Gradiente e applicazioni
Salve. Ho un dubbio riguardante il gradiente.
So che il gradiente si applica a campi scalari, ma non si potrebbe avere anche il gradiente di campi vettoriali o il gradente di un altro gradiente (quest'ultimo verrebbe un qualcosa simile in simboli matematici ad un laplaciano, con la differenza che quest'ultimo rappresenta la divergenza, cioè una quantità scalare, del gradiente mentre il gradiente è una quantità vettoriale)? Cioè, il gradiente del gradiente dovrebbe dirmi come varia vettorialmente nello spazio il gradiente.... Ah un attimo: però a questo punto otterrei un prodotto vettoriale e mi ricondurrei comunque al rotore, giusto? Ok, il gradiente di una funzione vettoriale che non sia gradiente sarebbe possibile?
Analogamente, se il rotore è un operatore che descrive la rotazione infinitesima di una funzione vettoriale (e nel caso del gradiente risulta nullo) non si potrebbe applicare anche ad una quantità scalare, come ad esempio una divergenza, descrivendo l'eventuale rotazione infinitesima di quest'ultima? Cioè, dato che, in ultima analisi, un gradiente esprime vettorialmente il comportamento di una quantità scalare, non si potrebbe fare una cosa analoga con il rotore? O forse col rotore non è possibile, poiché una quantità scalare non può avere rotazione?
Inoltre, il rotore può considerarsi, come il gradiente, una funzione vettoriale?
P.S. qualcuno sa linkarmi una dimostrazione fatta bene del teorema di Stokes, di quello della divergenza e soprattutto uno che spieghi perché il rotore viene espresso (presumo in virtù di un abuso di notazione) come il prodotto vettoriale tra nabla e la funzione vettoriale cui è applicato?
So che il gradiente si applica a campi scalari, ma non si potrebbe avere anche il gradiente di campi vettoriali o il gradente di un altro gradiente (quest'ultimo verrebbe un qualcosa simile in simboli matematici ad un laplaciano, con la differenza che quest'ultimo rappresenta la divergenza, cioè una quantità scalare, del gradiente mentre il gradiente è una quantità vettoriale)? Cioè, il gradiente del gradiente dovrebbe dirmi come varia vettorialmente nello spazio il gradiente.... Ah un attimo: però a questo punto otterrei un prodotto vettoriale e mi ricondurrei comunque al rotore, giusto? Ok, il gradiente di una funzione vettoriale che non sia gradiente sarebbe possibile?
Analogamente, se il rotore è un operatore che descrive la rotazione infinitesima di una funzione vettoriale (e nel caso del gradiente risulta nullo) non si potrebbe applicare anche ad una quantità scalare, come ad esempio una divergenza, descrivendo l'eventuale rotazione infinitesima di quest'ultima? Cioè, dato che, in ultima analisi, un gradiente esprime vettorialmente il comportamento di una quantità scalare, non si potrebbe fare una cosa analoga con il rotore? O forse col rotore non è possibile, poiché una quantità scalare non può avere rotazione?
Inoltre, il rotore può considerarsi, come il gradiente, una funzione vettoriale?
P.S. qualcuno sa linkarmi una dimostrazione fatta bene del teorema di Stokes, di quello della divergenza e soprattutto uno che spieghi perché il rotore viene espresso (presumo in virtù di un abuso di notazione) come il prodotto vettoriale tra nabla e la funzione vettoriale cui è applicato?
Risposte
Un attimo, forse sul gradiente ci sono: il gradiente di una funzione vettoriale, quindi anche di un gradiente, è la sua Jacobiana?
So che il gradiente si applica a campi scalari, ma non si potrebbe avere anche il gradiente di campi vettoriali.........
Un attimo, forse sul gradiente ci sono: il gradiente di una funzione vettoriale, quindi anche di un gradiente, è la sua Jacobiana?
Certo che si può ! Ha avuto una bella intuizione, bravo! E hai azzeccato anche con la storia dello jacobiano!
Mi sono imbattuto per la prima volta nel gradiente di un campo vettoriale , anzi di un campo tensoriale , studiando la relatività per mio conto. Ma queste nozioni sono importanti anche per la meccanica dei continui.
Cercando nel forum , ho trovato questa discussione sull'argomento. Considera attentamente, in particolare, la risposta di gugo82 , e quella di dissonance. Tieni anche presente quello che ha detto un utente, e cioè che il gradiente di un vettore, che è un tensore di tipo (1,0) , dà luogo ad un tensore avente rango 2 , di tipo (1,1) . Questo si dimostra studiando i tensori, ma forse per te sono argomenti sconosciuti e difficili, e ti credo !
Solo per informazione, ti metto alcuni miei appunti scritti a mano anni fa, copiati da un libro di relatività, dove ci sono alcuni concetti a riguardo. Qui si tratta il caso di un tensore di tipo (1,1) , cioè di componenti : $T_\beta^\alpha$ , ma puoi anche limitarti a considerare un semplice campo vettoriale $vecv = v^\alphae_\alpha$ , e vedere che succede facendo i vari passaggi alla stessa maniera.
Espressa in componenti , la grandezza : $\nabla_(vecu)\T$ diventa : $u^\gamma (delT_\beta^\alpha)/(delx^\gamma) = u^\gamma T_(\beta,\gamma)^(\alpha)$
dove la "virgola" sta per "derivata parziale rispetto a $x^\gamma$ .
