Gradiente potenziale elettrico e Campo elettrico
Salve ,
sarà l'orario ma non mi torna un ragionamento .
In pratica se ho una carica ferma $q$, so genera un campo elettrostatico in un punto P distante r dalla carica $vecE = (kq)/(r^2) hat(u_r) $ .
Tutti i punti del campo che hanno la stessa distanza $r'$ saranno equipotenziali quindi descriverò delle circonferenze equipotenziali.
Dalla teoria ho studiato che $ vecE= -gradV$ .
Se $V=cost$ lungo quella circonferenza , ho che il $gradV = 0 $ poiché il potenziale non è né diminuito né aumentato e quindi mi verrebbe che il campo $ vecE $ in quel punto sia $ 0 $ .
Cosa sto sbagliando?
Forse si intente che la variazione del campo è nulla?
Oppure che in quella direzione ( ovvero quella tg alla curva ) il campo è nullo ?
Grazie
sarà l'orario ma non mi torna un ragionamento .
In pratica se ho una carica ferma $q$, so genera un campo elettrostatico in un punto P distante r dalla carica $vecE = (kq)/(r^2) hat(u_r) $ .
Tutti i punti del campo che hanno la stessa distanza $r'$ saranno equipotenziali quindi descriverò delle circonferenze equipotenziali.
Dalla teoria ho studiato che $ vecE= -gradV$ .
Se $V=cost$ lungo quella circonferenza , ho che il $gradV = 0 $ poiché il potenziale non è né diminuito né aumentato e quindi mi verrebbe che il campo $ vecE $ in quel punto sia $ 0 $ .
Cosa sto sbagliando?
Forse si intente che la variazione del campo è nulla?
Oppure che in quella direzione ( ovvero quella tg alla curva ) il campo è nullo ?
Grazie
Risposte
Le linee di campo sono ortogonali alle superfici equipotenziali, e questo è coerente con la definizione di gradiente. Ciò significa che il gradiente non ha componenti lungo una superficie equipotenziale. Prese due superfici equipotenziali molto vicine tra loro, il gradiente della funzione potenziale ha modulo pari al rapporto tra la differenza del valore del potenziale sulle due superfici e la distanza tra le superfici stesse, facendo il limite per questa distanza tendente a zero, e ha direzione ortogonale alle superfici.
Ok, quindi é come immaginavo ?
Se si parla di gradiente con campo annesso , si intende che proprio lì dove sta puntando il gradiente, c'è campo( o meglio c'è una variazione di campo !?) , altrimenti se prendo un vettore con direzione ortogonale a quello del gradiente ( così come avviene se mi muovo lungo la superficie equi potenziale ) non ho componenti del campo lungo quella direzione .
PS mi sto confondendo un po'.
In un conduttore in equilibrio, ho che all'interno tutti i punti hanno lo stesso potenziale e da ciò ho che il campo è nullo.
Con questo ragionamento mi trovo seguendo alla lettera la relazione $ vecE = -gradV $ .
Se si parla di gradiente con campo annesso , si intende che proprio lì dove sta puntando il gradiente, c'è campo( o meglio c'è una variazione di campo !?) , altrimenti se prendo un vettore con direzione ortogonale a quello del gradiente ( così come avviene se mi muovo lungo la superficie equi potenziale ) non ho componenti del campo lungo quella direzione .
PS mi sto confondendo un po'.
In un conduttore in equilibrio, ho che all'interno tutti i punti hanno lo stesso potenziale e da ciò ho che il campo è nullo.
Con questo ragionamento mi trovo seguendo alla lettera la relazione $ vecE = -gradV $ .
"Andp":
Ok, quindi é come immaginavo ?
Se si parla di gradiente con campo annesso , si intende he proprio lì dove sta puntando il gradiente, c'è campo( o meglio c'è una variazione di campo !?) , altrimenti se prendo un vettore con direzione ortogonale a quello del gradiente ( così come avviene se mi muovo lungo la superficie equi potenziale ) non ho componenti lungo quella direzione
Ti correggo: dove punta il gradiente c'è la massima variazione del potenziale, non di campo. Il campo è la derivata spaziale del potenziale cambiata di segno. Facendo un parallelo, tanto per capirci, con le funzioni a una variabile, il potenziale assomiglia all'integrale della funzione campo (cambiato di segno), così come il campo assomiglia alla derivata della funzione potenziale, sempre cambiata di segno. (spero che non mi legga qualche matematico ).
Si scusami ho sbagliato a scrivere anche io!
Mi sono chiare le " analogie " tra vettore gradiente e derivata.
Ciò che non mi torna è ( gentilmente leggeresti il mio vecchio PS ? ) : Se seguo alla lettera la formula nel primo caso mi trovo a dire che dove non c'è variazione di potenziale non c'è campo. Cosa che mi sembra assurda! Mentre se lo applico al caso di un conduttore ( dove ho dovuto prendere per certa la definizione che il campo $ vecE $ è nullo all'interno ) mi torna.
