità pari a $($$v$$/$$2$$)$?
B)$0.3446$

la velocità limite è indicata come $v$$0$

grazie a tutti

p.s= se è possibile vorrei che mi spiegaste il procedimento, per poterci poi ragionare sopra

ciao!!

[pepy86]

una precisazione per non incorere in errori.
nella seconda domanda la $v$ del $($$v$$/$$2$$)$ è la $v$$0$..

ciao

[MaMo2]

1) Dalla seconda legge di Newton si ha:

$ma=mg-kv$

cioè:

$m(dv)/(dt)=mg-kv$

Separando le variabili si ottiene:

$m(dv)/(mg-kv)=dt$

Integrando tra 0 e v e tra 0 e t si trova:

$(m/k)ln((mg)/(mg-kv))=t$

ricavando la velocità si ottiene:

$v=(mg)/k(1-e^(-(kt)/m))$

La velocità limite è perciò:

$v_(lim)=(mg)/k$

2) Si ha l'equazione:

$v=(mg)/k(1-e^(-(kt)/m))=(mg)/(2k)$

da cui:

$e^((kt)/m)=2 => t=(m/k)*ln2$