(sommatoria su $gamma$ secondo la regola di Einstein)
Naturalmente, le cose si complicano un po', quando andiamo a considerare campi tensoriali in spazi "curvi" , dove si deve tenere conto anche della variabilità delle basi: ci sono dei termini aggiuntivi . Ma non mettiamo altra carne al fuoco.
Aggiungo inoltre una dispensa trovata in rete, dove trovi i concetti in maggior dettaglio e rigore nei paragrafi iniziali.
http://homepages.engineering.auckland.a ... lculus.pdf
Inutile dire che , onde evitare di lasciare in giro delle castronerie, prego i signori matematici, Gugo82 in particolare, e chiunque sia più esperto di me, di controllare e apportare le dovute correzioni se necessario .
Ti ringrazio per la risposta (per altro motivante). Ma un campo tensoriale, come la Jacobiana, che nel caso del gradiente, in particolare, rappresenta l'Hessiana, cosa rappresenta fisicamente?
Inoltre, non mi è chiarissimo il concetto di tensore. O meglio, non riesco a distinguerne bene la differenza tra da una matrice generica (o forse è il tensore il concetto che generalizza la matrice) in termini matematici.
Inoltre, non mi è chiarissimo il concetto di tensore. O meglio, non riesco a distinguerne bene la differenza tra da una matrice generica (o forse è il tensore il concetto che generalizza la matrice) in termini matematici.
Che cos'è un tensore ? Questa è la madre di tutte le domande , in geometria, algebra lineare, fisica ! 
È un oggetto matematico. Ma, detto così, non serve a niente. Si deve capire come nasce e a che cosa serve. Inutile cercare di raffigurarselo, come si può fare con un vettore , il quale tra parentesi è a sua volta un tensore. Ma quando si va su con il "rango" del tensore , la raffigurazione è impossibile. Si può rappresentare un tensore con una matrice quando il rango non supera due, a mezzo delle componenti. Ma questo suppone che stiamo pensando a un tensore come oggetto dotato di componenti ( e questo è , in linea di massima, il punto di vista dei fisici) ; esse sono in numero di $d^r$ , dove $d$ è la dimensione dello spazio e $r$ il rango. Quindi, per esempio , il tensore metrico di uno spazio a 4 dimensioni ha $4^2 = 16$ componenti. MA poi ci dobbiamo fermare. SO bene che "tensore metrico" per te ha significato oscuro, ma guarda nelle dispense che ho indicato in basso.
I punti di vista sono leggermente diversi , tra matematici e fisici . Anziché raccontarti tante belle favole, sul tensore come estensione del concetto di vettore, o come oggetto dotato di componenti , o come risultato di certe operazioni algebriche astratte , ti rimando a tante discussioni sull'argomento, dove trovi delle risposte ben più degne di quelle che potrei darti io:
viewtopic.php?f=37&t=140275&p=891381&hilit=tensore#p889468
viewtopic.php?f=37&t=175728&p=8282815&hilit=tensore#p8282268
viewtopic.php?f=17&t=193579&p=8380038#p8379909
viewtopic.php?p=500966#p500966
nell'ultimo messaggio citato , dissonance mette il link ad una dispensa sintetica sui tensori , di Sharipov . Piace anche a me, per un primo approccio alla materia.
Ma c'è tanto materiale in rete...Io per esempio, trovo chiare la dispensa di Tibaldi , e quella di Carati
Se qualche quotato matematico e/o fisico , o esperto della materia, vuole aggiungere altro e dare maggiori indicazioni, ben venga : servono anche a me.
È un oggetto matematico. Ma, detto così, non serve a niente. Si deve capire come nasce e a che cosa serve. Inutile cercare di raffigurarselo, come si può fare con un vettore , il quale tra parentesi è a sua volta un tensore. Ma quando si va su con il "rango" del tensore , la raffigurazione è impossibile. Si può rappresentare un tensore con una matrice quando il rango non supera due, a mezzo delle componenti. Ma questo suppone che stiamo pensando a un tensore come oggetto dotato di componenti ( e questo è , in linea di massima, il punto di vista dei fisici) ; esse sono in numero di $d^r$ , dove $d$ è la dimensione dello spazio e $r$ il rango. Quindi, per esempio , il tensore metrico di uno spazio a 4 dimensioni ha $4^2 = 16$ componenti. MA poi ci dobbiamo fermare. SO bene che "tensore metrico" per te ha significato oscuro, ma guarda nelle dispense che ho indicato in basso.
I punti di vista sono leggermente diversi , tra matematici e fisici . Anziché raccontarti tante belle favole, sul tensore come estensione del concetto di vettore, o come oggetto dotato di componenti , o come risultato di certe operazioni algebriche astratte , ti rimando a tante discussioni sull'argomento, dove trovi delle risposte ben più degne di quelle che potrei darti io:
viewtopic.php?f=37&t=140275&p=891381&hilit=tensore#p889468
viewtopic.php?f=37&t=175728&p=8282815&hilit=tensore#p8282268
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viewtopic.php?p=500966#p500966
nell'ultimo messaggio citato , dissonance mette il link ad una dispensa sintetica sui tensori , di Sharipov . Piace anche a me, per un primo approccio alla materia.
Ma c'è tanto materiale in rete...Io per esempio, trovo chiare la dispensa di Tibaldi , e quella di Carati
Se qualche quotato matematico e/o fisico , o esperto della materia, vuole aggiungere altro e dare maggiori indicazioni, ben venga : servono anche a me.
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