Infatti so che in un conduttore, ogni punto è equipotenziale e per questo non c'è campo $vecE$ .
Quindi ridefinendo la mia soluzione :
Noto che la relazione $vecE = -gradV $ è una relazione vettoriale . Se prendo due punti e scopro che appartengono a una superficie di punti equipotenziali e ne calcolo il gradiente il gradiente mi viene 0 e vorrà dire che lungo quella direzione il campo $vecE $ non ha componenti. Giusto ?
Scusami se ti sto facendo mille ragionamenti ma vorrei studiare ragionando su ogni caso.
Mi sono chiare le " analogie " tra vettore gradiente e derivata.
Ciò che non mi torna è ( gentilmente leggeresti il mio vecchio PS ? ) : Se seguo alla lettera la formula nel primo caso mi trovo a dire che dove non c'è variazione di potenziale non c'è campo. Cosa che mi sembra assurda! Mentre se lo applico al caso di un conduttore ( dove ho dovuto prendere per certa la definizione che il campo $ vecE $ è nullo all'interno ) mi torna.
Infatti so che in un conduttore, ogni punto è equipotenziale e per questo non c'è campo $vecE$ .
Quindi ridefinendo la mia soluzione :
Noto che la relazione $vecE = -gradV $ è una relazione vettoriale . Se prendo due punti e scopro che appartengono a una superficie di punti equipotenziali e ne calcolo il gradiente il gradiente mi viene 0 e vorrà dire che lungo quella direzione il campo $vecE $ non ha componenti. Giusto ?
Scusami se ti sto facendo mille ragionamenti ma vorrei studiare ragionando su ogni caso.
Ciao,
è vero che lungo una circonferenza il potenziale è costante, poichè è vero che campo elettrico e linee eqipotenziali sono ortogonali. Il campo elettrico è nullo se la variazione del potenziale, in direzione $hat{u_E}$, è nullo. Anche perchè il potenziale è uno scalare e facendone il gradiente si otterrà un vettore orientato lungo $hat{u_E}$, il che conferma che la variazione del potenziale deve essere vista lungo $hat{u_E}$ per affermare se c'è o meno il campo elettrico. Tu invece stavi guardando la variazione lungo la circonferenza, ossia in direzione ortogonale a $hat{u_E}$.
In questo modo si conferma sia che una carica genera quel tipo di campo elettrico (infatti il "campo potenziale" è $V = -\frac{kq}{r}$, dopo di chè, facendone il gradiente, si ottiene $\underline{E} = \frac{kq}{r^2}\hat{u_E}$) sia che in un conduttore, essendo il potenziale costante al suo interno, in direzione $hat{u_E}$, si avrà variazione nulla del potenziale e quindi valore nullo di campo elettrico.
Spero di aver colto il problema, diversamente chiedo scusa.
è vero che lungo una circonferenza il potenziale è costante, poichè è vero che campo elettrico e linee eqipotenziali sono ortogonali. Il campo elettrico è nullo se la variazione del potenziale, in direzione $hat{u_E}$, è nullo. Anche perchè il potenziale è uno scalare e facendone il gradiente si otterrà un vettore orientato lungo $hat{u_E}$, il che conferma che la variazione del potenziale deve essere vista lungo $hat{u_E}$ per affermare se c'è o meno il campo elettrico. Tu invece stavi guardando la variazione lungo la circonferenza, ossia in direzione ortogonale a $hat{u_E}$.
In questo modo si conferma sia che una carica genera quel tipo di campo elettrico (infatti il "campo potenziale" è $V = -\frac{kq}{r}$, dopo di chè, facendone il gradiente, si ottiene $\underline{E} = \frac{kq}{r^2}\hat{u_E}$) sia che in un conduttore, essendo il potenziale costante al suo interno, in direzione $hat{u_E}$, si avrà variazione nulla del potenziale e quindi valore nullo di campo elettrico.
Spero di aver colto il problema, diversamente chiedo scusa.
Ho capito 
Il mio problema allora è stato quello di calcolare il gradiente in un punto , e poi non rispettare la direzione che il gradiente mi generava ovvero quella lungo il versore $ (u_e)^ $ e motivo per cui, logicamente, mi tornava che in una direzione ortogonale a quella generata dal gradiente, il campo non aveva componenti!
Ringrazio a entrambi
Si può chiudere!
Il mio problema allora è stato quello di calcolare il gradiente in un punto , e poi non rispettare la direzione che il gradiente mi generava ovvero quella lungo il versore $ (u_e)^ $ e motivo per cui, logicamente, mi tornava che in una direzione ortogonale a quella generata dal gradiente, il campo non aveva componenti!
Ringrazio a entrambi
Si può chiudere!
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