Grafico campo elettrico di un disco
Salve a tutti ! Questa mattina mi sono ritrovata tra le mani un esercizio che chiede di calcolare il potenziale sul bordo di un cerchio uniformemente carico, avente raggio R e densità di carica $\sigma$; ho pensato al modo più semplice per risolverlo, ma non ho ricavato granché. Io conosco quanto vale il potenziale al centro, da qui potrei ricavarmi il potenziale sul bordo dalla solita formule $V(R)= V(0)-\int_0^R E \cdot ds $...ma quale espressione di $E$ devo mettere ? Vedendo il grafico del campo elettrico mi sono venuti forti dubbi, perché io conosco solo quanto fa il campo elettrico lungo l'asse del disco, non sul disco stesso, giusto ? Il grafico di $E$ tra $0$ e $R$ non ci dice l'andamento del campo elettrico per punti sull'asse che hanno una distanza, dal centro stesso del disco, compresa tra $0$ e $R$ ?
Grazie a chiunque riuscirà a risolvere il mio dubbio.
Grazie a chiunque riuscirà a risolvere il mio dubbio.
Risposte
prendi quello che ti sto dicendo con le pinze perché l'esercizio da te proposto non mi sembra per niente semplice, anzi...
comunque sia io partirei prima con calcolare il campo elettrico di un filo circolare. per fare ciò uso la densità di carica lineare $ lambda=(dq)/(dl)=sigma*dR $. questo campo è facile da calcolare in quanto ci si accorge subito che che è radiale uscente dal filo. allora lo voglio calcolare ad un punto distante r dal filo. per farlo mi avvalgo del teorema di Gauss scegliendo come superficie una superficie che mi permetta di semplificare i conti. questa superficie è il toro. infatti il vettore normale a questa superficie è perpendicolare al campo elettrico del filo. quindi avremo:
$ int_(Sigma')vecE*vecn dSigma =Eint_(Sigma')dSigma=E*S_("toro")=E*4pi^2(R-r)r $
dove r è la distanza della carica di prova dal filo e R la distanza del filo dal centro della circonferenza.
a questo punto per il teorema di Gauss:
$ E*4pi^2(R-r)r=lambda/epsi_0*l_(filo)=lambda/epsi_0*2piR=>E=(lambda*R)/(2piepsi_0(R-r)r) $
adesso però mi accorgo che non mi è più comodo usare la distanza tra il punto e il filo in quanto cambierebbe in funzione di R. faccio questa sostituzione poichè mi interessa studiare un punto sullo stesso piano del disco. quindi posso dire che la distanza r dal punto al filo è uguale alla distanza dal centro della circonferenza meno R. quindi:
$r=d-R$
sostituendo avrò:
$E=(lambda*R)/(2piepsi_0(2R-d)(d-R)) $
sostituendo $ lambda=sigma*dR $ e integrando tutto, con R che va da 0 a R, ottieni
$ E=lambda/(2piepsi_0)*log(sqrt(2R-d)/(R-d)) $
non so se è giusto...
comunque sia io partirei prima con calcolare il campo elettrico di un filo circolare. per fare ciò uso la densità di carica lineare $ lambda=(dq)/(dl)=sigma*dR $. questo campo è facile da calcolare in quanto ci si accorge subito che che è radiale uscente dal filo. allora lo voglio calcolare ad un punto distante r dal filo. per farlo mi avvalgo del teorema di Gauss scegliendo come superficie una superficie che mi permetta di semplificare i conti. questa superficie è il toro. infatti il vettore normale a questa superficie è perpendicolare al campo elettrico del filo. quindi avremo:
$ int_(Sigma')vecE*vecn dSigma =Eint_(Sigma')dSigma=E*S_("toro")=E*4pi^2(R-r)r $
dove r è la distanza della carica di prova dal filo e R la distanza del filo dal centro della circonferenza.
a questo punto per il teorema di Gauss:
$ E*4pi^2(R-r)r=lambda/epsi_0*l_(filo)=lambda/epsi_0*2piR=>E=(lambda*R)/(2piepsi_0(R-r)r) $
adesso però mi accorgo che non mi è più comodo usare la distanza tra il punto e il filo in quanto cambierebbe in funzione di R. faccio questa sostituzione poichè mi interessa studiare un punto sullo stesso piano del disco. quindi posso dire che la distanza r dal punto al filo è uguale alla distanza dal centro della circonferenza meno R. quindi:
$r=d-R$
sostituendo avrò:
$E=(lambda*R)/(2piepsi_0(2R-d)(d-R)) $
sostituendo $ lambda=sigma*dR $ e integrando tutto, con R che va da 0 a R, ottieni
$ E=lambda/(2piepsi_0)*log(sqrt(2R-d)/(R-d)) $
non so se è giusto...
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